23 de nov de 2014

EXERCÍCIOS- RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

1) Determine as medidas m e n indicadas nesse triângulo retângulo:


2)Determine as medidas b e h indicadas no seguinte triângulo retângulo:


3) Determine as medidas a e n indicadas no triângulo retângulo abaixo:


4) As medidas indicadas no triângulo retângulo ABC da figura são tomadas em milímetros. Determine as medidas a, b, h e c nele indicadas:


5) Em um triângulo retângulo os catetos medem 7 cm e 24 cm. Determine a medida da:
a) hipotenusa:
b) altura relativa à hipotenusa.

SOLUÇÃO:
Observação: Qualquer dúvida clik no link:RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO lá tem um resumo do assunto.

1)
82 = 16.m
64 = 16m


m=4

a=m+n
16=4+n
n=16-4
n=12


2)
a=n+m
54=48+m
m=54-48
m=6

b2 = a.m
b2 = 54.6
b2 = 324

b=18

b2 = h2 +c2             ( aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo menor, para encontrar a altura)
182 = h2 +62           (18 foi o valor encontrado para b e 6 foi o valor encontrado de m)
324=h2 + 36
h2 = 324 – 36
h2 = 288




3)
 h2 =m.n
152 = 9n

225=9m


n=25
a= m+n
a= 9 + 25
a= 34


4)
a= m+ n
a= 64 + 36
a= 100 mm


b2 =64.100
b2 = 6400

b=80 mm


c2 =36.100
c2 = 3600
c=60 mm

h2 =m.n
h2 = 36 . 64
h2 =2304

h=48 mm


5)
O aluno pode fazer o desenho para melhor visualizar
Dados:
Medida dos catetos;
7 cm e 24 cm.

a2 =b2 + c2
a2 =72 + 242
a2 =49 + 576
a2=625


a=25
hipotenusa mede 25 cm.

Posso calcular a altura usando a fórmula:  h2 =m.n. Para isso preciso saber quais os valores de m e n.
Sabendo o valor de m ou n posso ainda usar a formula: a2 =b2 + c2.

Calculando m.

 b2 =a.m
242 =25.m
576 = 25m
25m =576


m=23,04

Usando a segunda fórmula: c2 =b2 + h2
242 =(23,04)2 + h2
576 = 530,84 + h2
h2 = 576 – 530,84
h2 = 45,16

h= 6,72
A altura é igual a h=6,72 cm


( exercícios do livro Conquista da Matemática - 9º ano, pág. 262).




92 comentários:

  1. Respostas
    1. de nada gata

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    2. Professor, na 1 questão o cálculo de *n* poderia ser "6" sabia?
      Meu professor de matemática me ensinou um método que quando descobrir o valor de *M* vc pode fazer esse seguinte cálculo para descobrir o de *N*
      Observe:
      N=valor de M - valor da
      N=M-H
      acontece que a minha resposta que no caso deu "6" N=6 não bateu com a sua que no caso deu "12"
      Me explique pfv
      Não sei em quem acreditar ��

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    3. Eu não entendi a formula usada por você. Antes de resolver um problema desse tipo você deve analisar o desenho dado pelo professor e o que ele esta pedindo.
      Existe vários tipos de triângulos, o do exercícios tratar-se apenas de triângulos retângulo, isto é, é um triângulo em que um de seus ângulos mede 90°, ou seja um ângulo reto.
      Na questão
      c=8 ( elevado ao quadrado)
      a=16

      C^2 = a.m
      8^2 = 16.m
      64 = 16m
      16m= 64
      m=64/16
      m= 4

      A questão pede para encontra m e n
      como m já foi encontrado é só subtrair o resultado de m por a para encontrar n
      16 - 4 = 12
      n=12

      Se a dúvida continuar. Procure um bom livro para tirar a dúvida ou alguém. No blog tem um pequeno resumo com as fórmulas. As letras dos lados do triângulo podem ser diferentes.

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  2. Respostas
    1. Não há de que. Qualquer coisa se eu puder ajudar é só falar. Aceito também sugestões de conteúdos para o blog. Um abraço do prof. Vergniaud.

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    2. para descobrir a altura do triângulo do exercício 5 pode-se usar também a seguinte fórmula, a.h=b.c . Esta é mais fácil. poisna precisa descobrir as medidas m e n

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    3. Muito boa a sua observação. Mas na questão o aluno ele tinha que ter um dos valores ou da altura (h) ou da hipotenusa (a) para efetua esse calculo.

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    4. Só basta achar hipotenusa primeiro e depois usar a fórmula a.b=b.c

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    5. Com a fórmula a.b=b.c é realmente bem mais fácil, pois não precisa esquentar a cabeça procurando m e n. Gostei muito dos exercícios 👏👏

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    6. Quanto que da o outro cateto na questao 1?

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    7. É só aplicar o teorema de Pitágoras.
      Respostas:
      8(raiz quadrada de 3) ou valor aproximado
      13,856...

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    8. obrigaso dinadie

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  3. Só não conseguir entender à letra (B) do quinto quesito, mas o resto eu conseguir desenvolver.

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    1. Angelo Lima, boa tarde!
      5 b) pede a altura relativa à hipotenusa.
      no desenho a altura esta representado pela letra h.
      você poderia usar essa fórmula a.h = b.c
      mas, esta faltando o valor de A que é a hipotenusa. Mas como a hipotenusa já foi calculada ai sim, você pode.
      Significado das letras
      a= hipotenusa
      b= 7cm
      c= 24 cm
      h= altura.

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    2. a hipotenusa e a soma de M.N que dá 100

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    3. 4) Questão
      a= m+ n
      a= 64 + 36
      a= 100 mm

      Nesse caso, se você tive elevando em consideração o triângulo maior sim, o "a" representa a hipotenusa.
      Mas a questão pede para calcular os valores de a, b, c e h.
      Para isso analisamos o triângulo por parte. Para encontrar cada uma das respostas.

      Bom estudo, e um abraço.

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  4. Mto Bom!!! Me ajudou mto! obg!
    -Daniela

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  5. Professor, a resolução da questão 2 não está errada? Porque o senhor colocou m=48, sendo que o n é que vale 48. Se eu tiver errada, por favor me corrija, porque agora eu fiquei confusa. Obrigada!

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    1. Bom dia Lilian! Para que não haja mais dúvida, eu fiz a mudança.
      Lilian, as letras podem ser qualquer uma. Nesse caso coloquei m e n . O importante é o aluno intende como se dar essa relação.

      a= m + n
      No blog tem um resumo em outra postagem desse mesmo assunto: Relações métricas no triângulo.
      Qualquer dúvida, se eu pude ajudar é só perguntar.
      Bons estudos.

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    2. Entendi, professor. Muito obrigada!

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  6. Olá Professor, as formulas que eu tenho em meu caderno passadas pelo meu professor de matemática não sao as mesmas usadas nos exercicios :/

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    1. Boa noite! O assunto aqui postado é apenas um pequeno exercício, mas em uma outra postagem eu coloquei um resumo desse assunto. Lembre que estamos lidando com triângulos retângulos, isto é, em que um dos ângulos mede 90º graus. Para os demais triângulos existe outras maneiras de fazer o cálculo, com o uso d cosseno e seno.

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  7. Olá professor, eu gostaria de saber pq na 2 questão o b ao quadrado foi substituído pelo 6 ao quadrado sendo que o 6 representa o m.

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    1. Boa noite Murilo! A questão 2, eu tenho valores de a=54 e n=48. Após feitos cálculos encontrei o valor para m=6.

      No segundo momento eu devo achar o valor de b.
      Usando uma das propriedades da relação métrica dos triângulos retângulo.

      b^2 = a . m
      multipliquei 54 por 6 e depois extrai a raiz quadrada de 324 e ai encontrei o valor de b que é 18.

      Espero ter tirado sua dúvida.

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  8. Olá, no começo do exército 5 está escrito que c=7 e b= 24. Mas, no decorrer do exercício, essa ordem muda. Por isso não consegui fazer o (5b). Pode me ajudar?

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    1. Boa tarde! Você podia usar o formulário de contato e enviar por email a questão 5b. No meu livro eu não tenho esta questão.

      Na questão 5. Devemos encontrar primeiro o valor da hipotenusa que nesse caso é o valor de a.
      Depois usando outra fórmula para achar o valor da altura representado por h.

      Esse tipo de exercício só aplicar as fórmulas usadas na relação métricas do triângulo retângulo. Não há erro.

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  9. Respostas
    1. O triângulo retângulo maior foi dividido em dois triângulos retângulo menores. Para encontrar a resposta pedida pelo autor foi necessário fazer antes vários outros cálculos.

      Dê uma olhadinha na página que contém um pequeno resumo desse assunto: http://matematicaseriada.blogspot.com.br/2014/11/relacoes-metricas-no-triangulo-retangulo.html

      titulo: RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

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  10. Olá professor adorei o exercício.
    ♡♡♡♡

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  11. Olá professor adorei o exercício.
    ♡♡♡♡

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  12. Professor , por que o h do exercício 2 ficou 12 raiz de dois ? Eu acho que fiz algo errado pois minha decomposição de 288 deu um número diferente ! me ajuda

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    1. Questão 2
      288:2
      144:2
      72:2
      36:2
      18:2
      9:3
      9:3
      1

      2^2 (2 elevado ao quadrado ^ simbolo para indicar um número elevado a outro.)
      organizando os números depois de fatorados
      2^2 . 2^2 . 2 . 3^2

      sai do radical
      2 . 2 . 3 = 12
      12 sai do radical ficando 2 dentro
      vergniaud

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  13. Muito obrigado msm ! ajudou muito :)

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  14. Não entendi a segunda questão, terceira fórmula.
    Poderia ajudar?

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    1. Para encontra o valor de h que é a altura e b que é um dos lados do triângulo, eu preciso encontrar antes outros

      primeiro valor encontrado foi de m=6

      Já tenho dois valores que são de a=54 e de m=6
      Agora posso encontrar o valor de b=18
      Agora é só aplicar o teorema de Pitágoras para encontrar a altura.



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  15. meu professor mudou os numeros na 1 ele trocou M por 2 e N por 6 e 8 por x e tirou o 16 me ajuda aew

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    1. Para elevar um número ao quadrado usamos esse sinal ^
      x^2 = a . m
      x^2 = 8 . 2 ( 8 é a soma de 2 + 6)
      x^2 = 16 a raiz quadrada de 16 é 4, logo o valor de x é 4
      x = 4
      Ai esta a resposta

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  16. Este comentário foi removido pelo autor.

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    1. Boa noite Dante Hunter, não entendi sua dúvida. Veja no blog o resumo desse assunto. copie e cole para acessar o link:

      http://matematicaseriada.blogspot.com.br/2014/11/relacoes-metricas-no-triangulo-retangulo.html

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  17. Ah! Não entendi nada. O senhor mudou todas as fórmulas! Não há nenhuma que diga C^2= a.m. Eu tenho medo de fazer isto na prova e acabar se embaralhando.

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    1. Observe que o triângulo grande é dividido em dois triângulo retângulos menor. O C^2 é o lado do triângulo menor que representa a hipotenusa.
      "a" é a hipotenusa do triângulo maior.
      o "n" é um dos lados (catetos) do triângulo menor.

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    2. Os catetos "m" ou "n" vai depende de qual o triângulo você esta trabalhando.
      A mesma coisa acontece com os catetos "b" ou "c".

      O cateto "a" vai sempre o cateto do triângulo maior, observe que ele é o lado maior, portanto, é chamado de hipotenusa.

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    3. A hipotenusa é fácil de localizar no triângulo retângulo, ela é aquela que esta ao lado oposto ao ângulo retângulo. Os outros lados são chamados de catetos, são os lados menor que a hipotenusa.

      Dante Hunter, espero ter ajudado.

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    4. Sim, mas eu só não entendi as fórmulas que o senhor "inventou", como na primeira :

      8^2 = 16.m

      Eu não poderia usar

      b^= a.m que é a fórmula normal ?

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    5. No youtube existem vários vídeos de relações métricas no triângulo retângulo. Lá talvez você consiga tira suas dúvidas.

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  18. nss hj eu fiz um exame estudo no 1 ano do ensino medio fui com zero na prova final ganhei uma nova chance nela caiu equacoes logaritimicas e trigonometria.To quase pirando!Descupem os erros de ortografia!

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    1. Não pire não. Eu sempre oriento aqueles alunos que tem muita dificuldade em Matemática ir no YOUTUBE, lá tem vários vídeos que podem ajudar a tirar dúvidas. O aluno pode ver esses vídeos até pelo celular. Bom estudo.

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  19. Este comentário foi removido pelo autor.

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  20. estou tendo dificuldade para resolver esses exercícios:
    em um triangulo retângulo,um cateto mede 10 cm e sua projeção sobre a hipotenusa mede 5 cm. nessas condições, determine:
    a medida da hipotenusa.
    a medida do outro cateto.
    a medida da altura relativa a hipotenusa.

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    1. Como base, você deve usar a fórmula c^2=a.n! Substitua as letras pelos números que você já tem e você achará o valor do "a"(hipotenusa), que é 20, no caso. Desse jeito você pode achar o valor de "m" e, depois, achar o "h"(altura) e o "b"(outro cateto)

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  21. estou tendo dificuldade para resolver esses exercícios:
    em um triangulo retângulo,um cateto mede 10 cm e sua projeção sobre a hipotenusa mede 5 cm. nessas condições, determine:
    a medida da hipotenusa.
    a medida do outro cateto.
    a medida da altura relativa a hipotenusa.

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  22. Sou muito ruim em matemática, não entendendo simplesmente nada..
    isso não está simplesmente entrando na minha cabeça.
    Já assisti vídeo aulas mas não tá encaixando.
    Você poderia me ajudar melhor?

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    1. Bom dia! Você disse que tem muitas dificuldades em matemática, o que posso fazer é orientar a você rever alguns assuntos vistos anteriormente que esta relacionados ao assunto; como potência, radiciação e outros.

      Você ainda pode ir no you tube e digitar o nome do assunto para assistir as aulas relacionadas ao assunto, ou se mesmo assim persistir a dúvida, aconselho procurar um professor particular de matemática.

      Muitas vezes o problema não esta no fato de que o aluno não entende nada de matemática mas, as vezes esta na metodologia usada pelo professor, faz com que o aluno ache que não sabe nada.
      Aconselho a você a não desistir de seus estudos, e procurar estudar mais. Uma boa é estudar em grupo, com os colegas.

      Desejo a você boa sorte.

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  23. tenho uma prova na escola que só fala sobre esse assunto queria saber tudo sobre esse assunto des do principio se o senhor poder me ensinar eu agradeço

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    1. Boa noite! No final desse exercício tem um link do mesmo blog que contei um resumo deste mesmo assunto.

      Você pode estudar pela internet usando o youtube, é só você digitar o nome do assunto, lá você vai encontrar vários vídeos com o assunto.

      Boa sorte e boa prova.

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  24. como posso resolver a questão 1 , se eu trocar o N e o M de lugar?

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    1. Boa Tarde! Os passos para encontrar a resposta da questão é o mesmo.

      No blog eu postei um resumo em outra página com esse mesmo assunto.

      Fórmula dessa questão. (usar ^ para indicar uma potencia).
      b^2 = a . m
      c^2 = a . n

      Nesse caso usei b^2 = a . m
      Eu tinha o valor de b=8 e tinha o valor de a = 16, faltava calcular m.

      Não usei c^2 = a . n
      Porque estava faltando o valor de c. Se eu tivesse o valor de c. podia usar essa fórmula para encontra o valor de n.

      Boa sorte e bom estudo.

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  25. Muito obrigado pela ajuda, me auxiliou bastante em minhas dúvidas.

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  26. Não seria mais fácil utilizar a fórmula b.c=a.h, para achar a altura relativa à hipotenusa?

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    1. O aluno pode usar essa fórmula não há problema algum. Ele só precisa verificar se no problema ele tem os dados necessários para usar.

      Veja que na questão 4 eu poderia ter usado essa fórmula, porque antes eu já havia encontrado os valores de a, b e c.

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  27. No triângulo retângulo,as medidas indicadas estao em centimetros.Determine as medidas de C,H,M e N?

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    1. Você não pode calcular essas medidas, pois falta dados necessários, mesmo sendo um triângulo retângulo.

      Você deve observa o desenho se tive.

      No blog tem outra postagem de relações métrica no triângulo retângulo. Dê uma olhada lá.

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  28. no final do exercício 2, por que "C" aparece como 6?

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    1. Eu não entendi sua dúvida.

      A questão 2 manda calcular o valor de b e h

      Para isso tive que fazer alguns cálculos antes chegar ao resultado pedido na questão.
      Encontrei o valor de m= 6
      Depois b = 18 e h 12 raiz quadrada de 2.

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  29. não consegui entender a 2,pq é a=n+m ?? como assim eu achei o valor de m se la nem tinha m ? buguie .. me explique

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    1. a = m + n
      O valor de "a" foi dado no triângulo que é 54. Um dos lados é o valor de "m" e o outro é o de "n"
      Substituindo os valores que já tem para encontrar o valor de "m"
      54 = m + 48
      m = 54 - 48
      m= 6

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  30. eu nao to entendendo nada sao tantas formulas

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    1. é fácil para cada letra ou número compôs uma fórmula a questão é vc tem que saber as fórmulas de cor e as letras para não se confundir ok!

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  31. só eu que não intendi nada ;-;.

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    1. o que vc não entendeu as fórmulas ou o jeito de resolver???

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  32. só eu que não intendi nada ;-;.

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  33. vc errou na questão 4 pois a formula que vc ultiliou foi b quadrado = am em fez de vc usar n ai vc errou

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    1. mas porque errou eu também fiz e deu a mesma coisa olha que eu não me engano com essas coisas,e por que n se a fórmula é b quadrado=a.m e não b quadrado=a.n ok

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  34. Na 5 b) não é necessário encontrar os valores de m e n, é só utilizar a seguinte formula:
    a.h=b.c
    como ja sabemos os demais valores, é só substituir:
    25.h=7.24
    25h=168
    h=168/25
    h=6,72

    Chegou ao mesmo resultado, muito mais facil...

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  35. muito obrigada pela ajuda eu aprendi bastante coisas quem sabe vou tirar 10,00 na prova de matemática!!!

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  36. Olá professor, será que poderia ensinar algum exercício com triângulo egípcio?

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  37. Gostaria de saber pq na questao 1 subitraio o valor de A pelo valor de M pra achar o valor de N.jà na questao 3 somo o valor de A com o resutado

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  38. Boa tarde estou disisperada tenho um prova amanhâ e gostaria muito de sabe pq na que professor na questao 1 osenhor para achar o valor de N subitraio o valor de M com o resutado mas na questao 3 o senho somo o valor de A com o resutado pq o senhor nao subitraio tambem? ???????????????

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  39. Boa tarde estou disisperada tenho um prova amanhâ e gostaria muito de sabe pq na que professor na questao 1 osenhor para achar o valor de N subitraio o valor de M com o resutado mas na questao 3 o senho somo o valor de A com o resutado pq o senhor nao subitraio tambem? ???????????????

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  40. Questões magnificas, agora esse professor é feio sem ter preguiça de ser feio...

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  41. exercicios otimos para exercictar as propriedaddes de trigonometria basica, só não entendi a propriedade utilizada no primeiro exercicio onde vc supõe que o cateto externo é identico a altura em relação a hipotenusa..... ao meu ver o resultado do primeiro exercicio não é valido

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  42. vlw, conseguir fazer tudo e não errei nada

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  43. repare que na 2 questão você também pode usar a formula de altura que dar o mesmo valor

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  44. Professor, existe outro modo de fazer sem ser pelas formas?

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    Respostas
    1. Arthur, se tem outra maneira maneira mais prática de resolver eu não conheço. Quando eu conheço, geralmente coloco no blog.

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  45. Queria saber como usar essas equações em cada situação?

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    Respostas
    1. Este assunto você pode usar em várias situações por exemplo, para calcular a altura de um prédio,usando apenas os conhecimentos em que envolve o teorema de Pitágoras e o teorema de Tales. Para calcular a distância da margem de um rio a outra margem.



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