16 de dez de 2015

EXERCÍCIOS- EQUAÇÕES IRRACIONAIS

1) Resolva as equações irracionais:
         
     


2) Qual a solução da expressão, sabendo que  

3) Resolva:






RESPOSTAS:
1)


































































2) 


3)





































30 de nov de 2015

EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADE

por VERGNIAUD

Marque na alternativa correta.


1. Qual a probabilidade de ocorre coroa no lançamento de uma moeda?

    80%

    60%

    50%

    40%

2. Qual a probabilidade de ocorre um número ímpar, no lançamento de um dado?

    90%

    80%

    70%

    50%

3. Em uma caixa bolas numeradas de 1 a 5. Qual a probabilidade de sair uma bola de número primo?

    60%

    50%

    40%

    20%

4. Na escolha de um número de 1 a 50, qual a probabilidade de que seja sorteado um multiplo de 5?

    20%

    30%

    50%

    60%

5. Uma questão de multiplas escolhas, apenas uma é correta, o aluno não saber a resposta correta. Qual a probabilidade de acerto?

    5%

    10%

    20%

    30%

6. Em uma caixa tem 3 bolas vermelhas e 2 brancas, ao retirar uma bola dessa caixa, qual a probabilidade de obter-se uma bola vermelha?

    35%

    40%

    50%

    60%

7. Três moedas são lançadas simultaneamente. Qual é a probabilidade de ocorrer coroa em uma moeda?

    35,5%

    36%

    37,%

    38%

8. Uma urna com bolas numeradas de 1 a 5. Qual a probabilidade de sair uma bola com um número menor do que 5?

    40%

    60%

    80%

    90%

29 de nov de 2015

PROBABILIDADES

Resumo de Probabilidade.

Probabilidade é a possibilidades de ocorre ou não de um determinado resultado feito através de experimentos aleatórios, trata-se portanto de uma medida de incerteza dos fenômenos aleatórios.

EXPERIMENTO ALEATÓRIO

Consideramos como experimentos aleatórios aqueles que, repetidas vezes em condições idênticas, produzem resultados que não podem ser previstos com exatidão.

Exemplos:
a) Lançar um dado e observar a face voltada para cima.
b) Lançar simultaneamente três moedas e observar as faces voltadas para cima.

ESPAÇO AMOSTRAL

Podemos definir o espaço amostral como sendo o conjunto universo de todas dos possíveis resultados, feitos num experimento aleatório.

Exemplos: 
a) Ao lançar um dado podemos ter qualquer uma das seis faces voltadas para cima:
U={ 1, 2, 3, 4, 5, 6 } = 6

b)  Ao lançar duas moedas para cima, o espaço amostral pode ser. Vamos representar as moedas por cara (c) e coroa (k)
U = { (c,c), (c,k), (k,k), (k,c) } = 4


EVENTO

É qualquer subconjunto do espaço amostral.

Exemplo:
* No laçamento de um dado
a) obter um número par: A={2, 4, 6 }

b) obter um número primo: B={ 2, 5}

COMO CALCULAR PROBABILIDADE

As probabilidades podem ser escritas na forma de fração, de decimais e de percentuais








Qual a probabilidade de ocorrer um evento A, contido em U
Pode ser definida por P(A) 

Exemplos:

a) Lançando-se um dado, a probabilidade de sair um número par com a face voltada para cima é:
U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
A = { 2, 4, 6 }

U = 6
A = 3




Para transformar em decimal, dividimos 1 por 2
1/2 = 0,5
0,5

Para transformar em percentual, multiplica-se por 100
0,5 x 100 = 50
50%


b) Qual a probabilidade de ocorrer um número primo no laçamento de um dado:

U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
A = { 2, 5 }

U = 6
A = 2





Observação:
Tipos de eventos:
a) Evento certo: 
Quando o evento não é um subconjunto vazio do espaço amostral. É um evento que podemos garantir que esse evento ocorrerá.

Um dado é lançado para cima, qual a probabilidade de sai um número ímpar:
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
A = { 1, 3, 5 } = 3


b) Evento impossível:
São alguns eventos que nunca ocorrerão.

Um dado é lançado para cima, qual a probabilidade de sai um número maior que 6:
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
A= { } = zero

PROBABILIDADE CONDICIONAL




Probabilidade de ocorrer o evento A, tendo ocorrido o evento B.





Multiplicação de probabilidades.




   Eventos independentes.



Agora é com vocês:

1) Na escolha de um número de 1 a 30, qual a probabilidade que seja sorteado um múltiplo de 5?

2) No lançamento de dois dados simultâneo, qual a probabilidade de obter a soma 7?

3) Em uma caixa tem 3 bolas vermelhas e 3 bolas brancas. Ao retirar uma bola dessa caixa, qual a probabilidade de:
a) tirar uma bola vermelha?
b) tirar uma bola branca?

Deixe suas respostas no comentário:

21 de nov de 2015

EXERCÍCIOS DE FUNÇÃO COMPOSTA

Observação: Este assunto é visto no Ensino Médio.
1) Dadas as funções f e g de R em R determine a função g o f  e f o g em cada caso:
a) f(x) = 3x - 1     e    g(x) = 2 - 2x

b) f(x)=2x   e g(x)=4x + 1

c) f(x)=6 - x    e  g(x)=6x + 3


Respostas:

1) 
a) 
f(x) = 3x - 1      
g(x) = 2 - 2x

g o f
g o f(x) = g[f(x)] =  2 - 2x      substituindo o x da função g(x) e colocamos a função f(x) em seu lugar
g[f(x)} =  2 - 2(3x - 1)
g[f(x)} =  2 - 6x + 2
g[f(x)} = - 6x + 4

f o g
f o g(x) = f[g(x)] =  3x - 1      substituindo o x da função f(x) e colocamos a função g(x) em seu lugar
f[g(x)] =  3(2 - 2x) - 1
f[g(x)] =  6 - 6x - 1
f[g(x)] =   - 6x + 5


b) 
f(x)=2x    
g(x)=4x + 1

g o f
g o f(x) = g[f(x)] = 4x + 1     substituindo o x da função g(x) e colocamos a função f(x) em seu lugar
 g[f(x)] = 4(2x) + 1
 g[f(x)] = 8x + 1

f o g
f o g(x) = f[g(x)] = 2x         substituindo o x da função f(x) e colocamos a função g(x) em seu lugar
 f[g(x)] = 2(4x + 1)
 f[g(x)] = 8+ 2
       
   
c)
 f(x)=6 - x      
g(x)=6x + 3

g o f
g o f(x) = g[f(x)] = 6x + 3         substituindo o x da função g(x) e colocamos a função f(x) em seu lugar
g[f(x)] = 6( 6 - x )+ 3 
g[f(x)] = - 6x + 39      

f o g
f o g(x) = f[g(x)] = 6 - x         substituindo o da função f(x) e colocamos a função g(x) em seu lugar
 f[g(x)] = 6 - (6x + 3)        
 f[g(x)] = 6 - 6x -  3
f[g(x)] = - 6x + 3


2) Dadas as funções f(x) = x2 – x - 2  e g(x) = 1 - 2x, determine f o g e g o f.

Solução:

f o g

f o g(x) = f[g(x)] = x2 – x - 2      substituindo o da função f(x) e colocamos a função g(x) em seu lugar
 f[g(x)] =( 1 - 2x)2 – (1 - 2x )- 2
f[g(x)] = 1 - 4x + 4x2 – 1 +2x - 2
f[g(x)] =   4x2  - 2x - 2

g o f

g o f(x) = g[f(x)] = 1 - 2x           substituindo o x da função g(x) e colocamos a função f(x) em seu lugar
g[f(x)] = 1 - 2(x2 – x - 2)
g[f(x)] = 1 - 2x2 + 2x + 4
g[f(x)] =  - 2x2 + 2x + 5




4 de nov de 2015

POLÍGONOS

Polígonos é uma figura plana formada por segmentos de reta. ( Poli = muitos; gono = ângulo)

Vejamos algumas figuras planas que são polígonos.







Os polígonos podem ser:

 convexos

Observe que:
Um polígono convexo é regular quando os seus lados são congruentes ( mesma medida), e os ângulos internos são congruentes ( mesma medida)


  não convexos


Observe que


ELEMENTOS DE UM POLÍGONO

Ângulos internos: fica dentro do polígono e é formado por dois laos consecutivos.

Lados: é o segmento de reta que une dois vértices consecutivos.

Vértice: é o ponto de intersecção de dois lados.

Diagonal: é o segmento que une dois vértice não consecutivos.



Observação: nos polígonos o número de lados é igual ao número de ângulos internos desse polígonos;

Nomes de alguns polígonos
Polígonos
Número de ângulos internos
Números de lados
triângulo
3
(tri=três): 3
quadrilátero
4
(quadri=quatro): 4
pentágono
5
(penta=cinco): 5
hexágono
6
(hexa=seis): 6
heptágono
7
(hepta=sete): 7
Octógono
8
(octo=oito): 8
eneágono
9
(enea=nove): 9
decágono
10
(deca=dez): 10
undecágono
11
(um + dez) : 11
dodecágono
12
(dois + dez): 12
pentadecágono
15
(cinco+dez): 15
icoságono
20
(icos=vinte): 20


Cálculos envolvendo polígonos
Podemos fazer os seguintes cálculos com polígonos convexo: 

Perímetro
Área
Soma das medidas externas dos ângulos 
Soma das medidas internas dos ângulos
Número de diagonais

Perímetro

É a medida do contorno do polígono, isto é, a soma das medidas dos lados desse polígono:
P= 10 + 12 + 18 + 12 
P= 52 cm

Área

O estudo de área de algumas figuras planas já foi postado em outra página. Sendo assim, não vamos voltar a falar deste assunto aqui.

Soma das medidas externas dos ângulos 


Exemplo:
Utilizando um triângulo
180° + Se = 540°
se = 540° - 180°
se = 360°

Conclusão: 
Não só para o triângulo mas,  qualquer polígonos convexo a soma das medidas dos ângulos externos é igual a 360°.


Soma das medidas internas dos ângulos

Para calcular a soma das medidas internas dos ângulos de um polígono usaremos a seguinte fórmula:
Si = ( n- 2) . 180°
n= números de lados

Exemplo:
Qual a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono de 11 lados?
n= 11
Si = ( n- 2) . 180°
Si = ( 11- 2) . 180°
Si = ( 9) . 180°
Si = 1620°


Número de diagonais

Em uma outra postagem já foi feito um resumo de diagonais de um polígono.

Vejamos o polígono de 12 lados ( dodecágono) e suas diagonais. Para o aluno contar o número de diagonais de um polígono de n lados fica impossível.


Para isso usamos a seguinte fórmula matemática para calcular o número de diagonais de um polígono.

Exemplos:
a) Quantas diagonais têm um dodecágono?
Solução:


b) Quantas diagonais têm um pentadecágono?
Solução: