27 de jan de 2015

EXERCÍCIOS DE FUNÇÃO INVERSA

Observação: Este assunto é visto no Ensino Médio.

1) Determine a lei da função inversa de cada função dada por:
a) y=x + 5
b) y=x - 4
c) y=3x
d) y=2x -1

2) Determine a lei da função inversa de cada função dada por:
a) y= 4x + 2

           para  

           para  

3) Dada a função f dada por f(x)=x +6, calcule -1(4).

4) Dada a função f dada por f(x)= 2x +1, calcule -1(3).

5) Determine -1 (2) -1(- 2), sabendo que f(x) 3x + 1

6) (Santa Casa-SP) se  f-1   é a função inversa d a função f, de R em R, definida por f(x) = 3x-2,  então -1  (-1) é igual a:











7) Determine a lei da função inversa de cada função dada por:








8) Determine a lei da função inversa de cada função dada por:















RESPOSTAS:
Observação:
Lembre que ocorra a lei da função inversa ela precisa ser bijetora.

Veja as mudanças feitas no momento de fazer a inversa, isto é, em dado momento troco o y por x e x por y, para calcular a inversa.

1)
a) y= x + 5   trocando y e x
    x = y + 5  isolando y no 1º membro
   -y = - x + 5
    y = x - 5

b) y=x - 4      trocando y e x
    x = y - 4    isolando y no 1º membro
   -y = - x - 4
    y = x + 4

c) y=3x      trocando y e x
    x = 3y    isolando y no 1º membro
   - 3y = - x
     

d) y=2x -1       trocando y e x
    x = 2y - 1    isolando y no 1º membro
  -2y = - x -1
  


2)
a) y= 4x + 2

   x = 4y + 2

  -4y = - x + 2

   



           para  



x(y -2) = y + 2

xy - 2x = y + 2

xy- y = 2x + 2   colocar o termo comum (y) em evidência e dividindo.

y(x- 1) = 2x +2


      para  




             



x( y+1) = y - 4

xy + x = y - 4

-y + xy = - x- 4

y - xy = x + 4   colocar o termo comum (y) em evidência e dividindo.

y( 1 - x) = x + 4

                  para 



3) Dada a função f dada por f(x)=x +6, calcule -1(4).

Primeiro vamos calcular a inversa, lembrando que a função f(x)=x +6 pode ser escrita assim;

y= x + 6   substituindo y por x e x por y.

x = y + 6

-y = - x + 6 

y = x - 6   substituindo x por 4

y = 4 - 6

y = -2


4) Dada a função f dada por f(x)= 2x +1, calcule -1(3).

Primeiro vamos calcular a inversa, lembrando que a função f(x)=2x +1 pode ser escrita assim;


y= 2x + 1   substituindo y por x e x por y.

x = 2y + 1

-2y = - x + 1

2y = x - 1

   substituindo x por 3





y=1    ou  -1=1


5) Determine -1 (2) -1(- 2), sabendo que f(x) 3x + 1

Primeiro calculamos a inversa;
y = 3x + 1

x = 3y + 1

-3y = -x + 1


3y = x - 2

   substituindo x pelos valores dados


-1 (2) -1(- 2)








    ou seja





6) (Santa Casa-SP) se  -1 é a função inversa da função f, de R em R, definida por f(x) = 3x-2,  então -1  (-1) é igual a:











Primeiro calculamos a inversa;
y = 3x - 2

x = 3y - 2

-3y = -x - 2

3y = x + 2

  substituindo x por ( -1)






letra e,  a alternativa correta.


7) 


     x = - y + 8

     y = - x + 8




     x =3y - 5

   -3y = - x - 5

    3y = x + 5

   




   
   x(2y - 1)= 2y + 1

   2yx - x = 2y + 1

    2yx -2y = x + 1

   2y(x - 1) = x + 1

   

  









xy = 2 - y + 4y

xy + y - 4y = 2

y(x + 1 - 4) = 2

y( x - 3) = 2




8)


















































































(Exercícios tirados do livro: Matemática aula por aula: volume único de Benigno e Claudio; página 62;  FTD,2000).

58 comentários:

  1. y(x + 1 - 3) = 2 na letra d do exercicio 7 esta errado o correto seria y(x+1-4). por gentileza corrigir senão a conta n fecha.

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    1. Boa noite Alvaro Silva, obrigado pela observação, já foi feito a correção.

      y(x+1 - 4) = 2 próximo passo seria
      y(x - 3) = 2

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    2. na letra D , da onde vem o Y ? em x=2-y+ 4y ??

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    3. Qualquer função começa com y ou f(x), é a mesma coisa.
      Para transformar uma função em função inversa quando possível, o primeiro passo é trocar onde tem y por x e x por y, e depois é só fazer as operações indicadas.

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    4. ainda não entendi...

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    5. Aquele 'y' no "4y (4 multiplicando Y)" da expressão "y = (2-x/x) + 4" presente na letra D da questão 7, é devido ao MMC (Mínimo Múltiplo Comum), cálculo que deve ser previamente realizado nessa questão, pois o membro direito desta função apresenta uma soma de frações (Assista aulas sobre soma de frações) que é: "(2-y)/y + 4/1" pois quando não há nenhum número no denominador, isto significa que este número é '1'. Realizando o MMC você chegará em: "((2-y)+4y)/y" chegando assim na expressão final que é: "x = ((2-y)+4y)/y".

      Espero ter ajudado!

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  2. Obrigado aí,cara!!! Isso vai ajudar bastante a me exercitar pra prova de amanhã!!!

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  3. qual seria a relação inversa da função y = 2/(x2-x)

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    1. Gostaria de pode ajudar, mas a função que você escreveu não esta muito clara. Dê uma olhada no youtube, você pode acessar até mesmo do celular, quem sabe você encontra alguma função parecida com a sua.

      Eu sempre falo para as pessoas, que algumas expressões de matemática fica quase impossível de escreve nesse espaço dos comentários.

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    2. X=2/2y-y
      Faz cruz credo
      X(2y-y)=2
      2xy-xy=2
      Isola y
      Y(2x-x)=2
      Passa dividindo.. Fica:
      Y=2/2x-x
      Ou seja ... N muda

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  4. Alguém poderia me explicar isso de X≠2

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    1. João Marcos, quando nos livros de matemática você encontrar X≠2 ou outros valores como por exemplo X≠ -1; X≠3. Isso quer dizer que o valor de x deve ser qualquer um diferente desse valor,

      No caso X≠2 se x for igual a 2 esse valor anula o resultado.

      Veja o questão dois do exercício letra b. Colocando 2 no denominador no lugar de x, o denominador zera, e em matemática isso não é possível, já que não existe nenhum número divisível por zero.

      Espero ter ajudado.
      Bons estudos.

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  5. numero 2 letra C:
    por que multiplicou por -1 na parte -y+xy=-x-4 sendo que na letra B ocorreu o mesmo e nao teve que multiplicar por -1

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    1. Estou exatamente com a mesma dúvida ..

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    2. Nesse espaço fica muito difícil escreve fórmula matemática, para Gabriel e Matheus enviei por email.

      Nesse caso foi necessário usar esse método, pois caso contrário o resultado final estaria errado. Veja que na questão 2 as funções B e C não são iguais como se pensam. Qualquer coisa peça ajuda ao seu professor de Matemática, para sanar sua dúvida.

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    3. manda para o meu email tbm por favor, saandersonn.rocha@hotmail.com

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    4. manda para o meu tbm professor ? aureajuliab@gmail.com
      Obrigada !

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    5. boa noite! professor tenho essa duvida também pode mandar pro meu amail, mrodriguesteles@gmail.com

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  6. Gostaria de tirar uma duvida..

    Na letra D do quesito 7 -

    porque depois de x = (2 - y / y) + 4 se torna x = (2 - y / y) + 4y .. qual o porque deste 4 ser multiplicado por y nessa equaçao ?

    Pois cheguei a um resultado de y = 6 / x + 1 e nao a que esta na resposta.

    Desde já agradeço.

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    1. Observe que depois que é feito a mudanças das letras o denominador é y, como estamos tratando de adição de frações, toda vez que os denominadores são diferentes iguala os denominadores.
      sendo assim ficou
      xy = 2 - y + 4y
      y - 4y + xy = 2
      y(1 - 4 + x ) = 2

      y = 2/x-3

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  7. Por favor tem como vcs me ajudar, como resolvo a função em que diz: dada a função f pela fórmula y=2-5x calcule. f(f(2)) e a próxima questão é: f(f(1/2)). Me ajudem.

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  8. Por favor tem como vcs me ajudar, como resolvo a função em que diz: dada a função f pela fórmula y=2-5x calcule. f(f(2)) e a próxima questão é: f(f(1/2)). Me ajudem.

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  9. Tenho um livro em casa:matemática aula por aula.E que por ventura todas as questões dessa pagina estão no livro..pensei ate que fosse do Vergniaud S,creio que não seja,mas MSM assim me ajudou MT.Obg

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    1. Boa noite Gabriela! No final da postagem eu citei o livro e a página. (Exercícios tirados do livro: Matemática aula por aula: volume único de Benigno e Claudio; página 62; FTD,2000).

      O meu blog é destinados aos alunos do Ensino Fundamental maior. Mas de vez em quando posto algum conteúdo do Ensino Médio.

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  10. y=2x+1/3 pode resolver isso por favor]

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    1. Você esqueceu de dizer o que a questão pede: pode ser o gráfico da função; a inversa ou o zero (raiz) da função.

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  11. Eu não consegui entender a parte "2y(x-1)=x+1", porque apareceu o -1. Na questão 8b

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    1. Antes de chegar a esse resultado que você não entendeu. Parou aqui;
      2yx-2y=x+1 coloca o fator comum que nesse caso é 2y e efetua a divisão do 1º membro
      2y(x -1) = x + 1

      Vejamos o que fiz;
      2yx : 2y = x
      (-2y) : 2y = -1
      Espero que tenha ficado mais claro.

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  12. questão 8 de onde ele tirou aquele 4y?!

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    1. Eu multipliquei o y que estava no denominador pelo +4.

      Reveja adição de frações com denominadores diferentes que você vai entende.

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  13. PROFESSOR O SENHOR PODERIA RESOLVER ESSA QUESTÃO, POIS NÃO ESTOU ENTENDO.
    SEJAM f: R R, DEFINIDA POR f(x)=2x+3 e g definida por g(x)=3x2-5, obtenha gof e fog

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    1. Felipe no mesmo blog tem uma outra página com esse tipo de exercício. Você entrou na página que fala de função inversa.
      Era só você digita na caixa de pesquisa: função composta.

      http://matematicaseriada.blogspot.com.br/search?q=fun%C3%A7%C3%A3o+composta


      É você colocar uma função dentro da outra e resolver. O espaço aqui não permite colocar fórmulas. Mas vamos lá espero que você entenda.

      f(x) 2x + 3
      g(x)3x^2 - 5 (^ sinal para dizer que 3x foi elevado ao quadrado)

      Primeiro ele pede
      GoF

      gof(x) = [f(x)] = 3x^2 - 5 ( no lugar do x, tiro e coloco a função f(x)

      g[f(x)]= 3(2x+3)^2 - 5 ( multiplicando 3 por quem esta dentro)

      g[f(x)]= (6x+9)^2 - 5 ( elevando ao quadrado quem esta dentro)
      g[f(x)]= (36x^2 + 2.6x.9 +81) - 5
      g[f(x)]= (36x^2 + 108x +81) - 5
      g[f(x)]= 36x^2 + 108x +81 - 5 ( concluindo)

      g[f(x)]= 36x^2 + 108x + 76 ( lembre que ^ significa que 36x esta sendo elevado a 2.


      fog

      fog(x) = f[g(x)]= 2x + 3 a mesma coisa tiro o x e coloca a função de g(x)

      f[g(x)]= 2(3x^2 - 5) + 3 ( multiplicado o 2 por quem esta dentro)
      f[g(x)]= (6x^2 - 10) + 3
      f[g(x)]= 6x^2 - 10 + 3 ( concluindo)
      f[g(x)]= 6x^2 - 7

      Boa sorte.



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  14. Peço a resolução de f(x)=(2x+4):(3x-6)

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    1. No exercício tem algumas questões parecida com essa sua função. f(x)=(2x+4):(3x-6)
      Tiro f(x) e coloco y que é a mesma coisa.
      y=(2x+4):(3x-6) agora troco cada letra, isto é, no lugar de y coloco x, no lugar de x coloco y

      x=(2y+4):(3y-6) multiplico o denominador por x

      x(3y-6)=(2y+4)
      (3yx-6x)=(2y+4) coloco o termo que tive y para o primeiro membro e x para o segundo membro.

      3yx - 2y = 6x +4 insolo y e faço a divisão.
      y(3x - 2) = 6x + 4 deixo y no primeiro membro e jogo 3x-2 para o segundo membro dividindo.
      y= (6x + 4)/(3x-2 ) ( sinal / para indicar a divisão)

      Lembre que na hora de escreve de tira esses parêntes

      y=6x+4/3x-2


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  15. Veja o caso dessa função:
    Obter a inversa de Y=x+2/x-1

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    1. Marcos Aurélio Araújo.
      Nem toda função tem inversa. Reveja o assunto relacionado com funções em qualquer livro do 1º ano do Ensino Médio, para que você possa entender o que estou falando.

      Veja no caso que você mandou.

      y=x+2/x-1 Você faz uma troca das letra, assim
      x=y+2/y-1 multiplica-se o denominado y-1 por x no outro membro
      x(y-1)=y+2
      xy -x = y+2 leva o y para o 1º membro e traz -x para o 2º, não esqueça de mudar os sinais
      xy-y=x+2 isola y e divide
      y(x -1) = x+2 x-1 esta multiplicado passa para o outro lado dividindo
      y=x+2/x-1

      Observe que o resultado foi o mesmo da função original.

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    2. Qual seria a resposta correta para essa questão?
      1.a função não admite inversa
      2.y=x+2/x-1
      Pois, tenho essa mesma questão
      Para marcar alternativa correta.
      Na letra a Y=x+2/x-1
      Seria a correta?

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    3. Qual seria a resposta correta para essa questão?
      1.a função não admite inversa
      2.y=x+2/x-1
      Pois, tenho essa mesma questão
      Para marcar alternativa correta.
      Na letra a Y=x+2/x-1
      Seria a correta?

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    4. Qual seria a resposta correta para essa questão?
      1.a função não admite inversa
      2.y=x+2/x-1
      Pois, tenho essa mesma questão
      Para marcar alternativa correta.
      Na letra a Y=x+2/x-1
      Seria a correta?

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  19. Bom dia!por favor me confirme o resultado dessa questão!
    Eu fiz deu 9/4
    Altura máxima atingida pelo projétil, com ,O=x=5
    -x^2+7x-10=FX
    Derivei encontrei 9/4

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    1. Marcos Aurélio, não entendi a sua expressão matemática. Você fala que derivou. Se o assunto for derivada veja no blog tem um link chamado CALCULO MAIS, lá tem o assunto de derivada. Boa sorte.

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    2. Não professor, pode resolver
      Calculando as coordenadas do
      Vértice da parábola!
      Calcule a altura máxima atingida pelo projétil..
      f(x)= -x^2+7x-10
      0<x<5
      Quero só confirmar o resultado!

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    3. Não professor, pode resolver
      Calculando as coordenadas do
      Vértice da parábola!
      Calcule a altura máxima atingida pelo projétil..
      f(x)= -x^2+7x-10
      0<x<5
      Quero só confirmar o resultado!

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    4. Não professor, pode resolver
      Calculando as coordenadas do
      Vértice da parábola!
      Calcule a altura máxima atingida pelo projétil..
      f(x)= -x^2+7x-10
      0<x<5
      Quero só confirmar o resultado!

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    5. No blog tem postagem desse assunto.

      Para encontrar o vértice de x
      Divide o -b por 2a

      -7/-2 = 3,5

      Para encontrar o vértice de y que vai dar a resposta que você quer

      -Delta dividido por 4a

      -9/-4

      ou mudando o sinal

      9/4

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  20. No blog tem postagem sobre cálculo integral?
    Pois tem uma questão que não consigo resolver!

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