27 de jan. de 2015

EXERCÍCIOS DE FUNÇÃO INVERSA

Observação: Este assunto é visto no Ensino Médio.

1) Determine a lei da função inversa de cada função dada por:
a) y=x + 5
b) y=x - 4
c) y=3x
d) y=2x -1

2) Determine a lei da função inversa de cada função dada por:
a) y= 4x + 2


       



       

3) Dada a função f dada por f(x)=x +6, calcule -1(4).

4) Dada a função f dada por f(x)= 2x +1, calcule -1(3).

5) Determine -1 (2) -1(- 2), sabendo que f(x) 3x + 1

6) (Santa Casa-SP) se  f-1   é a função inversa d a função f, de R em R, definida por f(x) = 3x-2,  então -1  (-1) é igual a:




7) Determine a lei da função inversa de cada função dada por:













8) Determine a lei da função inversa de cada função dada por:















RESPOSTAS:
Observação:
Lembre que ocorra a lei da função inversa ela precisa ser bijetora.

Veja as mudanças feitas no momento de fazer a inversa, isto é, em dado momento troco o y por x e x por y, para calcular a inversa.

1)
a) y= x + 5   trocando y e x
    x = y + 5  isolando y no 1º membro
   -y = - x + 5
    y = x - 5

b) y=x - 4      trocando y e x
    x = y - 4    isolando y no 1º membro
   -y = - x - 4
    y = x + 4

c) y=3x      trocando y e x
    x = 3y    isolando y no 1º membro
   - 3y = - x
     



d) y=2x -1       trocando y e x
    x = 2y - 1    isolando y no 1º membro
  -2y = - x -1


  



2)
a) y= 4x + 2

   x = 4y + 2

  -4y = - x + 2






         



x(y -2) = y + 2

xy - 2x = y + 2

xy- y = 2x + 2   colocar o termo comum (y) em evidência e dividindo.

y(x- 1) = 2x +2


   



         




x( y+1) = y - 4

xy + x = y - 4

-y + xy = - x- 4

y - xy = x + 4   colocar o termo comum (y) em evidência e dividindo.

y( 1 - x) = x + 4



               



3) Dada a função f dada por f(x)=x +6, calcule -1(4).

Primeiro vamos calcular a inversa, lembrando que a função f(x)=x +6 pode ser escrita assim;

y= x + 6   substituindo y por x e x por y.

x = y + 6

-y = - x + 6 

y = x - 6   substituindo x por 4

y = 4 - 6

y = -2


4) Dada a função f dada por f(x)= 2x +1, calcule -1(3).

Primeiro vamos calcular a inversa, lembrando que a função f(x)=2x +1 pode ser escrita assim;


y= 2x + 1   substituindo y por x e x por y.

x = 2y + 1

-2y = - x + 1

2y = x - 1


 

Agora vamos substituir x por 3 na função encontrada.



 




ou  -11


5) Determine -1 (2) -1(- 2), sabendo que f(x) 3x + 1

Primeiro calculamos a inversa;
y = 3x + 1

x = 3y + 1

-3y = -x + 1

3y = x - 1



 

Substituindo x pelos valores dados:  -1 (2) -1(- 2) na função encontrada.



Ou seja





6) (Santa Casa-SP) se  -1 é a função inversa da função f, de R em R, definida por f(x) = 3x-2,  então -1  (-1) é igual a:


Primeiro calculamos a inversa;
y = 3x - 2

x = 3y - 2

-3y = -x - 2

3y = x + 2





Substituindo x por ( -1)








letra e,  a alternativa correta.


7) 


a) y = - x + 8

     x = - y + 8

     y = - x + 8



b) y= 3x - 5

     x =3y - 5

   -3y = - x - 5

    3y = x + 5


 




 
 


x(2y - 1)= 2y + 1

   2yx - x = 2y + 1

    2yx -2y = x + 1

   2y(x - 1) = x + 1

2y = x + 1    
         x-1   

y=  x + 1      
       2x -2               













xy = 2 - y + 4y

xy + y - 4y = 2

y(x + 1 - 4) = 2

y( x - 3) = 2




8)






















x = 2y + 1    
       2y - 1


x(2y - 1)= 2y + 1

   2yx - x = 2y + 1

    2yx -2y = x + 1

   2y(x - 1) = x + 1

2y = x + 1   
         x-1               
            2

y= x + 1     : 2
       x -1

y=    x + 1  
        2x-2
  

































(Exercícios tirados do livro: Matemática aula por aula: volume único de Benigno e Claudio; página 62;  FTD,2000).

75 comentários:

  1. y(x + 1 - 3) = 2 na letra d do exercicio 7 esta errado o correto seria y(x+1-4). por gentileza corrigir senão a conta n fecha.

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Boa noite Alvaro Silva, obrigado pela observação, já foi feito a correção.

      y(x+1 - 4) = 2 próximo passo seria
      y(x - 3) = 2

      Excluir
    2. na letra D , da onde vem o Y ? em x=2-y+ 4y ??

      Excluir
    3. Qualquer função começa com y ou f(x), é a mesma coisa.
      Para transformar uma função em função inversa quando possível, o primeiro passo é trocar onde tem y por x e x por y, e depois é só fazer as operações indicadas.

      Excluir
    4. ainda não entendi...

      Excluir
    5. Aquele 'y' no "4y (4 multiplicando Y)" da expressão "y = (2-x/x) + 4" presente na letra D da questão 7, é devido ao MMC (Mínimo Múltiplo Comum), cálculo que deve ser previamente realizado nessa questão, pois o membro direito desta função apresenta uma soma de frações (Assista aulas sobre soma de frações) que é: "(2-y)/y + 4/1" pois quando não há nenhum número no denominador, isto significa que este número é '1'. Realizando o MMC você chegará em: "((2-y)+4y)/y" chegando assim na expressão final que é: "x = ((2-y)+4y)/y".

      Espero ter ajudado!

      Excluir
  2. Obrigado aí,cara!!! Isso vai ajudar bastante a me exercitar pra prova de amanhã!!!

    ResponderExcluir
  3. qual seria a relação inversa da função y = 2/(x2-x)

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Gostaria de pode ajudar, mas a função que você escreveu não esta muito clara. Dê uma olhada no youtube, você pode acessar até mesmo do celular, quem sabe você encontra alguma função parecida com a sua.

      Eu sempre falo para as pessoas, que algumas expressões de matemática fica quase impossível de escreve nesse espaço dos comentários.

      Excluir
    2. X=2/2y-y
      Faz cruz credo
      X(2y-y)=2
      2xy-xy=2
      Isola y
      Y(2x-x)=2
      Passa dividindo.. Fica:
      Y=2/2x-x
      Ou seja ... N muda

      Excluir
  4. Alguém poderia me explicar isso de X≠2

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. João Marcos, quando nos livros de matemática você encontrar X≠2 ou outros valores como por exemplo X≠ -1; X≠3. Isso quer dizer que o valor de x deve ser qualquer um diferente desse valor,

      No caso X≠2 se x for igual a 2 esse valor anula o resultado.

      Veja o questão dois do exercício letra b. Colocando 2 no denominador no lugar de x, o denominador zera, e em matemática isso não é possível, já que não existe nenhum número divisível por zero.

      Espero ter ajudado.
      Bons estudos.

      Excluir
  5. numero 2 letra C:
    por que multiplicou por -1 na parte -y+xy=-x-4 sendo que na letra B ocorreu o mesmo e nao teve que multiplicar por -1

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Com a mesma dúvida...

      Excluir
    2. Estou exatamente com a mesma dúvida ..

      Excluir
    3. Nesse espaço fica muito difícil escreve fórmula matemática, para Gabriel e Matheus enviei por email.

      Nesse caso foi necessário usar esse método, pois caso contrário o resultado final estaria errado. Veja que na questão 2 as funções B e C não são iguais como se pensam. Qualquer coisa peça ajuda ao seu professor de Matemática, para sanar sua dúvida.

      Excluir
    4. manda para o meu email tbm por favor, saandersonn.rocha@hotmail.com

      Excluir
    5. manda para o meu tbm professor ? aureajuliab@gmail.com
      Obrigada !

      Excluir
    6. boa noite! professor tenho essa duvida também pode mandar pro meu amail, mrodriguesteles@gmail.com

      Excluir
  6. Gostaria de tirar uma duvida..

    Na letra D do quesito 7 -

    porque depois de x = (2 - y / y) + 4 se torna x = (2 - y / y) + 4y .. qual o porque deste 4 ser multiplicado por y nessa equaçao ?

    Pois cheguei a um resultado de y = 6 / x + 1 e nao a que esta na resposta.

    Desde já agradeço.

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Observe que depois que é feito a mudanças das letras o denominador é y, como estamos tratando de adição de frações, toda vez que os denominadores são diferentes iguala os denominadores.
      sendo assim ficou
      xy = 2 - y + 4y
      y - 4y + xy = 2
      y(1 - 4 + x ) = 2

      y = 2/x-3

      Excluir
  7. Por favor tem como vcs me ajudar, como resolvo a função em que diz: dada a função f pela fórmula y=2-5x calcule. f(f(2)) e a próxima questão é: f(f(1/2)). Me ajudem.

    ResponderExcluir
  8. Por favor tem como vcs me ajudar, como resolvo a função em que diz: dada a função f pela fórmula y=2-5x calcule. f(f(2)) e a próxima questão é: f(f(1/2)). Me ajudem.

    ResponderExcluir
  9. Tenho um livro em casa:matemática aula por aula.E que por ventura todas as questões dessa pagina estão no livro..pensei ate que fosse do Vergniaud S,creio que não seja,mas MSM assim me ajudou MT.Obg

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Boa noite Gabriela! No final da postagem eu citei o livro e a página. (Exercícios tirados do livro: Matemática aula por aula: volume único de Benigno e Claudio; página 62; FTD,2000).

      O meu blog é destinados aos alunos do Ensino Fundamental maior. Mas de vez em quando posto algum conteúdo do Ensino Médio.

      Excluir
  10. y=2x+1/3 pode resolver isso por favor]

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Você esqueceu de dizer o que a questão pede: pode ser o gráfico da função; a inversa ou o zero (raiz) da função.

      Excluir
  11. Eu não consegui entender a parte "2y(x-1)=x+1", porque apareceu o -1. Na questão 8b

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Antes de chegar a esse resultado que você não entendeu. Parou aqui;
      2yx-2y=x+1 coloca o fator comum que nesse caso é 2y e efetua a divisão do 1º membro
      2y(x -1) = x + 1

      Vejamos o que fiz;
      2yx : 2y = x
      (-2y) : 2y = -1
      Espero que tenha ficado mais claro.

      Excluir
  12. questão 8 de onde ele tirou aquele 4y?!

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Eu multipliquei o y que estava no denominador pelo +4.

      Reveja adição de frações com denominadores diferentes que você vai entende.

      Excluir
  13. PROFESSOR O SENHOR PODERIA RESOLVER ESSA QUESTÃO, POIS NÃO ESTOU ENTENDO.
    SEJAM f: R R, DEFINIDA POR f(x)=2x+3 e g definida por g(x)=3x2-5, obtenha gof e fog

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Felipe no mesmo blog tem uma outra página com esse tipo de exercício. Você entrou na página que fala de função inversa.
      Era só você digita na caixa de pesquisa: função composta.

      http://matematicaseriada.blogspot.com.br/search?q=fun%C3%A7%C3%A3o+composta


      É você colocar uma função dentro da outra e resolver. O espaço aqui não permite colocar fórmulas. Mas vamos lá espero que você entenda.

      f(x) 2x + 3
      g(x)3x^2 - 5 (^ sinal para dizer que 3x foi elevado ao quadrado)

      Primeiro ele pede
      GoF

      gof(x) = [f(x)] = 3x^2 - 5 ( no lugar do x, tiro e coloco a função f(x)

      g[f(x)]= 3(2x+3)^2 - 5 ( multiplicando 3 por quem esta dentro)

      g[f(x)]= (6x+9)^2 - 5 ( elevando ao quadrado quem esta dentro)
      g[f(x)]= (36x^2 + 2.6x.9 +81) - 5
      g[f(x)]= (36x^2 + 108x +81) - 5
      g[f(x)]= 36x^2 + 108x +81 - 5 ( concluindo)

      g[f(x)]= 36x^2 + 108x + 76 ( lembre que ^ significa que 36x esta sendo elevado a 2.


      fog

      fog(x) = f[g(x)]= 2x + 3 a mesma coisa tiro o x e coloca a função de g(x)

      f[g(x)]= 2(3x^2 - 5) + 3 ( multiplicado o 2 por quem esta dentro)
      f[g(x)]= (6x^2 - 10) + 3
      f[g(x)]= 6x^2 - 10 + 3 ( concluindo)
      f[g(x)]= 6x^2 - 7

      Boa sorte.



      Excluir
  14. Peço a resolução de f(x)=(2x+4):(3x-6)

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. No exercício tem algumas questões parecida com essa sua função. f(x)=(2x+4):(3x-6)
      Tiro f(x) e coloco y que é a mesma coisa.
      y=(2x+4):(3x-6) agora troco cada letra, isto é, no lugar de y coloco x, no lugar de x coloco y

      x=(2y+4):(3y-6) multiplico o denominador por x

      x(3y-6)=(2y+4)
      (3yx-6x)=(2y+4) coloco o termo que tive y para o primeiro membro e x para o segundo membro.

      3yx - 2y = 6x +4 insolo y e faço a divisão.
      y(3x - 2) = 6x + 4 deixo y no primeiro membro e jogo 3x-2 para o segundo membro dividindo.
      y= (6x + 4)/(3x-2 ) ( sinal / para indicar a divisão)

      Lembre que na hora de escreve de tira esses parêntes

      y=6x+4/3x-2


      Excluir
  15. Veja o caso dessa função:
    Obter a inversa de Y=x+2/x-1

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Marcos Aurélio Araújo.
      Nem toda função tem inversa. Reveja o assunto relacionado com funções em qualquer livro do 1º ano do Ensino Médio, para que você possa entender o que estou falando.

      Veja no caso que você mandou.

      y=x+2/x-1 Você faz uma troca das letra, assim
      x=y+2/y-1 multiplica-se o denominado y-1 por x no outro membro
      x(y-1)=y+2
      xy -x = y+2 leva o y para o 1º membro e traz -x para o 2º, não esqueça de mudar os sinais
      xy-y=x+2 isola y e divide
      y(x -1) = x+2 x-1 esta multiplicado passa para o outro lado dividindo
      y=x+2/x-1

      Observe que o resultado foi o mesmo da função original.

      Excluir
    2. Qual seria a resposta correta para essa questão?
      1.a função não admite inversa
      2.y=x+2/x-1
      Pois, tenho essa mesma questão
      Para marcar alternativa correta.
      Na letra a Y=x+2/x-1
      Seria a correta?

      Excluir
    3. Qual seria a resposta correta para essa questão?
      1.a função não admite inversa
      2.y=x+2/x-1
      Pois, tenho essa mesma questão
      Para marcar alternativa correta.
      Na letra a Y=x+2/x-1
      Seria a correta?

      Excluir
    4. Qual seria a resposta correta para essa questão?
      1.a função não admite inversa
      2.y=x+2/x-1
      Pois, tenho essa mesma questão
      Para marcar alternativa correta.
      Na letra a Y=x+2/x-1
      Seria a correta?

      Excluir
  16. Este comentário foi removido pelo autor.

    ResponderExcluir
  17. Este comentário foi removido pelo autor.

    ResponderExcluir
  18. Este comentário foi removido pelo autor.

    ResponderExcluir
  19. Bom dia!por favor me confirme o resultado dessa questão!
    Eu fiz deu 9/4
    Altura máxima atingida pelo projétil, com ,O=x=5
    -x^2+7x-10=FX
    Derivei encontrei 9/4

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Marcos Aurélio, não entendi a sua expressão matemática. Você fala que derivou. Se o assunto for derivada veja no blog tem um link chamado CALCULO MAIS, lá tem o assunto de derivada. Boa sorte.

      Excluir
    2. Não professor, pode resolver
      Calculando as coordenadas do
      Vértice da parábola!
      Calcule a altura máxima atingida pelo projétil..
      f(x)= -x^2+7x-10
      0<x<5
      Quero só confirmar o resultado!

      Excluir
    3. Não professor, pode resolver
      Calculando as coordenadas do
      Vértice da parábola!
      Calcule a altura máxima atingida pelo projétil..
      f(x)= -x^2+7x-10
      0<x<5
      Quero só confirmar o resultado!

      Excluir
    4. Não professor, pode resolver
      Calculando as coordenadas do
      Vértice da parábola!
      Calcule a altura máxima atingida pelo projétil..
      f(x)= -x^2+7x-10
      0<x<5
      Quero só confirmar o resultado!

      Excluir
    5. No blog tem postagem desse assunto.

      Para encontrar o vértice de x
      Divide o -b por 2a

      -7/-2 = 3,5

      Para encontrar o vértice de y que vai dar a resposta que você quer

      -Delta dividido por 4a

      -9/-4

      ou mudando o sinal

      9/4

      Excluir
  20. No blog tem postagem sobre cálculo integral?
    Pois tem uma questão que não consigo resolver!

    ResponderExcluir
  21. boa noite! a resposta da 6 é , F de -1 :4/3?

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Eu não sei se seu navegador esta conseguindo abrir neste exercício. O meu não esta abrindo, vou ter que refazer esse exercício. A resposta é y= 1/3

      Excluir
  22. A questão C da 2, acho q está errada, a resolção seria:
    y=x-4/x+1
    x=y-4/y+1
    (y+1)x=y-4
    yx+x=y-4
    yx-y=-4-x
    y(x-1)=-4-x
    y=-4-x/x-1 para x diferente de 1

    Se estiver errado me desculpe, mas eu me baseei na resolução da B da 2

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Também pensei assim, acho que eles erraram aí!

      Excluir
  23. \Muito bom essa parte de função inversa...Parabéns!!!

    ResponderExcluir
  24. Na questão B da 8 , quando chega na parte que o Y= 1+X/X-1/2 ,o certo não seria inverter a fração de baixo pra que ela possa multiplicar a fração de cima e chegar a um resultado não entendi porque o denominador da segunda fração tava dividindo e passou a multiplicar a propria fração , isso no meu entendimento está errado

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Obrigado pela observação, já foi feita a correção.

      Excluir
  25. Agradeço pelo conteúdo que me ajudou bastante a treinar. E digo também que a resolução da 7 letra C e 8 letra B estão erradas. Pois na divisão de frações deve-se repetir a base e multiplicar pelo inverso da segunda.

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Obrigado pela observação, já foi feita a correção.

      Excluir
  26. segure meu {\displaystyle \pi } \pi {\displaystyle \pi } \pi

    ResponderExcluir
  27. Se eu quiser na C da questão 2, inves de só trocar de posição na resolução, eu posso multiplicar por (-1) para deixar a conta positiva? Para no resultado abaixo ficar x+1? E x diferente de -1?

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. No denominador não pode ficar zero, se o resultado foi igual a -1 você zero o denominador. Por isso no enunciado diz que x tem que ser diferente de -1. Isto é, pode ser qualquer valor dierente de -1

      Excluir
  28. olá, tenho uma dúvida na questão 8, letra (A) pq quando xy=2-y+4Y deu o resultado a seguir de xy=2+3Y?

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Observe xy=2-y+4y

      -y +4y sinais diferente de um lado eu tenho um menos y e do outro lado tenho quatro mais y
      Sendo assim posso subtrair isso ai. Lembrando de conservar o sinal do maior módulo.

      -y +4y = 3y

      ficando assim: xy = 2 +3y

      Excluir
    2. aaaah sim, muito obrigado!

      Excluir
  29. Como q f (x)= 3x +1 resultaria em 3y=x-2??? ;-;

    ResponderExcluir
  30. Respostas
    1. Obrigado pela observação, foi ao digitar. Mas a resposta final estava certa. Já foi feita a correção.

      Excluir