24 de abr de 2015

II-GEOMETRIA PLANA

Dando continuidade ao estudo de geometria plana. Estes conhecimentos se faz necessário principalmente no estudo de geometria espacial.


Ângulo


É a reunião de duas semirretas a partir de um ponto comum (origem), ou vértice.


Ângulo agudo - quando sua medida for maior que 0º e menor que 90º.( 0º>90°).


Ângulo reto - quando sua medida é igual a 90º.

Ângulo de meia volta - quando sua medida foi igual a 180°.

Ângulo de uma volta - quando sua medida foi igual a 360°.

Ângulo obtuso - quando sua medida for maior que 90° e menor que 180º ( 90°>180°).

Ângulos complementares - quando a soma das medidas de dois é igual 90°.

45º + 45º = 90º

Ângulos suplementares - quando a soma das medidas de dois ângulos é igual a 180º.

135º + 45º = 180º

Duas retas paralelas cortada por uma transversal

t é a reta transversal
r//s são paralelas (// símbolo que quer dizer r é paralelo s).


Ângulos  alternos internos

Os ângulos alternos internos tem a mesma medida, isto é, são iguais, e são chamados de congruentes.


Ângulos  alternos externos

Como os ângulos â e d têm as mesmas medidas, logo, são ângulos congruentes.





Ângulos colaterais internos

A soma de dois ângulos colaterais internos é igual a 180º. São chamados de ângulos suplementares.
ĉ + ĝ = 180°




Ângulos colaterais externos


A soma de dois ângulos colaterais externos é igual a 180º. São chamados de ângulos suplementares.
â + d = 180°



Ângulos correspondentes


Os ângulos â e ĉ são correspondentes, esses ângulos tem a mesma medida: são ângulos congruentes;

Os ângulos ĝ e ĥ são correspondentes, esses ângulos tem a mesma medida: são ângulos congruentes;
â ≘ ĉ

ĝ ≘ ĥ




TRIÂNGULOS



Indicação
ΔABC

Lados do triângulo são:
AB, BC e CA

Vértices do triângulo são:
A, B, C

Ângulos internos
â, b,  ĉ

A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180º.
â +  b +  ĉ = 180°

Obs: a classificação dos triângulos quanto aos lados já foi visto em uma outra postagem.


Classificação dos triângulos quanto aos ângulos

Retângulo

O triângulo retângulo é aquele possui um ângulo interno reto, ou seja um de seus ângulos mede 90º. 
Na figura o ângulo de 90º é o do vértice B, representado por â.


Acutângulo
Todos os ângulos internos são agudos, quando cada um mede menos de 90º.
â < 90° 
b < 90°
ĉ < 90°

Obtusângulo


Possui um de seus ângulos interno obtuso, isto é, for maior que 90º e menor do que 180º.
â>90º  e  â<180º


Semelhança de triângulos 


ΔEFG  Δ HIJ
Os ângulos correspondentes são congruentes.
Os lados correspondentes são proporcionais. 



Teorema: se uma reta paralela a um lado do triângulo intercepta os outros dois lados em pontos distintos, então ela determina um novo triângulo semelhante ao primeiro.
__     __ 
AB // FG











1º caso: AA
Quando dois triângulos possuem dois ângulos respectivamente congruentes são semelhantes.
 ≘ Â'



Ĉ ≘ Ĉ

Δ ABC ~Δ A'B'C'


~ símbolo de semelhança


2º caso: LAL
Quando dois triângulos possuem dois lados correspondentes proporcionais e os ângulos compreendidos entre eles congruentes são semelhantes. 


Ĉ ≘ Ĉ











3º caso: LLL
Quando dois triângulos possuem os lados correspondentes proporcionais são semelhantes.












15 de abr de 2015

EXERCÍCIOS- EQUAÇÕES EXPONENCIAIS

Para a resolução de equações exponenciais o aluno precisa saber as propriedades das potências, além de alguns artifícios utilizados. Nos exercícios abaixo vamos utilizar três tipos de resoluções, um para cada questão:


1) Determine o conjunto verdade das equações exponenciais:
a) 2x = 8
b) 2x = 64
c) 25x = 125
d) 7x = 343





2)Determine o conjunto verdade das seguintes equações exponenciais:
a) 3x+1 + 3x+2=12
b) 2x +1 + 2x + 3 =20
c) 7x-1 +7x+1=50
d) 5x-1 +5x-3=26



3)Determine o conjunto verdade das seguintes equações exponenciais:
a) 22x – 9.2x + 8 =0
b) 4x – 3.2x + 2 =0
c)25x – 30.5x = -125



RESPOSTAS:


1) Questão:

1º tipo de resolução:

Para resolver esse tipo de equações exponenciais as bases devem ser iguais, para isso igualamos as bases.

a)
2x = 8        (fatorando o 8 para igualar as bases);
2x = 23      (agora igualando os expoentes);
x=3
s={3}  ( solução ou  conjunto verdade)


b) 
2x = 64     (fatorando o 64 e igualando as bases); 
2x = 26       (igualando os expoentes);
x=6
s={6}


c) 
25x = 125      (fatorando os dois membros para igualar as bases )
(52)x = 53         (igualando os expoentes)
2x = 3








d) 
7x = 343  
7x = 73
x= 3  
s={3} 


e)





2x = 2-5

x= -5

s={-5}



2) Questão

2º tipo de resolução:

Trocamos  uma variável (letra) por outra variável, que chamamos de mudança de base.
Estudem as propriedades das potências: (am .an = am+n)


a) 
3x+1 + 3x+2=12               (separando cada termo com potência de mesma base);

3x . 31 + 3x . 32=12        ( troco 3x  por uma letra qualquer. Usando  yficando assim: 3x= y);
y . 3 +  y . 32=12          (substituindo na equação y por 3x );

3y + 9y = 12

12y = 12

      
                      (substituindo y=1 para obter o valor de x)



 3x= y
3= 1  
3x = 30      
 x= 0                  (igualando os expoentes)
s={ 0}



b) 
2x +1 + 2x + 3 =20       (separando cada termo com potência de mesma base);
2x . 21 + 2x .2 3 =20   ( trocando 2x  por  yficando assim: 2x= y);
y . 2+  y .2 3 =20
2y  +  8y  =  20
10y = 20


     



2x= y 
2x= 2

2x=21

x=1

S={1}



c) 
7x-1 +7x+1=50
7x . 7-1 +7x. 71=50     ( substituindo: 7x =y )
 y . 7-1 +y. 71=50















7x =y 

7x=7


7x =71

x=1     (igualando os expoentes)

S={1}



d) 
5x-1 +5x-3=26   
  
5x . 5-1 +5x . 5-3=26 




   













5x =y

5= 125

553


x = 3

S={3}


3) questão:

3º tipo de resolução:

Além, de fazer a troca de um variável  por outra variável ( mudança de base)  resolver-se a equação do do 2º grau.

a)
22x – 9.2x + 8 =0
(2x)2 – 9. 2x + 8 = 0        ( 2x = p )

p2 – 9p + 8 = 0     resolvendo a equação do 2° garu













p' = 9+7     =  8
         2


p'' = 9 - 7   = 1
           2


2x = p    fazendo a substituição

2x = p'
2x = 8
2x = 23
x= 3

2x = p''
2x = 1
2x = 20
x= 0

S={0, 3}



b)
4x – 3.2x + 2 =0

(2x)2 – 3. 2x + 2 = 0        ( 2x = p )

(p)2 – 3.p + 2 = 0 






    








p'= 3 + 1  = 2

         2
p'' = 3 - 1 = 1
           2

 2x = p

2x=p'

2x=2

2x = 21

x=1


2x = p

2x=p''

2x=1

2x = 21


2x = 20

x=0

S={0, 1}



c) 
25x – 30.5x = -125

(5x)2 – 30. 5x + 125 = 0        ( 5x = p )

(p)2 – 30.p + 125 = 0 















p' =  30 + 20  = 25
             2

p'' = 30 - 20  = 5
            2




 5x = p
5x = p'
5x = 25
5x = 52

x = 2 


 5x = p
5x = p''
5x = 5
5x = 51
x = 1

S={1, 2} 

Agora é com vocês:

1) resolva as equações exponenciais abaixo, depois confira o resultado pra ver se acertou:
a) 4x=16
b) 25x = 625
c) 2x+2 + 2x-1 = 18

d) 4x – 12. 2x = - 32


Respostas:
a) S={2}
b) S={2}
c) S={2}
d) S={2,3}

12 de abr de 2015

DISPOSITIVO PRÁTICO DE BRIOT-RUFFINI

O dispositivo prático de Briot-Ruffini é utilizado para fazer a divisão de polinômiosisto é, Para fazer a divisão de um polinômio P(x) por outro polinômio Q(x).


O dispositivo permite encontrar o quociente e o resto da divisão de um polinômio P(x) de grau n (n> 1) por um binômio x-a, sendo (n -1) o grau do quociente.


 Vejamos um exemplo prático de como fazer:
a) Efetuar a divisão (x3 +2x2 – x + 3) : (x - 1)

1º passo:
Devemos determinar a raiz do binômio x - 1
x = 1, nesse caso a raiz é 1.

colocamos a raiz encontrada nesse caso 1 no lado esquerdo. como mostra o esquema abaixo, enquanto os coeficientes no lado direito:








2º passo:
 Abaixe o primeiro coeficiente e multiplique pela raiz e depois some com o segundo coeficiente, coloque o resultado abaixo, isto é ao lado do primeiro coeficiente. E assim o processo será repetido até o último coeficiente.


   1 . 1 = 1  multiplica 1 pela raiz, resultado soma com o 2.
   1 +2 = 3  colocar-se o 3 no quociente.







      3 . 1 = 3  multiplica 3 pela raiz, resultado soma com o -1.
      3 + (-1)= 2     colocar-se o 2 no quociente.







     2 . 1 =2   multiplica 2 pela raiz, resultado soma com o 3.
     2 + 3 = 5  este número é o resto da divisão.





3º passo:Organizando tudo:
Os três primeiros números são os coeficientes. O último número é o resto da divisão.
Lembrando que o quociente terá sempre um grau a menos do dividendo:













Quociente: Q(x)= x2 + 3x + 2
Resto: R(x) = 5


b) Efetuar a divisão (4x3 - 2x2 +3x -1) : (x +2)
 calculando a raiz ( x + 2)
x = -2 (raiz do binômio x + 2 é - 2)

Efetuando a divisão








4 . (-2)=-8
-8 + (-2) = -10
___________________

-10 . (-2) = 20
20 + 3 = 23
___________________

23 . (-2) = -46
-46 + (-1) = - 47 é o resto da divisão

Organizando:
Q(x)= 4x2 - 10x + 23
R(x)= -47


c) Efetuar a divisão (x4 + 2x3 + x - 6) : ( x - 3)
Observe que o polinômio é do 4º grau, incompleto. Para isso precisamos arrumar, ficando assim:
x4 + 2x3 + 0x2 + x +  46

calculando a raiz de ( x - 3)
x = 3 
Efetuando a divisão:



1 . 3 = 3
3 + 2 = 5
_____________
5 . 3 = 15
15 + 0 = 15
______________
15 . 3 = 45
45 + 1 = 46
______________
46 . 3 = 138
138 + (- 6) = 132 o resto da divisão

Q(x)= x3 + 5x2 + 15x + 46
R(x)= 132


Agora é com vocês:
Utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini, determine o quociente Q(x) e o resto R(x), da divisão dos polinômios abaixo:

a) (x2 - 7x  + 12) : ( x - 5 )
b) (2x3 - 4x2 + x - 3) : ( x - 1 )
c) (4x3 - 3x + 4) : ( x - 4 )


RESPOSTAS:
a)
Q(x) = x -2
R(x) = 2


b)


Q(x) = 2x2 - 2x  -1
R(x) = - 4


c)
Q(x)= 4x2 + 16x + 61
R(x)248