27 de jun de 2017

EXERCÍCIOS COM SENOS E COSSENOS

Este assunto é visto a partir do 9° ano.
O aluno deve prestar bastante atenção por se tratar de um assunto muito complexo.
Os exercícios foram tirados do livro Conquista da Matemática do 9° ano dos autores José Ruy Giovanni Jr. e Benedicto Castrucci. página 285

1) Determine a medida x indicada no triângulo da figura.



2) No triângulo ABC da figura seguinte, as medidas indicadas são consideradas em centímetros. determine as medidas a e b.Sabendo que:







3) Considerando que, no triângulo ABC da figura e determine a medida x indicada.
Sabendo que:


4) Considerando que, no triângulo ABC da figura abaixo, determine a medida c. Sabendo que:








5) Qual é o valor do cos N no triângulo MNO da figura?


6) No triângulo DEF, determine a medida x indicada sabe-se que:




7) Três cidades, A, B e C encontram nos vértices de um triângulo qualquer, como nos mostra o desenho abaixo.


As distâncias em linha reta entre A e B e entre A e C estão assinalados no desenho. Qual a distância, em linha reta em e quilômetros, entre as cidade B e C ?


8) Três ilhas, A, B e C, aparecem em um mapa com a mesma disposição da figura abaixo. Sabendo que nesse mapa 1 cm equivale a 0,1 km no real, qual a distância real, em quilômetros, entre as ilhas A e B? AC=12 cm 



16 de jun de 2017

EXERCÍCIOS - COM MDC

1) (UFMG) Três fios têm comprimentos de 36m, 48m e 72m. Deseja-se cortá-los em pedaços menores, cujos comprimentos sejam iguais, expressos em número inteiro de metros e sem que haja perda de material. O menor número possível de pedaços é:

a) 7                          b)9                        c) 11                d) 13                   e) 30


2) Ana precisa cortar em pedaços iguais fitas coloridas para enfeita a escola no dia de festa. Ela tem 12m de fita verde, 18m de fita azul, 48m de fita amarela e 60m de fita vermelha. Qual deve ser o comprimento de cada pedaço de fita?


3) Paulo tem duas tábuas uma de 90 centímetros e a outra de 126 centímetros. Ele quer cortá-las em pedaços de mesmo tamanho, sendo que o comprimento deve ser o maior possível. Qual deve ser o comprimento de cada pedaço?


Solução:


1) Após fatorar os números 36, 48 e 72 encontramos.




Observe que já tinham 36m, 48m e 72m, isto é, três pedaços. Foram cortados em 11 pedaços.
1º corte: 18m, 24m e 36m
2º corte: 9m, 12m e 18m
3º corte: 6m e 9m
4º corte: 3m

5º corte: 3m e 3m

Resposta final:
c) 11



2) Nesta questão ele  não quer saber em quantos pedaços foram cortados, mas, o tamanha que cada pedaço vai ter.




Observe que 2 e 3 são os números que dividiu os quatros números ao mesmo tempo.
Sendo assim: 2 . 3 = 6


Cada pedaço de fita vai ter 6 metros de fita.



3) Observe que a maneira de resolver é a mesma.



Observe que 2 e 32 são os números que dividiu os quatros números ao mesmo tempo.
Sendo assim: 2 . 9 = 18

Cada pedaço de fita vai ter 18 centímetros cada pedaço.



15 de jun de 2017

EXERCÍCIOS - NÚMEROS DE DIVISORES

1) Determine quantos divisores possui o número 450?

2) Determine quantos divisores têm o número 840?


3) Qual o número de divisores têm o número 3 430 000?

4) Qual o valor de n para que o número 23 x 32 x 5n  admita 60 divisores?

5) Qual é o valor de y que o número 3y x 3 x 32   admita 36 divisores?


Solução:


1) Após decompor em fatores primos o número 450:
450 = 2 x 32 x 52
Soma-se uma unidade em cada expoente antes de efetuar a multiplicação:
21+1 x 32+1 x 52+1
1+1 x 2+1 x 2+1 = 2 x 3 x 3 = 18

450 têm 18 divisores.


2) Após decompor em fatores primos o número 840:
840 = 23 x 3 x 5 x 7
Soma-se uma unidade em cada expoente antes de efetuar a multiplicação:
23+1 x 31+1 x 51+1 x 71+1
3+1 x 1+1 x 1+1 x 1+1
4 x 2 x 2 x 2 = 32

840 têm 32 divisores.


4) Ele já deu o número de divisores e ao mesmo tempo esse número fatorada, sendo que esta faltando o expoente de 5.

23 x 32 x 5n  = 60 
3+1 x 2+1 x (n + 1) = 60   ( somando uma unidade ao expoente)
4 x 3 x(n+1) =60
12(n+1) =60
12n + 12 = 60
12n = 60 – 12
12n = 48
n = 48/12
n=4


5) A resolução desta questão é o mesmo processo da anterior:

2y x 3 x 52 = 36
(y+1) x 1+1 x 2 + 1 = 36
(y+1) x 2 x 3 = 36
(y+1) x 6 = 36
6y + 6 = 36
6y = 36 – 6
6y = 30
y = 30/6
y = 5

10 de jun de 2017

NÚMERO DE DIVISORES

Aqui vamos ver mais um pouco o assunto relacionado a divisores de um número. Em outras postagens já foram visto como calcular os divisores em fatores primos.

Vamos ver agora não os divisores mas o total de divisores de um número, isto é, quantos são os divisores e não quais são os divisores.


Exemplos:

a) Quantos divisores tem o número 60?

I- Fatoramos 60 em números primos


22 x 3 x 5


II- Adicionamos uma unidade a mais em cada expoente dos fatores primos

2 + 1=3
1 + 1=2
1 + 1=2


III- Multiplicamos os resultados para encontrar a resposta:

3 x 2 x 2 = 12

Logo 60 têm 12 divisores.



b) Quantos divisores têm o número 360?

23 X 32 x 5

3+1=4
2+1=3
1+1=2

4 x 3 x 2 = 24

360 têm 24 divisores.


c) Quantos divisores têm o número 8400?

24 x 3 x 52 x 7

4 + 1 =5
1 + 1=2
2 + 1=3
1 +1=2

5 x 2 x 3 x 2= 60

8400 têm 60 divisores.


Agora é com vocês:
Determine o número de divisores de:
a) 840
b) 900




5 de jun de 2017

DIVISORES DE UM NÚMERO

O Máximo Divisor Comum (MDC) de um ou mais números já foram estudados em outra postagem. 
O Mínimo Múltiplo Comum (MMC) de um ou mais números naturais já foram estudados em outra postagem do blog.

Nesta postagem vamos ver como encontrar todos os divisores de um número natural.

Vejamos o exemplo:
a) Quais os divisores de 60?

D (60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}

Podemos usar o método da fatoração para encontrar o mesmo resultado, vejamos como:

1º Fatora o número dado em fatores primos:




2º Após fatorado o número, traçar uma linha vertical a direita desse resultado.



3º Coloca-se o 1 (um) acima do primeiro número primo. E multiplica-se pelo número primo.



D (60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}



4º Repeti-se esse processo até que todos os primos sejam multiplicados, por todos números da direita. Observe abaixo os números em vermelho representa os números primos que foram encontrados na fatoração de 60. Os resultados são todos os divisores desse número.
            1
2 x 1 = 2
2 x 1 =      ( não é necessário, lembre que 2 já foi multiplicado)
2 x 2 = 4 
3 x 1 = 3
3 x 2 = 6
3 x 4 = 12
5 x 1 = 5
5 x 2 = 10
5 x 3 = 15
5 x 4 = 20
5 x 6 = 30
5 x 12 = 60

D (60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}


Vejamos outros  exemplos:
b) Quais os divisores de 150?


D (150) = { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150}



c) Quais os divisores de 250?


D (250) = {1, 2, 5, 10, 25, 50, 75, 250 }



15 de mai de 2017

REGRAS DOS SINAIS


OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS



Observação: A mesma regra da adição serve para a subtração:

ADIÇÃO

(+) + (+) = +  Sinais iguais, soma-se e conserva o sinal.
(+7) + (+9) = + 16

(-7) + (-9) =  - 16



(+) + ( - ) = Sinais diferentes, subtrai-se e conserva o sinal do maior módulo.
(+7) + (- 9) = - 2
+7 - 9 = - 2     tirando do parêntese 

(- 7) + (+ 9) = + 2
-7 + 9 = +2  tirando do parêntese

SUBTRAÇÃO

(+) - (+) =  Sinais diferentes subtrai-se e conserva o sinal do maior módulo
(+7) - (+9) = - 2

+7 - 9 = - 2   tirando do parêntese


(+) - ( -) = Sinais iguais soma-se e conserva o sinal.
(+7) - (- 9)  = + 16

+7 + 9 = +16    sem os parêntese

(-7) + (- 9) = - 16
-7 - 9 = - 16






Observação: A mesma regra da Multiplicação serve também para a Divisão

MULTIPLICAÇÃO

( + ) . ( + ) = + sinais iguais, resultado será um número inteiro positivo.
(+6) . (+5) = + 30

(-6) . (-5 ) = + 30

(+) . (-) = - sinais diferentes, resultado será um número inteiro negativo.
(+6) . (-5) = -30

(-6) . (+5) = -30


DIVISÃO

( + ) : ( + ) = + sinais iguais, resultado será um número inteiro positivo.
(+60) : (+5) = +12

(-60) : (-5 ) = +12

(+) : (-) = - sinais diferentes, resultado será um número inteiro negativo.
(+60) : (-5) = -12

(-60) : (+5) = -12



RESUMO


ADIÇÃO/SUBTRAÇÃO

Sinais iguais somam-se e conserva o sinal.

+25 + 87 = + 112

- 25 – 87 = - 112

Sinais diferentes subtraem e conservam o sinal do maior módulo. 

- 25 + 87 = + 62

+ 25 – 87 = - 62


MULTIPLICAÇÃO / DIVISÃO

Sinais iguais, o resultado vai ser positivo.
(+ 36) x ( + 6) = + 216

( - 36) : ( -6) = + 6

Sinais diferentes, o resultado vai ser negativo.
( + 36) x ( - 6) = - 216

( - 36) : ( +6) = - 6



Agora é a sua vez:

1) Calcule:
a) (+25) + (+ 47) =
b) ( - 23) + (+37) =
c) ( - 48) + (+ 14) =
d) ( - 3) . ( - 15) =
e) ( + 9) . ( - 8) =
f) (+ 5) . ( + 76) =
g) (- 27) : ( -3) =
h) ( +49) : ( - 7) =

8 de mai de 2017

SOLUÇÕES DE PROBLEMAS USANDO O TEOREMA DE PITÁGORAS

Este exercícios se encontram no livro: " A Conquista da Matemática 9º ano".

1) O portão de entrada de uma casa tem 4 m de comprimento e 3 m de altura. Qual a medida da trave de madeira que se estende do ponto A ao ponto C, conforme a indicação da figura?








2) Um terreno tem a forma do quadrilátero ABCD, conforme a figura abaixo. Uma medição feita nesse terreno mostrou, em metros, as medidas indicadas. Fazendo,qual é o perímetro desse terreno?







3) Durante um incêndio em um edifício residencial, os bombeiros utilizaram uma escada Magirus de 10 m para atingir a janela de um dos apartamentos incendiados. A escada estava colocada a 1 m do chão, sobre um caminhão que se encontrava afastado 6 m do edifício. Qual é a altura desse apartamento em relação ao chão? 






RESPOSTAS:

OBS: Antes devemos lembrar o que diz o teorema de Pitágoras com relação aos triângulos retângulos.

O quadrado da hipotenusa é igual a soma do quadrado dos catetos.

Triângulo Retângulo é aqueles que possui um ângulo reto.
Chama-se de hipotenusa o lado do triângulo oposto ao ângulo reto.
Os demais lados são chamados de catetos.


1) Vejamos pelo desenho que a trave do portão forma dois triângulos.
Dados da questão:
4 metros de comprimento
3 metros de altura
Quanto mede a trave. ( representamos a trave por x, que nesse caso trata-se da hipotenusa)

x2 = 42 + 32     ( resolvendo as potências)

x2 = 16 + 9     ( resolvendo a adição)

x2 = 25       ( transformando essa potencia numa raiz )


 ( tirando a raiz)

Portanto a trave mede 5 metros.


2)
Dados da questão:
Lados:
AB = 12 metros
CD = 20 metros
AD = ?
BC = ?
Qual o perímetro?

Para encontrar o perímetro é necessário ter os valores dos lados, isto é, quanto mede cada lado do terreno.
Observe a linha que divide o terreno em dois triângulos retângulos.
Em relação ao triângulo ABD, essa linha representa a hipotenusa. Sendo assim vamos encontrar o valor do lado AD.

122 + x2 = 202

144 + x2 = 400

x2 = 400 – 144

x2 = 256

O lado AD mede 16 metros.

Calculando o lado BC, Observe que nesse caso BC é a hipotenusa em relação ao triângulo BCD

 x2 = 202 + 202

 x2 = 400 + 400

 x2 = 800



Lembre que na questão diz que podemos usar 1,4 no lugar da raiz de 2.
20 . 1,4 = 28

O lado BC mede 28 metros.

Já temos os valores de todos os lados. Podemos calcular o perímetro.

AB = 12 m         BC = 28 m     CD = 20 m  e DA = 16 m

12 + 28 + 20 + 16  = 76 metros

O perímetro desse terreno mede 76 metros.



3) 
Dados:
10 metros a altura da escada
6 metros de distância do prédio
1 metro de distância do chão.

A hipotenusa representa o lado indicado pela escada

x2 + 62 = 102

 x2 + 36 = 100

 x2 = 100 – 36

x2 = 64


Lembrado que tem mais 1 metro de distância, sendo assim:
8 + 1 = 9 
Logo a altura do edifício é de 9 metros.





(Fonte: A Conquista da Matemática 9º ano. p. 253. São Paulo-2009, 1ª ed. FTD)

21 de abr de 2017

COMO CALCULAR PORCENTAGENS COM CALCULADORA

Nas escolas geralmente são proibidas o uso da calculadora nas aulas de Matemática para fazer determinados cálculos. Porém, ao sai da escola o aluno se ver diante de determinadas situações em que o uso da calculadora é um instrumento indispensável na hora de fazer pequenos cálculos. No comércio, por exemplo, um vendendo pode até saber fazer determinados cálculos de cabeça, como regra de três simples, porém, o tempo que ele vai levar para fazer um determinado calculo é bem maior do que se ele usasse uma calculadora.

Mas tem um, porém, vai que esse vendedor nunca usou uma calculadora para isso? A escola nunca se deu ao trabalho de ensinar.

Hoje em dia existe no mercado diversos tipos de calculadoras. Não importa se ela é simples ou complexa, todas elas servem para fazer cálculos simples de porcentagens.


  

COMO CALCULAR PORCENTAGENS COM A CALCULADORA. 


Antes devemos lembrar de alguns conceitos básicos de porcentagens.

100%  corresponde ao todo ( o total )

Exemplo; 
Um determinado objeto custava em uma loja R$ 40,00 teve um desconto de 10%. Qual o preço deste objeto com o desconto?

100%           40,00
10%               x

Nesse caso o aluno usava a regra de três simples para encontrar o valor do desconto, e depois fazia uma outra operação para encontra a resposta final.

R$ 4,00 foi o desconto que foi dado. Falta  calcular o novo valor do objeto.
40 - 4 = 36

Logo o valor final é de R$ 36,00.


Fazendo o mesmo cálculo com a calculadora:


Lembre que 10% pode ser escrito assim:


10% foi o desconto dado, ele não quer saber de quanto foi esse desconto, e sim qual o valor do objeto depois do desconto. Subtraia 100 de 10 para encontra o valor a ser usado para fazer esse calculo.
100% - 10% = 90%


Vamos usar 90% para calcular o preço do objeto. (0,90 é chamado de fator de multiplicação).

Digite 40,  
digite x ( sinal de multiplicação), 
digite 0,90
aperte em = ( sinal de igualdade).

40 x 0,90 = 36



Usando a tecla de porcentagem % para fazer o mesmo calculo.
Digite 40
digite x
digite 90
aperte a tecla de %

40 x 90% = 36

Valor desse objeto com o desconto é de R$ 36,00

Outros exemplos:


a) Uma certa mercadoria custa R$ 1700,00 a prazo e 12% de desconto à vista. Qual o preço desta mercadoria com desconto?

100 - 12 = 88
Usando a calculadora sem a tecla de %
Digite 1700,  
digite x  
digite 0,88
aperte em = 
1700 x 0,88 = 1496



Usando a calculadora com a tecla de %
Digite 1700
digite x
digite 88
aperte a tecla de %
1700 x 88% = 1496


O valor da mercadoria com o desconto é de R$ 1496,00




b) Um livro que custava R$ 140,00 foi vendido numa liquidação com abatimento de 20%. Qual foi o valor do abatimento?
Observe que nesse caso ele não quer saber o valor do livro com o desconto, mas de quanto foi esse desconto.

20% = 0,20  ou simplesmente 0,2

 Usando a calculadora sem a tecla de %
Digite 140,  
digite x  
digite 0,20
aperte em = 
140 x 0,20 = 28



Usando a calculadora com a tecla de %
Digite 140
digite x
digite 20
aperte a tecla de %
140 x 20% = 28


O desconto foi de R$ 28,00