14 de abr de 2018

NÚMEROS COMPLEXOS

Um número complexo é um número da forma z=x + bi, sendo que x e y pertence aos reais  e



z = a + bi

Imaginário puro quando a = 0 e b ≠ 0
z= 0 + 2i ou z = 2i


Real quando b=0

z=5 +0i ou z = 5

Potências com a parte ou unidade imaginária

i0 = 1
i1 = i
i2 = -1
i3=i2 . i = (-1) . (i) = - i
i4 = i2 .i2 = (-1) . (-1) = 1
i5 = i2 .i2  . i = (-1) . (-1)  . i = i
i6 = i2 .i2  . i2 = (-1) . (-1)  . (-1) = -1
i7 = i2 .i2  . i2 . i = (-1) . (-1)  . (-1) . i = -i
i8 = i2 .i2  . i2 . i2 = (-1) . (-1)  . (-1) . (-1) = 1


Observe que de 4 em 4 o resultado esta se repetindo

Sendo n ∈ N

i4n = (i4)n = 1n = 1
i4n+1 = i4n . i = 1 . i = i
i4n+2 = i4n . i2 = 1 . (-1) = -1
i4n+3 = i4n . i3 = 1 . (-i) = -i

Observação: Ao dividir o expoente da potência por 4 o resto dessa divisão é o novo expoente da potência i.

Exemplo:
a) i42  =  42 : 4 = 10 e resto 2, sendo, i2   ou seja o i é elevado ao quadrado.
b)   i19  = 19 : 4 = 4  e resto 3, sendo assim i
c)   i1601   = 1601 = 400 e resto e resto 1, logo i1          

Vamos calcular:

i36  + i102        Antes de resolver a adição vamos simplificar os expoentes dividindo por 4 

36 :4 = 9 resto 0

102 : 4 = 25 resto 2

 i + i      =  1 + ( -1)    =  1 - 1 = 0

Operações com números complexos


Adição, subtração 


Sejam os complexos z=a + bi      e    w= c + di

Obtém-se a soma adicionando as partes reais entre si e as partes imaginárias entre si:
z+w = (a +c) + ( b + d)i

Exemplo:
a) (2 + 3i) + ( 5 + 6i)

(2 + 5) + (3 + 6)i
         7 + 9i

b) (2 + 3i) + ( 1 - 4i)

( 2 + 1) + ( 3 - 4)i
         3  + ( -1)i
          3 - i
c) (3 - 2i)  - ( 1 +3i)
       3 -2i  - 1 -3i
(3-1) + ( -2 -3)
2 - ( 5)i
  2 - 5i


Multiplicação


Sejam os complexos z=a + bi      e    w= c + di

Obtém-se o produto aplicando a distributiva:
z.w = (a +bi) . ( c + di)

Exemplo:
a)  (2 + 3i) . ( 2 - 3i) = 
(2.2) + (-3i  . 2) + (3i .2) + (-3i . 3i)
4  - 6i  + 6i - 9i 
4 - 9 . ( -1 )
4+9
13

b) (2 + 3i) . ( 1 - 4i) =
(2.1) + (-4i .2) + ( 3i .1) + ( -4i . 3i)
2 - 8i + 3i -  12 +
2 - 5i - 12. ( - 1)
2 - 5i + 12
14 - 5i

Divisão


Para obter o quociente basta multiplicar o numerador pelo conjugado do denominador e o denominador pelo  seu conjugado.

Exemplo:
a)














b)






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