POLINÔMIOS
Expressões algébricas ou literais
são toda expressão matemática que apresenta números e letras ou somente letras.
Exemplos:
a) x – y=10b) 3x + 2y
c) 4x-3
As letras que estão acompanhadas de números ou sozinhas são chamadas de variáveis.
Estudo
dos polinômios
Monômio
é toda expressão representada apenas por números ou apenas por uma letra
(variável) ou por um produto entre constantes e variáveis.
Exemplos:
b) 6xyz ( 6 é o coeficiente e xyz é a parte literal).
c) -17 (coeficiente não tem parte literal).
d) –x (coeficiente -1, parte literal x).
e) y (coeficiente 1, parte literal y).
f) 0x (coeficiente 0, parte literal x monômio nulo).
Monômios semelhantes
Os monômios que possuem a mesma parte literal são
chamados de monômios semelhantes.
a) 8xy e
-10xy → parte literal xy.b) -5x2y3 e x2y3 →parte literal x2y3.
Grau de um monômio
O grau de um monômio pode ser identificado de duas
maneiras.
1º pela soma dos expoentes das variáveis.
■3x2y4y →(2+4+1) é do 7º grau.
■2y6 →é do 6º grau.
■ 8 →é do zero grau.
2º o grau de um monômio pode ser dado em relação a
uma de suas variáveis.
■x2y →do 2º grau em relação a x.
■ x2y →do 1º grau em relação a y.
OPERAÇÕES
COM MONÔMIOS
ADIÇÃO
ALGÉBRICA DE MONÔMIOS
Quando as partes literais são semelhantes soma
algebricamente os coeficientes, e repete-se a parte literal.
Exemplos:
a) 6xy +2xy+xy= 9xy
b) 4yz – yz = 3yz
c) a2+6a2-2a2
1+6-2 = 5
5→repete-se a parta literal ficando assim.
5a2
d)
MULTIPLICAÇÃO DE MONÔMIOS
Multiplicam-se
os coeficientes entre si, e as partes literais entre si.
Exemplos:
b) x5.x3 = x8
No exemplo b, aplicando uma das propriedades de potenciação visto no 7º
ano. Em diz que, bases
iguais repete-se a base e somam os expoentes.
DIVISÃO DE MONÔMIOS
Divide-se os coeficientes entre si, e as partes
literais entre si.
Para
a parte literal veja uma das propriedades das potências, (conteúdo visto no 7º
ano). Divisão de potência de mesma base, repete-se a base e subtraem os
expoentes.
Exemplos:
a)y7
: y3 = y7-3 = y4
b)(-32x4)
: (-8x)
(-32) : (-8) x4-1 = 4x3
(-32) : (-8) x4-1 = 4x3
Observação:
Nem toda divisão de um monômio por outro monômio
resulta em um novo monômio. Quando isso acontece e chamado de frações algébricas.
Exemplos:
OPERAÇÕES ALGÉBRICAS COM POLINÔMIOS
Quando
efetuamos uma adição algébrica entre monômios, denomina-se polinômio.
Veja os polinômios abaixo:a) 10x + 2y + 4
b) 5x + 3y
c) 7x – 2y
c) 7x – 2y
GRAU DE UM POLINÔMIO
O grau de um polinômio é dado pelo termo de maior grau ou pode ser em
relação a uma determinada variável.
Exemplos:a) x3y – 3x4y3 + 8xy2
↓ ↓ ↓
4º grau 7º
grau 3º graub) a) x2 – 3x2y2 + 4xy
↓ ↓ ↓
2º grau 4º
grau 2º grau
ADIÇÃO ALGÉBRICA DE
POLINÔMIOS
Para adicionar polinômios é adiciona-los os termos
semelhantes.
Exemplos:a)( x2 - 9x + 5) + (3x2 + 7x -1)
termos semelhantes:
x2 + 3x2; -9x + 7x; 5 – 1
↓ ↓ ↓
4x2
- 2x 4
Resposta:
4x2 - 2x + 4
b) (15a – 7b + 4c) + ( -8b + 3c – 9a)
15a – 7b + 4c
-8b + 3c – 9a
15a – 9a -7b
– 8b + 4c + 3c
6a – 15b +
7c
c) (2y2 – 3ay + 4a2) – ( ay – 5y2
–a2)
2y2
– 3ay + 4a2 – ay + 5y2
+ a2
2y2
+ 5y2 – 3ay – ay + 4a2 + a2
7y2 – 4ay
+ 5a2
MULTIPLICAÇÃO DE POLINÔMIOS
Multiplicação de um monômio por um polinômio.
Multiplica-se o o monômio por cada um dos termos do
polinômio. Usa-se a distributiva, para efetuar as multiplicações veja os exemplos abaixos:Exemplo:
a) 2x . (3x +y)
2x . 3x + 2x . y6x2 + 2xy
b) 2x.(5x + 4)
2x . 5x + 2x . 410x2 + 8x
c) 2x . ( x + 4)
MULTIPLICAÇÃO DE UM POLINÔMIO POR OUTRO POLINÔMIO
Multiplica-se cada termo do primeiro por cada termo do
segundo. Usando a distributiva.
Exemplos: a) (x + 7) . ( x + 5)
x . x + x . 5 + 7 . x + 7 . 5
↓ ↓ ↓ ↓
x2
+ 5x + 7x
+ 35
b) (3x + 2y) . ( 3x – y)
DIVISÃO DE POLINÔMIO POR MONÔMIO
Divide-se cada termo do polinômio pelo monômio.
Exemplos:
a) (-28x4 + 8x2) : (4x2)
(-28x4 : 4x2) + (8x2 :
4x2)
↓ ↓
-7x2 +
2
b) (30y6 – 48y5 – 18y2)
: (6y2)
c) (x4y4 + x4y6 – x5y5) : (x4y4)
DIVISÃO DE POLINÔMIO POR OUTRO POLINÔMIO
Exemplos: a) Qual o quociente da divisão de: 12x2 + 5x - 2 por 3x + 2?
b) Qual o quociente da divisão de: 2x4 - 9x3 – 6x2 + 16x - 3 por 2x2 + x – 3?
PRODUTOS NOTÁVEIS
QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS
Exemplos:
a) (x + y)2
(x + y) . (x + y)
x .x + x.y + y.x + y.y
x2 + xy + xy + y2
x2 +2 xy + y2
(3x + 5) . (3x + 5)
3x . 3x + 3x . 5 + 5 . 3x + 5 . 5
9x2 + 15x + 15x + 25
9x2 + 30x + 25
QUADRADO DA DEFERÊNCIA DE DOIS TERMOS
É igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o
produto do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.
a) ( x- y)2
(x – y) . (x – y)
x.x – x.y – y.x + y.y
x2 – xy – xy + y2
x2 – 2xy + y2
b) ( 2x- 3)2
(2x – 3) . (2x – 3)
2x.2x – (2x.3) – 3.2x + 3.3
4x2 – 6xy – 6xy + 32
x2 – 12x + 9
PRODUTO DA SOMA PELA DEFERÊNCIA DE DOIS TERMOS
É igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado
do segundo termo.
a) (x + y) . (x – y)
x.x – x.y +y.x – y.y
x2 – xy + xy – y2
x2 – y2
b) (3x + 5) . (3x - 5)
3x.3x – 3x.5 + 5.3x – 5.5
9x2 – 15x + 15x – 25
9x2 –
25
CUBO DA SOMA DE DOIS TERMOS
a) (a + b)3
(a + b)2 . (a + b)
(a2 + 2ab + b2). (a + b)
a3 + 2a2b + ab2 + a2b
+ 2ab2 + b3
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
b) (2x + y)3
(2x + y)2 . (2x + y)
(4x2 + 4xy + y2). (2x + y)
8x3 + 8x2y + 2xy2 + 4x2y
+ 4xy2 + y3
8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3
CUBO
DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
a) (a - b)3
(a - b)2 . (a - b)
(a2 - 2ab + b2). (a - b)
a3 - 2a2b + ab2 - a2b
+ 2ab2 - b3
a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
b) (2x - y)3
(2x - y)2 . (2x - y)
(4x2 - 4xy + y2). (2x - y)
8x3 - 8x2y + 2xy2 - 4x2y
+ 4xy2 - y3
8x3 - 12x2y + 6xy2 - y3
FATORAÇÃO
DE POLINÔMIOS
COLOCANDO O FATOR COMUM EM EVIDÊNCIA
Exemplos:
a) 2x + 2y
2.( x + y) → forma fatorada do polinômio.
b) 6ax + 8ay
2a . (3x + 4y) →
forma fatorada do polinômio.
c) 4a – 3ax
a. (4 – 3x)
d) a2 + 5ab
a.(a + 5b)
FATORAÇÃO POR AGRUPAMENTO
a) ax + bx + ay + by
x.(a + b) + y.(a + b)
(x + y).(a + b) → forma fatorada
b) a2 + ab + ax + bx
c) 15 + 5y + 2ay + 6ª
FATORANDO MAIS DE UMA VEZ
Exemplos:
a) x 3 – 4x2 + 4x
x3 – 4x2 + 4x =
x . ( x2 – 4x + 4)=
b) 3x2 – 6x + 3
3x2 – 6x + 3 =
3. ( x2 – 2x + 1)=
c) 5a2 + 30ab + 45b2