RAIZ QUADRADA COM NÚMEROS NATURAIS

Quando se quer achar a raiz quadrada de um número, na verdade estamos querendo saber qual o valor do lado de um quadrado.

Para calcular a área de um quadrado qualquer é só multiplicar base vezes altura. (b x h)

Exemplo: Um quadrado mede 6 cm de lado. Qual a área desse quadrado.

Por se tratar de um quadrado todos os seus lados têm a mesma medida, isto é, o lado mede 6 cm e altura também mede 6 cm, logo.

 6 x 6 ou 6²  = 36 cm²  Esse quadrado têm 36 cm² (trinta e seis centímetros quadrado) de área.

Para achar o lado do lado faz-se o processo contrário da potenciação, isto é, extrai-se a raiz quadrada do número dado.

Veja o mesmo exemplo a área do quadrado é de 36 cm² 

^{Quanto mede o lado desse quadrado?}

^{Outro exemplo:} 

^{Sabendo que quadrado tem 25 centímetros quadrado. Quanto mede o lado desse quadrado?}

^{Extraindo a raiz de 25.}

^{Símbolos e seus significados}

n → índice da raiz. Pode ser qualquer número diferente de 1. Quando se tratar de raiz quadrada o número 2 geralmente não se escreve. 

Exemplo:

raiz quadrada de 4.

a→ radicando

b → raiz

RESUMO: 

Determinar a raiz quadrada de um número natural é encontrar outro número natural que elevado ao quadrado seja igual a esse número.

Observação: 

Nem todos os números naturais possuem raiz quadrada exata.

Alguns números naturais que são quadrados prefeitos são: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169...

INEQUAÇÃO

São sentenças matemáticas que contém um ou mais elementos desconhecidos e representa uma desigualdade.

Exemplos:

a) 3x > 2 1 -------------→ é uma inequação pois tem elemento desconhecido e representa uma desigualdade.

b) 1- 4x < x + 2 ----------→ é uma inequação pois tem elemento desconhecido e representa uma

                       3
desigualdade.

c) (2 + 10) : (2 + 4) < 2 + 10 : 2 + 4 ------------→é uma desigualdade, mas não é uma inequação, pois não possui elementos desconhecidos.

DESIGUALDADE: ( a<b ) ou (a>b)
Em uma sentença matematica em que se usa ≠ (diferente de) é  Se a≠b, logo a poderá ser a>b ou a<b.

Exemplos:

a) 3+ 7 ≠ 12-----------→ a soma de três e sete é diferente de doze: 3+7 < 12

b) 4² ≠3² --------------→ o quadrado de quatro é diferente do quadrado de três: 4² > 3²  

Assim como nas equações de 1º grau (igualdades), as desigualdades também têm dois membros:

Exemplos:
a)3+7 < 12    
      a        b

 b) 4² > 3²

    a        b

PROPRIEDADES DAS DESIGUALDADES

Se a>b e b>c, então a>c               Se a<b e b<c, então a<c

OBS: As propriedades reflexiva e simétrica, não serve para as desigualdades, sendo assim, são consideradas falsas as senteças do tipo:

Se a>a, então a<a
Se a>b, então b>a ou se a<b então b<a.

PRINCÍPIO ADITIVO

Ao adicionar um mesmo número aos dois membros de uma desigualdade, obter-se uma nova desigualdade:  a+b > c →  a+b+d >c+d. obter-se uma nova desigualdade de mesmo sentido que a primeira.

Exemplos:

a) 16 > 14
 16+4 > 14+4
    20    >  18

c) 5 < 8
5+(-9)<8+(-9)
      - 4 < -1

   

PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO

Ao multiplicar um mesmo número aos dois membros de uma desigualdade, pelo mesmo número, obter-se uma nova desigualdade:  a+b > c   --→  a+b+d> c+d. obter-se uma nova desigualdade de mesmo sentido que a primeira.

 Exemplos:

a)     13  >   4
     13 . 2 > 4 . 2 ------→ mesmo sentido
          26 > 8

b)  -5 > - 7
-5 . (+3) > -7 . (+3) -----→ mesmo sentido
         -15 > - 21

c)   3 < 8

3 . 5 < 4 . 5 -------→ mesmo sentido
   15 < 20

d)  – 4 < - 1

     - 4 . (+3) < - 1 . (+3) ------→mesmo sentido 
               -12 < - 3

As desigulades tem o mesmo sentindo daquelas iniciais quando multiplica-se ambos membros por um número positivo qualquer.

Veja o que acontece quando multiplicamos ambos membros da desigualdade por um número negativo qualquer.

Exemplos:

a) 12 > 10
12 . (-1) < 10 . (-1) ------→ mesmo sentido
        -12 < -10

b) -6 <- 4

-6 . (-2) > - 4 . (-2) -------→ sentido invertido
       +12 > +8

Observação:
Quando multiplica-se por um mesmo número negativo qualquer os dois membros da desigualdade, obtêm se uma nova desigualdade com sentido invertido. Veja o exemplo da letra b.

INEQUAÇÕES DO 1º GRAU COM UMA INCÓGNITA

São inequações do 1º grau quando assume uma das formas: ax > b, ax < b, ax > b, ax < b com a ≠ 0.

Exemplos:

a) 5x >1
b) 2y < -10

1.Resolver a inequação: x +15 >21
x +15 >21
x > 21 – 15
x > 6

2.Resolver a inequação: x – 18 < -23
x – 18 < -23
x  < -23 + 18
x  < - 5

3.Resolver a inequação: 17 – x < 30
17 – x < 30
– x < 30 – 17
– x <  13   (-1)
x > -13     ao multiplicar por -1 além de alterar o sinal da incógnita (x) o sinal de <, também mudar.

4.Resolver a inequação: 11 –9x > 2x

11 –9x > 2x
-9x > 2x -11
-9x-2x >  -11
-11x >  -11   (-1)
11x <  11  ao multiplicar por -1 além de alterar o sinal da incógnita (x) o sinal de >, também mudar.
x < 11
     11
x < 1

 5.Resolver a inequação: 8x + 19 < 10x + 11

8x + 19 < 10x + 11
8x - 10x <  11 – 19
- 2x < - 8    (-1)  ao multiplicar por -1 além de alterar o sinal da incógnita (x) o sinal de < , também mudar.
2x >  8
X > 8
      2     
x > 4

Decimal - Exercício respondido

1) Um carro faz, em média  12,5 km com um litro de gasolina. Quanto km terá rodado em média, depois de consumir:

a) 25 litro de gasolina      2 km                                                b) 50 litro de gasolina      4km

    25 : 12,5 = 2                                                                           50 : 12,5 = 4

2) Com 26 metro de tecido, uma costureira fez 8 vestidos iguais. Quantos metros de tecido ela usou em cada um?

26 : 8 = 3,25

Resposta: 3,25 m

3) Maria comprou 25 caixas de leite por R$ 24,00. Quanto custou cada caixa?

Resposta: 24 : 25 = 0,96

4) Um supermercado  comprou para revende 258 kg de feijão e os distribuiu igualmente em 40 sacos. Quantos kg de feijão foram colocados em cada saco?

Resposta: 258 : 40 = 6,45 kg

5)Determine cada quociente e indique se é um número decimal exato ou não exato.

a) 158 : 8 =   19,75 exata                        

 b) 56 :  6= 9,333... não exata                    

c) 62 :  5=  12,4  exata                

d) 149 : 12=  12,4166... não exata

6)Calcule:

a) 15,7 x 2,5 = 39,25                    b) 12,9 x  6,1 =78,69                        c) 0,75 x 100 = 75

7) Resolva as potencias;
a)(3,1)³  = 29,791                                          

 b) (1,6)⁴  =  6,5536                                

c)(2,8)⁵= 172,10368

8) Qual é o valor da expressão: x = (0,5)² + (0,7)²

(0,5) x (0,5) + (0,7)x (0,7)

0,25 + 0,49 = 0,74

Resposta: 0,74

9)Qual é o número decimal expresso por: 52 – 3 x (4,1 – 1,8 )?

52 – 3 x ( 2,3)

52 – (6,9)

52 – 6,9

45,1

Resposta: 45,1

10) Determine o valor de cada expressão numérica a seguir:

a) (1,2 + 4,8) : 0,24=  25

b) 24,8 : 4 + 45,5 : 5 =  15,3

c) (0,05 : 0,005) : 0,5 = 20

EXERCÍCIOS SOBRE MEDIDAS

1) Um reservatório  contém água até 2/3 de seu volume. O reservatório é em forma de um paralelepípedo retângula com as seguintes dimensões: 2m, 15 dm e 90 cm. Nesse reservatório contém quantos litros de água?

Resposta: 

Em primeiro lugar transformar os valores apresentados para a mesma unidade de medida, nesse caso vou transformar  decímetros:

2 m = 20dm     90 cm = 9 dm      Agora que todas valores tem a mesma unidade de medida, é só multiplicar os três valores:

20dm x 15 dm x 9 dm = 2700 dm³  , como sabemos que cada 1dm³ = 1i    caixa cheia tem 2700 litros de água, só que o problema diz que a caixa tema apenas  2/3 , então esta

                                                                       

faltando     1/3                       2/3 x  2700  =  1800 litros de água.

2) o volume de 1 litro  é igual ao de um decímetro cúbico. Um cubo de 1metro de aresta tem volume igual ao de.

a) 100 litros      X b) 1 000 litros      c) 10 000 litros      d) 100 000      e) n.d.a

Resposta; 

1 litro  = 1dm³   isso que dizer o quer? Que de metro para chegar a decímetro pulo uma casa = 10 como é cúbico é só multiplicar 10 x 10 x 10 = 1000. Resposta certa a letra b.

3) Uma caixa d’água em forma de paralelepípedo retângulo tem as seguintes medidas internas: 4m de comprimento, 3m de largura e 2m de altura. A capacidade dessa caixa, em litro é:

a) 12 000           b) 19 400           c) 20 000          X d) 24 000        e) 24 200

Resposta:  

4m x 3m x 2m = 24m³            Como a pergunta é em litros lembrado que        1m³ = 1000dm³ = 1000 litros. Sendo assim é só multiplicar o resultado encontrado acima por 1000

1000 x 24 = 24 000, resposta certa a letra d.

4)Uma piscina tem 10m de comprimento, 8m de largura e 3m de profundidade. Quantos litros de água  são necessários para encher totalmente essa piscina?

Resposta:

 10m x 8m x 3m = 240m³  , lembrado-se que a pergunta esta em litros e a resposta encontrada esta em metros cúbicos, é só multiplicar por 1000.

1000 x 240  =  240 000 litros de água.

5) Quantos litros de água podem ser colocados num recipiente cúbico de 10 cm de aresta?

Resposta: 

10 cm x 10 cm x 10 cm = 1000 cm³    

Como a pergunta esta em litros tenho que transformar em litros esse resultado; lembre-se que 1000 cm³ = 1dm³ = 1 litro

Resposta 1 litro.

6) uma caixa de água com as seguintes medidas 1m de largura, 1,2m de comprimento e 0,80m de altura. Qual a capacidade dessa caixa?

Resposta:

 1 m x 1,2m x 0,80 m = 0,96 m³ 

Lembrando que 1m³ = 1000 dm³ = 1000 litros

Resposta: é só pegar o resultado encontrado em cima e multiplicar por 1000 para transformar em litros.

0,96 x 1000 = 960 litros

7) O volume da caixa-d’água de um prédio  é 105m³. Sabendo que o consumo diário do prédio, em média, corresponde aos 4/5 da capacidade da caixa, calcule quantos litros de água são consumidos, em média, por dia, nesse prédio.

Resposta: 

4 x 105 =  420  =  84

5                5              

84 estar em metros cúbicos, a pergunta é em litros. Então;

84 x 1000 = 84000

 São consumidos em média 84 000 litros de água por dia nesse prédio.   

8)Uma família consome 750ml de suco de laranja em cada refeição. Em uma semana, considerando-se que a família faz 2 refeições diárias, quantos litros de suco serão consumidos? E em duas semanas?

Resposta:  

Considerando que uma semana tem 7 dias: 7 x 750 = 5250

Duas refeições por dia   5250 x 2 = 10500ml

A resposta deve ser dada em litros; lembrando que 1000 ml é equivalente 1 litro então

10500 : 1000 = 10,5 litros

Em uma semana essa família consome 10,5 litros de suco.    E em duas semanas, é só multiplicar esse resultado por 2.              2 x 10,5  =  21

Que é igual a 21 litros de sucos.

EXERCÍCIOS DE POLINÔMIOS

1) Efetue as operações com monômios:

a) a² + 6a² – 2a²

b) 5y² – (- 4y² + 7y²) + ( - y² + 9y²- 11y²)

c) ( - 7x) . (-2x)

d) ( -5a⁴bc³) .( -b²c) . (+4a²c)

e) x⁷ : x²

f) y⁵ : y³

Respostas:

a) a² + 6a² – 2a²  adicionar –se ou subtrair –se  os coeficientes e repete a parte literal.

(1 + 6 – 2 ) a²= 5a²

b) 5y² – (- 4y² + 7y²) + ( - y² + 9y²- 11²)

5y² – ( 3y²) + ( - 3y²) =

5y² – 3y²  - 3y²= - y²

c) ( - 7x) . (-2x)  multiplica-se  os coeficientes entre si e a parte literal entre si.

( - 7) . (-2)  ( -x ) . (-x)

( +14 ) ( x²) = 14x²

d) ( -5a⁴bc³) .( -b²c) . (+4a²c)

(-5).(-1) . (4) . ( a⁴) . ( a² ) . (b ) . (b²) . ( c³ ) . ( c). (c) =

(20 ) . ( a⁶ ) . ( b³ ) . ( c⁵ )= 20a⁶ b³ c⁵

e) x⁷ : x² repete-se a base e subtrai-se os expoentes:

x^{7 – 2} = x⁵

f) y⁵ : y³

y^5-3 = y²

2) Efetue as operações com polinômios:

a) (15x -7y + 4z) + (-8y + 3z – 9x)

b) (3x³ – 3x²y + 5xy² – 6y³ ) + ( 7x²y – 5x³ + y³ – 6xy²)

c) ( x + 7 ) . ( x + 5)

d) (y - 6) . (y + 5)

e) ( -28x⁴ + 8x²) : ( 4x²)

f)( 6x⁶ -5x⁴ + 3x³ – 9x²): ( 3x²)

g) (6x⁵ + 3x⁴ – 13x³ – 4x² + 5x + 3) : ( 3x³ – 2x -1 )

Respostas:

a) (15x -7y + 4z) + (-8y + 3z – 9x)

(15x – 9x ) + ( -7y – 8y )+ ( 4z + 3z) =

(6x ) + ( -15y)+ ( 7z)=

   6x  -15y +  7z

b) (3x³ – 3x²y + 5xy² – 6y³ ) + ( 7x²y – 5x³ + y³ – 6xy²)

(3x³ –5x³ ) + ( -3x²y+ 7x²y) + ( 5xy²-6xy² ) + ( -6y³ + y³)=

( –2x³ ) + ( 4x²y) + ( - xy² ) + ( -5y³ )=

–2x³  +  4x²y  - xy²   -5y³

c) ( x + 7 ) . ( x + 5)

( x . x) + (x . 5) + (7 . x ) + (7 . 5)=

( x²) + (5x) + (7x ) + (35)=

   x² + 12x  + 35

d) (y - 6) . (y + 5)

(y . y) + (y . 5 ) + ( -6 .y) + (- 6 . 5)

(y²) + ( 5y ) + ( -6 y) + (-30)

(y²) +  5y  -6 y -30

y²  - y -30

e) ( -28x⁴ + 8x²) : ( 4x²)

  -28x⁴  +   8x²

  4x²             4x²

    -7x² + 2

g) (6x⁵ + 3x⁴ – 13x³ – 4x² + 5x + 3) : ( 3x³ – 2x -1 ) 

6x⁵ + 3x⁴ – 13x³ – 4x² + 5x + 3   [3x³ – 2x – 1     

-6x⁵         +4x³     +2x²                     2x² + x – 3

         3x⁴   -9x³  -2x²  + 5x  + 3

       -3x⁴            + 2x²  + x  

                   -9x³         + 6x  +3

                     9x³          -6x   -  3

                            0