Equação - é qualquer sentença matemática aberta
expressa por uma igualdade.
Em uma equação existe uma ou mais letras que
representam números desconhecidos. Estas letras são chamadas de INCÓGNITA.
Exemplos
de equações:
■ 2x + 1 = 19 → x é a incógnita. ■
y + 3y = 100 → y é a incógnita.
■ x2 – 25 = 0 → x é a incógnita ■ y2 – 6y
+ 9 =0 →y é a incógnita.
IGUALDADE
As
sentenças matemáticas que representam igualdade são expressas pelo sinal = (igual).
De modo geral podemos representar uma igualdade por a = b, onde a e b são nomes diferentes para o mesmo
número.
Ex1: 6 + 4 = 10 Ex2: 23 – 5 = 3
■
A expressão matemática situada à esquerda do símbolo = é denominada 1º membro da igualdade.
■ A expressão matemática situada à
direita do símbolo = é denominada 2º
membro da igualdade.
Exemplo:
PROPRIEDADES
DA IGUALDADE
Propriedade reflexiva
Propriedade simétrica
Propriedade transitiva
COMO
RESOLVER EQUAÇÕES DO 1º GRAU
Princípios
de equivalência
OBSERVAÇÂO: Serão muito úteis na resolução de
equações.
1º) Princípio aditivo da
igualdade:
Adicionando um mesmo número aos dois
membros de uma igualdade, obtemos uma nova igualdade, ou seja:
Exemplos:
a) 5 + 3 = 8
( 5 + 3) + 2 = (8)
+ 2 →
adicionamos +2 aos dois membros.
b) 5 + 3 = 8
(5 + 3) -2 = (8) – 2 →
adicionamos -2 aos dois membros.
Ao
adicionamos ou subtrairmos um mesmo número dos dois lados de uma
igualdade, obteremos uma nova igualdade. Veja o exemplo:
x + 3 = 8
x +3 – 3 = 8 – 3
x =
5
2º) Princípio multiplicativo
da igualdade:
Ao
multiplicarmos ou dividirmos por um mesmo número diferente de zero, os
dois lados de uma igualdade, obtermos
uma nova igualdade.
a = b
a . c = b . c, com c ≠ 0
Exemplos:
a) 5 + 3 = 8
(5+3) . 2
= (8) . 2 → multiplicamos os dois
membros por 2.
b) 7+2 = 9
(7+2) .4 = (9) . 4
c) 2x = 12
2.(2x) = 2. 12
4x = 24
4 4
x=6
d) 2x = 12
2x = 12
2 2
x = 6
CONJUNTO
UNIVERSO E CONJUNTO SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO
Dentre
os elementos do conjunto A={ 0, 1, 2, 3, 4, 5}, qual deles podemos colocar no
lugar da letra x para tornar verdadeira a equação x + 2 = 6?
Conjunto universo: U = { 1, 2, 3, 4,
5}
Conjunto solução: S = {4}
Solução ou raiz da equação: o número
4.
EQUAÇÕES
EQUIVALENTES
Em
um mesmo conjunto universo, duas ou mais equações que apresentam o mesmo conjunto solução (não – vazio) são denominadas equações equivalentes.
x + 3 = 8 ---------------------------→equação dada para
a qual S = {5}
x + 3 + 1 = 8 + 1 ------------------→equação dada para a qual S
= {5}
x + 4 = 9 ---------------------------→equação dada para
a qual S = {5}
EQUAÇÃO
DE 1º GRAU COM UMA INCÓGNITA
Resolver
uma equação do 1º grau com uma incógnita, dentro de um conjunto universo,
significa determinar a solução ou raiz dessa equação, caso exista. Veja o exemplos:
OBSERVAÇÃO:
Para resolver uma equação de 1º grau,
devemos proceder da seguinte maneira:
1º) Elimina-se os denominadores, se
houverem;
2º)Efetua-se as multiplicações
indicadas;
3º)Transpõe-se
para o primeiro membro, todos os termos que contiverem a incógnita, que
estiverem no segundo membro;
4º)Transpõe-se
para o segundo membro, todos os termos independentes que estiverem no primeiro
membro;
5º)Reduz-se os termos semelhantes;
6º)Divide-se toda a equação pelo
coeficiente da incógnita.
Exemplos:Resolver as equações abaixo:
EQUAÇÃO DO 1º GRAU COM DUAS INCÓGNITAS
Toda
equação que pode ser reduzida a equivalência da forma ax + by = c, com a ≠0 e b ≠0, denomina-se equação do 1º grau
com duas incógnitas, x e y .
Exemplos
a)2x + 5y = 16 b) 3x – 7y = -12
Uma equação de 1º grau com duas incógnitas tem infinitas soluções. Cada solução da
equação é um par ordenado de números.
Exemplos:
a)2x + 5y = 16 temos como
solução: S={3 , 2} ou {- 2 , 4} entre
outras.
b) 3x – 7y = -12 temos como solução: S= {10, 6} ou {3, 3} entre outras.
SISTEMAS
DE DUAS EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM DUAS INCÓGNITAS
Os
exemplos dados abaixo são chamados de sistemas de equação de 1º grau. Existem três
maneiras de resolver um sistema de 1º grau. Pelo método da substituição, método
da comparação e método da adição.
1º) MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO
1º passo: vamos determinar o valor de
x, na primeira equação.
x+y = 4
x= 4 - y
2º passo: substitui o valor de x na
segunda equação.
2(4 – y) + y = 7
8+(-8) -2y + y = 7+( -8)
-2y + y = - 1
-y = -1 → multiplica-se por (-1)
y=1
3º passo: substitui o valor de y na
primeira equação.
x + y = 4
x
+ 1 = 4
x = 4 – 1
x= 3
Solução do par ordenado {3 , 1}
2º) MÉTODO COMPARAÇÃO
Tirando-se o valor de x em cada
equação;
x=5 – y → 1ª
equação
x=1 + y →
2ª equação
Comparando-se os dois valores e
resolvendo a equação temos,
5 – y = 1 + y
- y – y = 1 – 5
-2y = - 4 → multiplicando-se por
( - 1)
2y = 4
2 2
y
= 2
Substituindo o valor de y na primeira equação
x + y = 5
x + 2 = 5
x + 2+(-2) = 5+(-2)
x= 3
S= { 3, 2}
3º) MÉTODO DA ADIÇÃO
Para resolver um sistema de 1º grau
pelo método da adição, em primeiro lugar devemos eliminar uma das incógnitas.
EQUAÇÕES FRACIONÁRIA
SISTEMAS DE EQUAÇÕES FRACIONÁRIAS
Como resolver sistemas de equações fracionárias;
1º pega-se cada uma das equações e igular os denominadores, calculando o m.m.c.
2º eliminando os
denominadores;
3º montando o novo sistema, sem os denominadores;
4º e usando qualquer um dos
métodos já estudado, resolve o sistema.
Outro exemplo:
