RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES

Vamos ver como são feitos a racionalização de denominadores com radicais. Acompanhem os exemplos abaixo:

Exemplo₁

OUTROS EXEMPLOS

Exemplo₂

SOLUÇÃO

Vejamos mais alguns exemplos de racionalização. O fator racionalizante será destacado pela cor vermelha.

Exemplo₃

Observação:
Para resolver mais rápido os exemplos das letras c e d é só usar os conhecimentos já estudados em produtos notáveis, "produto da soma pela diferença de dois termos."

CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS

O conjunto dos números reais é formado pela união de todos os números, racional e irracional.

R = Q U I

O conjunto dos números naturais (IN), já foi visto no 6º ano do Ensino Fundamental.     
Exemplo: IN = { 0,1, 2, 3, 4, …}

O conjunto dos números inteiros (Z), já foi visto no 7º ano do Ensino Fundamental.

Exemplo: Z = { … - 4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5,…}

O conjunto dos números racionais (Q) também já foi visto no 6º ano e no 7º ano do Ensino Fundamental, na forma de fração.

O Conjunto dos números reais é a união dos números:

O número irracional é todo número é representado por números decimais infinitos e não periódica. Não pode ser escritos na forma de frações.

Exemplos de números irracionais:

1,41421356...

2,171171117...

3,141592...

6,161661666...

1,2857…     

Observação:

1- Um número irracional jamais pode ser escrito na forma de fração;

2- Os números que representam as raízes de quadrados perfeitos são números racionais:

3-Entre dois números naturais quadrados  perfeitos existem números racionais em que suas raízes são números racionais:

4- PI ( p) é um número irracional mais importante, representado pela letra grega . Que é a razão entre o comprimento da circunferência e a medida do diâmetro.

p = 3,14159265…

O número racional é todo número cuja representação decimal é finita ou infinita periódica.

OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS

No conjunto dos números reais pode ser efetuada qualquer operação matemática como: adição, subtração, multiplicação e divisão (exceto divisão por zero e raiz quadrada de números negativos).

30 esta entre 25 e  36 que são  quadrados perfeitos.

25 = 5²
36 = 6²
logo a raiz aproximada de 30 vai esta entre esses números.
(5,1)² 26,01 < 30

(5,2)² 27,04 < 30

(5,3)² 28,09 < 30

(5,4)² 29,16 < 30

(5,5)² 30,25 > 30

A raiz aproximada de 30 esta entre 5,4 e 5,5

Com mais de uma casa decimal

(5,41)² 29,2681 < 30

(5,42)² 29,3764 < 30

(5,43)² 29,4849 < 30

(5,44)² 29,5936 < 30

(5,45)² 29,7025 < 30

(5,46)² 29,8116 < 30

(5,47)² 29,9209 < 30

(5,48)² 30,0304 > 30

Os números racionais na forma de decimais

Em alguns casos se faz necessário transformar uma fração em um número decimal ou vice e versa.

Qual a forma decimal das seguintes frações?

Como já foi visto, o número racional é todo número cuja representação decimal é finita ou infinita periódica, também chamada de dizima periódica. As dizimas periódicas pode ser simples ou composta.

Período: é a parte que se repete indefinidamente num número decimal periódico.

Exemplos:

Dízimas periódicas simples: 
a) 1,666....           
b) 0,3333...               
c) 0,4545...        
d)1,777...

Dízimas periódicas compostas: 
a) 0,133...         
b) 0,41666...              
c) 1,8333...

Observação: 
A diferença entre a dízima periódica simples e uma dízima periódica composta.

A simples o período vem logo depois da vírgula, 1,666...

A composta entre a vírgula e o período, existe outros números que não se repetem, 1,8333...

Área de figuras planas - Exercícios

1. Determine a área de uma sala quadrada, sabendo que a medida de seu lado é 6,45 m.

2. Vamos calcular a área de uma praça retangular, em que o comprimento é igual a 50 m e sua largura mede 35,6 m.

3. Calcule a área de um retângulo, em que a base mede 34 cm e sua altura mede a metade da base.

4. É necessário um certo número de pisos de 25 cm x 25 cm para cobrir o piso de uma cozinha com 5 m de comprimento por  4 m de largura. Cada caixa tem 20 pisos. Supondo que nenhum piso se quebrará durante o serviço, quantas caixas são necessárias para cobrir o piso da cozinha?

5. Quantos metros de tecido, no mínimo, são necessários para fazer uma toalha para uma mesa que mede 300 cm de comprimento por 230 cm de largura?           

6. Um pintor foi contratado para pintar uma sala retangular que mede 5,5 m x 7 m. Para evitar que a tinta respingue no chão ele vai forrar a sala com folhas de jornal. Quantos metros de folha de jornal ele vai precisar?

7. Vamos calcular a área de um losango, sabendo que sua diagonal maior mede 5 cm e a diagonal menor mede 2,4 cm.

8. Sabendo que a base maior de um trapézio mede 12 cm, base menor mede 3,4 cm e sua altura mede 5 cm. Calcule a área deste trapézio.

RESPOSTA:

1- É só multiplicar um lado pelo outro.

6,45 m

        6,45 m

6,45 m x 6,45 m = 41, 6025 m²

R = 41,6025 m²

2- É só multiplicar um lado pelo outro.

35,6 m

                 50 m

50 m x 35,6 m = 1780m²

R = 1780m²

3- É só multiplicar um lado pelo outro.

17 cm

         34 cm

34 cm x  17 cm = 578 cm²

R = 578 cm²

^{4 -  Cada piso mede 25 cm de lado, cada caixa tem 20 pisos. O piso mede 5 m por 4 m.}

^{transformando na mesma unidade de metros para centimetros.}

4 m = 400 cm

5 m = 500 cm

25 cm x 25 cm =  625 cm²  

área do tijolo (piso)

cada caixa 20 tijolos (pisos)

625 x 20 = 12.500 cm²    (cada caixa)

400 cm x 500 cm = 200.000 cm²  

^{área total a ser coberta pelos (tijolos) pisos} 

200.000 : 12.500 = 16 caixas

R= 16 caixas.

5- Transformando em metros. 

300 cm = 3 m

230 cm = 2,3 m

Você pode transformar em metros após efetuar a multiplicação, é só fazer a divisão por 10000.

3 m x 2,3 m = 6,90m²

R=6,90m²

6- multiplica-se um lado pelo outro.

5,5 m x 7 m = 38,50 m²

R = 38,50 m²

^{7-  multiplica-se a base pela altura e dividir-se por 2.}

5 cm x 2,4 cm =12 m²

12 : 2 = 6 cm²

R = 6 cm²

^{8-  adiciona-se o lado maior com o lado menor do trapézio, multiplicando o resultado pela altura, e no será dividido por 2.}

(12 + 3,4) x 5   

         2                   = 38,5 cm²

R = 38,5 cm²

FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS

COLOCANDO O FATOR COMUM EM EVIDÊNCIA

Exemplos:

a) 2x + 2y     o fator comum nesse caso é o 2. Colocar o 2 em evidência e divide o polinômio por ele. Veja                       como fica.

2.( x + y) → forma fatorada do polinômio.

b) 6ax + 8ay      o fator comum nesse caso é o 2a. Colocar o 2a em evidência e divide o polinômio por ele.                           Veja como fica.

2a . (3x + 4y)  → forma fatorada do polinômio.

c) 4a – 3ax  fator comum a.

a. (4 – 3x)

d) a² + 5ab   fator comum a.

a.(a + 5b)

FATORAÇÃO POR AGRUPAMENTO

Exemplos:

a) ax + bx + ay + by

x.(a + b) + y.(a + b)

(x + y).(a + b) → forma fatorada

b) a² + ab + ax + bx

(a² + ab)  + (ax + bx)

a.(a+b)  + x.(a+b)

(a +x) . (a + b)

c) 15 + 5y + 2ay + 6ª

(15 + 5y) + (2ay + 6ª)

5. (5 + y) + 2a. (y + 3)

(5 + 2a) . (3 + y) 

FATORANDO MAIS DE UMA VEZ

Exemplos:

a) x ³ – 4x² + 4x

x³ – 4x² + 4x

x.( x² – 4x + 4)

x . (x – 2)²

b) 3x² – 6x + 3

3.(x² – 2x + 1)

3.( x – 1)²

c) 5a² + 30ab + 45b²

5.(a² + 6ab + 9b²)

 5.(a +3b)²