FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU ( FUNÇÃO QUADRÁTICA)

A função polinomial do 2º grau ou função quadrática é toda função escrita y=ax² + bx + c,  ou

 f(x) = ax² + bx + c

sendo a, b e c números reais.

São exemplos de  funções do 2º grau:

a) y=x² + 2x – 8                                     b) y= x² – 9                                          c) y=-3x² -2x + 1

GRÁFICO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

O gráfico da função do 2º grau é representado por uma curva chamado de parábola.

ZEROS DA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU

Quando delta for maior que zero a função y= ax² + bx + c, tem duas raízes reais diferentes, isto é, o gráfico corta o eixo de x em dois pontos.

Quando delta for menor que zero a função y= ax² + bx + c, não tem raízes reais.

Quando delta for igual a zero a função y= ax² + bx + c, tem uma única raiz real  diferente, o gráfico tangencia o eixo de x.

Exemplo: Determinar as raízes da função a seguir: y = x² + 2x – 3
Igualando a função a zero, transformamos em uma equação de 2º grau
x² + 2x – 3=0
Identificando os termos da função;
a=1    b=2  c=-3
Podemos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes. 

Obs: Nesta função o gráfico corta o eixo de x( eixo das abscissas)  em dois pontos são -3 e 1. Veja o gráfico abaixo como ficou:

2. Determinar as raízes da função a seguir: y = x² + 3x + 5 

Igualando a função a zero:  x² + 3x + 5=0   

Termos: a=1  b=3  c= 5

A equação não tem solução no conjunto dos reais, sendo assim observe como fica o gráfico dessa função.

Obs: Nesta função o gráfico não corta o eixo de x( eixo das abscissas. Veja o gráfico.

3. Determinar as raízes da função a seguir: y = x² – 4x + 4    

 Igualando a função a zero:  x² -4x + 4=0   

Termos: a=1  b=-4  c= 4

Obs: Nesta função o gráfico corta o eixo de x( eixo das abscissas)  em um único ponto 2. Veja o gráfico.

O quadro abaixo mostra todas as possibilidades considerando sua concavidade.

Obs: Quando a>0 significa que a parábola tem a concavidade voltada para cima.

          Quando a < 0, significa que a parábola tem a concavidade voltada para baixo.

COMO CONSTRUIR O GRÁFICO DA FUNÇÃO

1- Construir, no plano cartesiano, o gráfico da função y =x² - 9

Atribuindo alguns valores para x, encontramos o valor de y.

y =x² - 9

Y = (-4)² – 9 = 16 – 9 = 7     

Y = (-3)² – 9 = 9 – 9 = 0

Y = (-2)² – 9 = 4 – 9 = -5

Y = (0)² – 9 = 0 – 9 = -9

Y = (2)² – 9 = 4 – 9 = -5

Y = (3)² – 9 = 9 – 9 = 0

Y = (4)² – 9 = 16 – 9 = 7

veja como fica a tabela abaixo. No plano cartesiano vamos marcar os pontos encontrados e traçar o gráfico.

x	y	(x,Y)
-4	7	(-4,7)
-3	0	(-3,0)
-2	-5	(-2, -5)
0	-9	(0, -9)
2	-5	(2,-5)
3	0	(3, 0)
4	7	(4,7)

Veja que o gráfico corta o eixo das abscissas nos pontos -3 e 3, enquanto que o ponto mínimo da parábola  tangencia o eixo de y em -9.

2- Construir o gráfico da função: y= x² + 4x – 5

O gráfico corta o eixo das abscissas nos pontos -5 e 1, enquanto que o ponto mínimo da parábola  tangencia o eixo de y em -9.

Quando a parábola tem a concavidade voltada para cima dizemos que a função possui um MÍNIMO.

3- Construir, no plano cartesiano, o gráfico da função y =-x² - 4

Atribuindo alguns valores para x, encontramos o valor de y. Depois traçar o gráfico e marcar os pontos.

y =-x² - 4

Y = -(4)² – 4 = -16 – 4 = -20

Y = -(3)² – 4 = -9 – 4 = -13

Y = -(2)² – 4 =- 4 – 4 = -8

Y = -(0)² – 4 = 0 – 4 = -4

x	y	(x,Y)
-4	-20	(-4, -20)
-3	-13	(-3, -13)
-2	-8	(-2, -8)
0	-4	(0, -4)

4- Construir o gráfico da função: y= - x² + 4x – 5

O gráfico tem como vértices (2, -1)

O gráfico não corta o eixo das abscissas no ponto, isto é, não tem raízes nos reais.

Quando a parábola tem a concavidade voltada para baixo dizemos que a função possui um MÁXIMO.

1º Determinar as coordenadas do Vértice: V(X_v, Y_v).

2º Organizar uma tabela, onde se atribuir alguns valores menores que X_v  e alguns valores maiores que X_v .

3º Marcar os pontos no plano cartesiano no eixo das x (abscissas)  e eixo das y( ordenadas).

4º para finalizar é só ligar os pontos construindo a parábola.

O VÉRTICE DA PARÁBOLA: As coordenadas do vértice da parábola são dadas por:

Exemplos:

1) Achar o máximo ou o mínimo da função f(x)=x² – 2x – 8

A função tem o mínimo igual a -9.

Outra maneira para encontrar o vértice de y,  substituir o valor encontrado de x na função. Veja como fica:

f(x)=x² – 2x – 8

y= 1² – 2 .1 – 8

y= 1 – 2 – 8 = -9

Vejamos o gráfico dessa função:

A função tem o mínimo igual a -9.

Outra maneira para encontrar o vértice de y,  substituir o valor encontrado de x na função. Veja como fica:

f(x)=x² – 2x – 8

y= 1² – 2 .1 – 8

y= 1 – 2 – 8 = -9

2) Achar o máximo ou o mínimo da função f(x)= - x² +  6x – 9

A função tem o máximo igual a 3.

Outra maneira para encontrar o vértice de y,  substituir o valor encontrado de x na função. Veja como fica:

f(x)=-x² – 6x – 9

y= 3² – 6 .(-3) – 9

y=  - 9 +18 – 9 = 0

3) Achar o máximo ou o mínimo da função f(x)= - x² -  2x +1

A função tem o máximo igual a 2.

4) Achar o máximo ou o mínimo da função f(x)= x² + 3x - 4

Em uma outra postagem estudaremos OS SINAL DA FUNÇÃO.

FUNÇÃO

Função- é uma relação (correspondência) entre dois conjuntos ( f de A em B) em que cada elemento do primeiro conjunto corresponde a um elemento do segundo conjunto. Pode-se escrever: f : A → B ( lê-se: f é função de A em B).

Exemplo: Tomando  os conjuntos A e B

DOMÍNIO, IMAGEM E CONTRADOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO

Domínio(D) - O conjunto de partida das flechas é chamado de domínio D(f).

D(f) = A lê-se: o domínio da função f é igual ao conjunto A.

Contradomínio (CD) - Todos os elementos que compõe o segundo conjunto são chamado de contradomínio.

CD(f) = B  lê-se: o contradomínio da  função f é igual ao conjunto B.

Imagem (Im)- O conjunto de chegada das flechas (o conjunto que recebe as flechas) é chamado de imagem Im(f).

Im(f)  B  lê-se: o conjunto imagem da função está contido no contradomínio B.

FUNÇÃO BIJETORA, INJETORA E SOBREJETORA

a) FUNÇÃO BIJETORA, f : A → B é bijetora quando cada elemento de A flecha um  e somente um elemento de B, não pode sobra elementos nesse segundo conjunto. Isto é cada elemento de B esta ligada a um elemento de A.

Exemplo: 

A função bijetora pode  ao mesmo tempo ser  injetora e sobrejetora.

b) FUNÇÃO INJETORA,  f : A → B, cada elemento do primeiro conjunto (conjunto domínio) ligado a penas a um elemento do  segundo conjunto ( contradomínio), sendo que nesse caso o contradomínio poderá ter elementos sobrando, o que não acontece com a função bijetora.

Exemplo:   

c) FUNÇÃO SOBREJETORA, f : A → B , pode ser imagem de mais de um elemento do primeiro conjunto e não pode sobra elementos no conjunto imagem. (segundo conjunto).

Exemplo:

FUNÇÃO INVERSA

Dados dois conjuntos A = {1,2,3,4} e B = {1,3,5,7}, considerando a função f de A em B definida por:
f(x) = 2x -1

f : A → B e pares ordenado:

f (x)= {(1,1), (2,3), (3,5), (4,7)}

f: A → B em diagrama de Venn:

A função inversa  da f:A→B é f ^-1: B → A.

A função inversa de f, f ^-1: B → A, é o processo contrário da primeira função: é definida por

 

ou 

f : B → A em pares ordenado:

f ^-1(x)= {(1,1), (3,2), (5,3), (7,4)}

f: A → B em diagrama de Venn:

Partindo da f(x): A→ B e chegando a sua inversa f ^-1(x): B → A

Pegando como exemplo a seguinte  função. f(x) = x -1, a mesma função pode ser escrita:

 y = x – 1.

1)- troca as incógnitas uma pela outra. Y por x, e x por y.

2)- insola-se o y.

x= y -1  → o número (-1) passa para o outro lado.

 x + 1 = y

y = x + 1  ← essa é a função inversa. Ou simplesmente: f ^-1(x) = x + 1

Exemplos:

Dê a inversa de:

a) f(x) = x + 5

b) f(x)=2x – 4

c) y = 2x – 1

Resposta:

a) f(x) = x + 5 

y = x + 5  →  trocando as incógnitas.

x = y + 5  → isolando y.

x – 5 = y  

y = x – 5

b) y = 2x – 4  → trocando as incógnitas.

     x = 2y – 4 → isolando y.

x + 4 = 2y  → o 2 que esta multiplicando y passa para o outro membro dividindo.

x+4 = y

  2

c)  y = 2x – 1 trocando as letras

 x = 2y – 1 

x + 1 = 2y

x+1  = y

  2