Princípio fundamental da contagem ou Princípio multiplicativo
Consiste em multiplicar o
número de possibilidades de cada etapa da experiência. Vejamos o exemplo abaixo:
Exemplo1:
Maria tem 5 blusas e 2 calças.
De quantas maneiras diferentes ela pode se vestir com essas roupas?
Vamos representa as blusas pela letra b e as
calças pela letra c.
A primeira blusa duas
possibilidades;
A segunda blusa duas
possibilidades;
A terceira blusa duas
possibilidades
A quarta blusa duas
possibilidades
A quinta blusa duas
possibilidades
Total de possibilidades: 10
Ela tem dez possibilidades de
usar as 5 blusas com as duas calças.
Exemplo2:
Marcio tem 4 bermudas e 3
camisas. De quantas maneiras diferentes ele pode se vestir com essas roupas?
bermudas camisas
|
B1
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B2
|
B3
|
B4
|
C1
|
C1b1
|
C1b2
|
C1b3
|
C1b4
|
C2
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C2b1
|
C2b2
|
C2b3
|
C2b4
|
C3
|
C3b1
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C3b2
|
C3b3
|
C3b4
|
Outra maneiras de fazer os
mesmos cálculos é só multiplicar o número de bermudas, pelo número de camisas.
4 . 3 = 12 →ele tem doze possibilidades de se vestir, com as 4 bermudas
e as 3 camisas.
Exemplo3:
Em um baile há 12 moças e 8
rapazes. Quantos casais podem ser formados?
Resposta:
12 . 8 = 96
Podem ser formados 96 casais.
Exemplo4:
Nina tem 6 saias, 4 blusas, 3
pares de sapatos e 2 casacos. De quantas maneiras diferentes ela poderá se
vestir, usando uma peça de cada conjunto?
Resposta:
6 . 4 . 3 . 2 = 144
De 144 maneiras diferentes.
Fatorial (n!)
O produto de n fatores, começa por n, até o valor 1.
Exemplo1:
5! = 5.4.3.2.1 →
n!=n.(n-1).(n-2).(n-3).(n-4). … .1
5!=5.(5-1).(5-2).(5-3).(5-4)
Exemplos2:
5! = 5.4.3.2.1 = 120
6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5040
8! = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40320
Arranjos Simples
Arranjo simples de n elementos tomados p a p, onde n e p são números naturais, é qualquer ordenação de p elementos dentre os n elementos, em que cada maneira de tomar os elementos se diferenciam
pela ordem e natureza dos elementos.
Obs: Os Aranjos: são agrupamentos em que a ordem dos
elementos é importante.
A fórmula de arranjo simples.
Exemplo:
Quantos números de 2 algarismos distintos são
formados com os algarismos: 1, 2, 3 e 4?
Resposta:
são formados 12 algarismos distintos,
que são:
12, 13, 14,21,23,24,31,34, 41,42,43.
(Os algarismos: 11,22,33,44, não entram por que
ele perde-se algarismos distintos).
Onde n é o total de elementos e p o número de elementos escolhidos.
Combinação simples
Quando a ordem dos elementos não importa, mas cada
elemento pode ser contado apenas uma vez, o número de combinações é o
coeficiente binomial:
Fórmula de combinação simples
Onde n é o total de elementos e p o número de elementos escolhidos.
Exemplo1:
Com 8 pessoas, quantas comissões de 3 pessoas
podem ser formadas?
São formadas 56 comissões.
Exemplo2:
Com 4 pessoas quantas comissões de 2 pessoas podem ser formadas?
São formados 6 comissões de 2 pessoas.
Outra maneira de fazer o mesmo exercício:
Vamos chamar essa 4 pessoas de André(A), Bruno(B),
Carlos(C) e Davi(D). Veja como ficaria a combinações.
André(A): (AB),(AC) (AD)
Bruno(B): (BA)(BC),(BD)
Carlos(C): (CA),(CB),(CD)
Davi(D): (DA),(DB),(DC)
Observe que os grupos estão se repetindo duas
vezes, por exemplo (AB) e (BA), são as mesmas pessoas André e Bruno e, assim
por diante. A mesma coisa acontece com as demais pessoas. 12 : 2 = 6 comissões
de duas pessoas, é a resposta.
Permutações simples
Definimos permutações
simples como sendo o número de maneiras de arrumar n elementos em n
posições em que cada maneira se diferencia pela ordem em que os elementos
aparecem. Aplicando o princípio da multiplicação obtemos a seguinte
equação para permutações simples:
Observação: a teoria vista acima com fatorial, é a mesma usada em permutações
simples.
Exemplo0
Pn=n! Ou
Pn=n.(n-1).(n-2). …1=n!
Pn=n!
P4=4! =
4.3.2.1=24
Exemplos1:
Considerando a palavra LIVRO, determinar:
a) o número de anagramas.
b) o número de anagramas que
começam com a letra L.
c) o número de anagramas que
começam com a letra L e terminam com a letra O.
d) o número de anagramas que
começam com uma vogal.
Resposta:
a)P5=5!=120
O número de anagramas é igual
a 120.
b) Fixando a letra L,
permutamos as demais.
P4=4!=24
O número de anagramas que
começam com a letra L é igual a 24.
c) Fixamos a letra L e a letra
O e permutamos as demais.
P3=3!=6
O número de anagramas que
começam com L e terminam em O é igual a 6 anagramas.
d) Na letra b, para cada letra
fixada na primeira posição há 24 anagramas. Como existe duas vogais diferentes,
o número de anagramas que começam com uma vogal é:
2 . 24 = 48.
Exemplos2:
(FCC-BA) Quanto aos anagramas
da palavra ENIGMA, sejam as afirmações:
I) O número total deles é 720.
II) O número dos que terminam
com a letra A é 25.
III) O número dos que começam
com EN é 24.
Assinale a alternativa
correta:
a) Só a afirmação I é
verdadeira.
b) A afirmação II é
verdadeira.
c) Só a afirmação III é
verdadeira.
d) As afirmações I e II são
verdadeiras.
xe) As afirmações I e III são verdadeiras.
Resolução:
A palavra ENIGMA têm 720 anagramas:
6! = 720
Anagramas que terminam com a
letra A: 5! = 120
Anagramas que começam com EN:
4! = 24
A afirmação correta letra e.
Permutações com elementos repetidos
Quantos anagramas podemos formar com a palavra
ARARA?
n = 5
a=3 a letra A esta se repetindo três vezes.
b=2 a letra R esta se repetindo
duas vezes.
Exemplo1:
Exemplo2:
Qual o número de anagramas que podemos formar com as letras URUGUAI?
n=7
RESUMO:
Arranjos: a ordem dos elementos é importante.
Combinações: a ordem dos elementos não é importante.
Permutações: as permutações podem ser simples ou com repetição. São arranjos em que os elementos apenas trocam de lugar entre si.
Permutação simples:
Pn=n
ou Pn=n.(n-1).(n-2). …1=n!
Permutação com repetição:
(Na próxima postagem vamos ver um pouco de Probabilidades).