EXERCÍCIOS- EQUAÇÕES IRRACIONAIS

1) Resolva as equações irracionais:

         

     


2) Qual a solução da expressão, sabendo que  

3) Resolva:

RESPOSTAS:
1)

2) 


3)

EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADE

EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADE

Quiz

Apenas uma alternativa correta.

 

1. Qual a probabilidade de ocorre coroa no lançamento de uma moeda?
   1.   80%
   2.   60%
   3.   50%
   4.   40%
2. Qual a probabilidade de ocorre um número ímpar no lançamento de um dado?
   1.   90%
   2.   80%
   3.   70%
   4.   50%
3. Em uma caixa tem bolas numeradas de 1 a 5. Qual a probabilidade de sair uma de número primo?
   1.   60%
   2.   50%
   3.   40%
   4.   20%
4. Na escolha de um número de 1 a 50, qual a probabilidade de que seja sorteado um múltiplo de 5?
   1.   20%
   2.   30%
   3.   50%
   4.   60%
5. Uma questão de multiplas escolhas, com 5 alternativas, sabendo que apenas uma é correta. Qual a probabilidade de um aluno acerta a questão
   1.   5%
   2.   10%
   3.   20%
   4.   30%
6. Em uma caixa tem 3 bolas vermelhas e 2 brancas, ao retirar uma dessa bolas dessa caixa, qual a probabilidade de obter-se uma bola vermelha?
   1.   35%
   2.   40%
   3.   50%
   4.   60%
7. Três moedas são lançadas simultaneamente. Qual é a probabilidade de ocorrer coroa em uma moeda?
   1.   35,5%
   2.   36%
   3.   37,5%
   4.   38%
8. Uma urna com bolas numeradas de 1 a 5. Qual a probabilidade de sair uma com um número menor do que 5?
   1.   40%
   2.   60%
   3.   80%
   4.   90%

PROBABILIDADES

Resumo de Probabilidade.

Probabilidade é a possibilidades de ocorre ou não de um determinado resultado feito através de experimentos aleatórios, trata-se portanto de uma medida de incerteza dos fenômenos aleatórios.

EXPERIMENTO ALEATÓRIO

Consideramos como experimentos aleatórios aqueles que, repetidas vezes em condições idênticas, produzem resultados que não podem ser previstos com exatidão.

Exemplos:
a) Lançar um dado e observar a face voltada para cima.
b) Lançar simultaneamente três moedas e observar as faces voltadas para cima.

ESPAÇO AMOSTRAL

Podemos definir o espaço amostral como sendo o conjunto universo de todas dos possíveis resultados, feitos num experimento aleatório.

Exemplos: 
a) Ao lançar um dado podemos ter qualquer uma das seis faces voltadas para cima:
U={ 1, 2, 3, 4, 5, 6 } = 6

b)  Ao lançar duas moedas para cima, o espaço amostral pode ser. Vamos representar as moedas por cara (c) e coroa (k)
U = { (c,c), (c,k), (k,k), (k,c) } = 4

EVENTO

É qualquer subconjunto do espaço amostral.

Exemplo:
* No laçamento de um dado
a) obter um número par: A={2, 4, 6 }

b) obter um número primo: B={ 2, 5}

COMO CALCULAR PROBABILIDADE

As probabilidades podem ser escritas na forma de fração, de decimais e de percentuais

Qual a probabilidade de ocorrer um evento A, contido em U
Pode ser definida por P(A) 

Exemplos:

a) Lançando-se um dado, a probabilidade de sair um número par com a face voltada para cima é:
U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
A = { 2, 4, 6 }

U = 6
A = 3

Para transformar em decimal, dividimos 1 por 2
1/2 = 0,5
0,5

Para transformar em percentual, multiplica-se por 100
0,5 x 100 = 50
50%


b) Qual a probabilidade de ocorrer um número primo no laçamento de um dado:

U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
A = { 2, 5 }

U = 6
A = 2

Observação:
Tipos de eventos:
a) Evento certo: 
Quando o evento não é um subconjunto vazio do espaço amostral. É um evento que podemos garantir que esse evento ocorrerá.

Um dado é lançado para cima, qual a probabilidade de sai um número ímpar:
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
A = { 1, 3, 5 } = 3


b) Evento impossível:
São alguns eventos que nunca ocorrerão.

Um dado é lançado para cima, qual a probabilidade de sai um número maior que 6:
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
A= { } = zero

PROBABILIDADE CONDICIONAL

Probabilidade de ocorrer o evento A, tendo ocorrido o evento B.

Multiplicação de probabilidades.

   Eventos independentes.



Agora é com vocês:

1) Na escolha de um número de 1 a 30, qual a probabilidade que seja sorteado um múltiplo de 5?

2) No lançamento de dois dados simultâneo, qual a probabilidade de obter a soma 7?

3) Em uma caixa tem 3 bolas vermelhas e 3 bolas brancas. Ao retirar uma bola dessa caixa, qual a probabilidade de:
a) tirar uma bola vermelha?
b) tirar uma bola branca?

Deixe suas respostas no comentário:

EXERCÍCIOS DE FUNÇÃO COMPOSTA

Observação: Este assunto é visto no Ensino Médio.
1) Dadas as funções f e g de R em R determine a função g o f  e f o g em cada caso:
a) f(x) = 3x - 1     e    g(x) = 2 - 2x

b) f(x)=2x   e g(x)=4x + 1

c) f(x)=6 - x    e  g(x)=6x + 3

Respostas:

1) 
a) 
f(x) = 3x - 1      
g(x) = 2 - 2x

g o f
g o f(x) = g[f(x)] =  2 - 2x      substituindo o x da função g(x) e colocamos a função f(x) em seu lugar
g[f(x)} =  2 - 2(3x - 1)
g[f(x)} =  2 - 6x + 2
g[f(x)} = - 6x + 4

f o g
f o g(x) = f[g(x)] =  3x - 1      substituindo o x da função f(x) e colocamos a função g(x) em seu lugar
f[g(x)] =  3(2 - 2x) - 1
f[g(x)] =  6 - 6x - 1
f[g(x)] =   - 6x + 5


b) 
f(x)=2x    
g(x)=4x + 1

g o f
g o f(x) = g[f(x)] = 4x + 1     substituindo o x da função g(x) e colocamos a função f(x) em seu lugar
 g[f(x)] = 4(2x) + 1
 g[f(x)] = 8x + 1

f o g
f o g(x) = f[g(x)] = 2x         substituindo o x da função f(x) e colocamos a função g(x) em seu lugar
 f[g(x)] = 2(4x + 1)
 f[g(x)] = 8x + 2
       
   
c)
 f(x)=6 - x      
g(x)=6x + 3

g o f
g o f(x) = g[f(x)] = 6x + 3         substituindo o x da função g(x) e colocamos a função f(x) em seu lugar
g[f(x)] = 6( 6 - x )+ 3 
g[f(x)] = - 6x + 39      

f o g
f o g(x) = f[g(x)] = 6 - x         substituindo o x da função f(x) e colocamos a função g(x) em seu lugar
 f[g(x)] = 6 - (6x + 3)        
 f[g(x)] = 6 - 6x -  3
f[g(x)] = - 6x + 3


2) Dadas as funções f(x) = x² – x - 2  e g(x) = 1 - 2x, determine f o g e g o f.

Solução:

f o g

f o g(x) = f[g(x)] = x² – x - 2      substituindo o x da função f(x) e colocamos a função g(x) em seu lugar
 f[g(x)] =( 1 - 2x)² – (1 - 2x )- 2
f[g(x)] = 1 - 4x + 4x² – 1 +2x - 2
f[g(x)] =   4x²  - 2x - 2

g o f

g o f(x) = g[f(x)] = 1 - 2x           substituindo o x da função g(x) e colocamos a função f(x) em seu lugar
g[f(x)] = 1 - 2(x² – x - 2)
g[f(x)] = 1 - 2x² + 2x + 4
g[f(x)] =  - 2x² + 2x + 5