ESCALONAMENTO DE SISTEMAS

Já estudamos sistema de equação com duas incógnitas na 6ª série (7° ano). No Ensino médio usamos a Regra de Cramer para resolver, isto é, quando o sistema tem duas ou três incógnitas. Porém, quando o sistema é formado por três ou mais equações, se faz necessário buscar um outro processo menos trabalhoso.

Como resolver sistema usando o método do escalonamento:

1. arrumando o sistema: colocar para cima a equação que o coeficiente seja 1.

2. zera a primeira incógnita, da segunda equação.

3. zera a segunda incógnita da segunda equação. 

Fazer até a última equação.

Vejamos o exemplo:

Observe que a 1ª equação a primeira a incógnita é 1. sendo assim não precisa mexe no sistema.

para zera a segunda incógnita, multiplicamos a 1ª equação por -2, ficando assim;

x + 2y - 2z = -5  (-2)

- 2x -4y + 4z = 10     arrumando o sistema com a mudança. 

Observe no novo sistema que podemos agora zera a primeira incógnita, somando a 1ª equação com a 2ª equação, ficando assim;

ox - 7x + 5z = 19

Para zera o x na 3ª equação multiplicamos a primeira equação (original) por -3

x + 2y - 2z = -5  (-3)

- 3x - 6y + 6z = 15    somando com a 3ª equação do sistema.
  3x - y  + 3z = 8     
 0x   -7y + 9z = 23

0x -7y + 9z = 23     vejamos como ficou o novo sistema.

Agora precisamos eliminar o -7y da terceira equação. Para isso é só multiplicar a 2ª equação por-1

e somar com a 3ª equação.

-7y + 5z = 19     (-1)

7y -5z = -19   somando com a 3ª equação ficando

0y + 4z = 4

Vejamos como ficou finalmente o sistema:

Agora é só calcular o valor de cada incógnita.

Substitui o valor de z na 2ª equação para encontrar o valor de y.

-7y + 5z = 19

-7y + 5.1=19

-7y + 5 = 19

-7y = 19-5

-7y=14

Substitui os valores encontrados de z e y na 1ª equação para encontrar o valor de x.

x+2y-2z=-5

x+ 2.(-2) - 2.1=-5

x - 4 -2 = -5

x -6 = - 5

x = -5 + 6

x = 1

V={(1, -2, 1)}

Exemplo:

Solução:

I-A 2ª equação jogo para cima, ocupando o lugar da 1ª.

II- Multiplicando a 1ª equação por (-2) e o resultado adiciono a 2ª equação, para anular o 2x da 2ª equação.
-2x -2y - 4z = -6
2x + 2y +3z = 5
               -z = - 1

Observe que nesta primeira operação anulamos na 2ª equação x e y.

III- Multiplicando mais uma vez a 1ª equação por (-3)  e o resultado adiciono a 3ª equação para anular o 3x.
-3x - 3y - 6z = -9
3x + 4y + 2z = 0
          y  - 4z = -9

IV- Multiplicando a 2ª equação por (-4)  e o resultado adicionando com a 3ª equação para anular -4z.

   4z = 4
y-4z = -9
y      = - 5

Como já encontramos os valores de y = - 5 e z = 1, vamos substituir esses valores em qualquer equação do sistema para encontrar o valor de x.

x + y + 2z = 3
x - 5 + 2 = 3
x  - 3 = 3
x = 3 + 3
x = 6

V= [( 6, -5, 1 )]



Exemplo:

Primeira operação eliminando 4x da 2ª equação.

Segunda operação eliminando x na 3ª equação.

Terceira operação eliminando o 2y da 3ª equação.

Encontrando o valor de z e substituindo na 2ª equação para encontrar o valor de y.

Substituindo os valores encontrados em qualquer equação para encontrar o valor de x.
x + y + z = 6
x + 2 + 3 = 6
x + 5 = 6
x= 6 - 5
x= 1

V=[(1, 2, 3)]

Bons estudos para todos que os alunos do Ensino Médio 

EXERCÍCIOS: CÁLCULO ALGÉBRICO

1) Determine o valor numérico de cada expressão algébrica:

2) Carla resolveu 20 testes. Para cada acerto, ela ganhou 5 pontos e, para cada erro, perdeu 2 pontos. quantos acertos e quantos erros Carla teve se ela teve 72 pontos no final?

RESPOSTAS:

2)
Observação: O aluno pode resolver questões desse tipo, de duas maneiras diferentes. Uma é montando um sistema. Vamos resolver esta questão usando as duas maneiras.

1ª resolução:

Dados
Resolveu  20 testes
Para cada questão certa ganha 5 pontos
Para cada questão errada perde 2 pontos.
Ganhou 72 pontos
X números de questões.

5x - 2. (20 - x ) = 72     resolvendo a distributiva
5x - (40 - 2x) = 72       multiplicando o sinal de fora com o sinal de dentro e eliminando os parêntesis
5x - 40 + 2x = 72         jogando o termo independente para o segundo membro alterando o sinal
5x + 2x = 72 + 40        somando os termos
7x = 112                       jogando o 7 para o segundo membro e efetuando a divisão

16 é o número de questões acertada por Carla.
 20 - x
20 - 16 = 4

4 é o total de questões que Carla errou.

Conferindo:
Para conferir é só substituir na equação os valores encontrados

5x - 2. (20 - x ) = 72
5.16 - 2. (20 - 16 ) = 72
80 - (40 - 32) = 72
80 - 40 + 32 = 72
40 + 32 = 72
72 = 72

2ª Resolução:

Dados
Resolveu  20 testes
Para cada questão certa ganha 5 pontos
Para cada questão errada perde 2 pontos.
Ganhou 72 pontos
X números de questões.

Montando um sistema de equação do 1º grau:
x número de questões certas
y números de questões erradas

O aluno pode usar qualquer método. Vamos usar o método da adição para isso multiplicamos a 1ª equação por 2. ficando assim o novo sistema.

Somando os termos:

16 questões que Carlas acertou.

Para encontrar o valor de y é só pegar qualquer uma das equações e substituir o valor de x por 16.
x + y = 20
16 + y = 20
y = 20 - 16
y = 4

4 questões que Carla errou.

LOGARITMO - RESUMO

Dois números reais e positivos, chamamos esses números de a e b, com a diferente de 1.

Sendo b na base a, e o expoente x.       a^x = b

  

Significados das letras:

a é base

b é  logaritmando

x é o logaritmo

Exemplos:

Log₂ 16 = 4  

base a, no caso 2

logaritmando ou antilogaritmo b, no caso 16

logaritmo x, no caso 4 

a) Calcular o logaritmo de 49 na base 7.

Solução:

log₇ 49 = x  

   7^x = 49           ( fatorando 49)

   7^x = 7²               ( igualando o x)

     x= 2

log₇ 49 = 2


b) Calcular: log₄ 16

Solução:

log₄ 16 = x    (igualando a x)

4^x = 16         ( fatorando 4 e 16)

2^2x =2⁴           (bases iguais, desprezando a base e igualando os expoentes)

2x=4             ( dividindo 4 por 2)

c) Calcular: log₈₁ 3

Solução:

log₈₁ 3 = x        (igualando a x)

81^x=3                ( fatorando)        

3^4x =3¹                  (desprezando a base e igualando os expoentes)

4x=1                  ( dividindo 1 por 4)

Observação:

PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS

Logaritmo de um produto:

Logaritmo de um quociente:

Logaritmo de uma potência:

Mudança de base:

Cologaritmo:

Observação:
Sistema de logaritmos decimais:
A base é 10, e que vem simplificada, isto é, ela não aparece.
Exemplo:
log₁₀ 2

Ele é escrito assim:

log 2