EXERCÍCIOS DE MULTIPLICAÇÃO DE POLINÔMIOS

1) Determine o produtos dos polinômios:

a) (x + 9). (x – 20)

b) ( x + 7) . ( x + 5)

c) (2x + 1) . ( 6x² – 5x + 3)

d) (x + 5) . ( x² + 2x – 10)

2) Qual a área de um retângulo sabendo que o lado maior mede 5x + 4 e o lado menor mede 3x+1.

3)Determine as áreas de um retângulo  e de um quadrado, sabendo a diferença entre a área do retângulo e a área do quadrado mostrados nas figuras é 60 cm² .

4) Qual o volume do paralelepípedo da figura abaixo:

5) Qual o produto dos polinômios:  (x²-xy +y² ) . ( x² + xy + y²) . (x² – y²). Determine seu valor número para x=2 e y = -1

RESPOSTAS:

Multiplicação de polinômios: multiplica-se cada elemento do primeiro por cada elemento do segundo.

multiplicações da parte literal, quando são iguais, repete e soma os expoentes.

Depois para finalizar adiciona-se (ou subtrai-se) os termos semelhantes.

1)

a) (x + 9). (x – 20) 

(x . x) + (x . (-20)) + (9 . x) + (9 . (-20))  

x² - 20x + 9x - 180

x² - 11x  - 180

b) ( x + 7) . ( x + 5)

 (x . x) + ( x . 5) +( 7. x) +  (7 . 5)

 x² + 5x + 7x + 35

 x² + 12x + 35

c) (2x + 1) . ( 6x² – 5x + 3)

(2x . 6x²) + (2x . (-5x)) + ( 2x . 3) + ( 1 . 6x²) + (1 . (-5x)) +( 1 . 3)

12x³  -   10x²  +  6x  + 6x²  - 5x  + 3

12x³  -   4x²  +  x  + 3

d) (x + 5) . ( x² + 2x – 10)

 x³ + 2x²- 10x + 5x² + 10x - 50

x³ + 7x² - 50

2) Qual a área de um retângulo sabendo que o lado maior mede 5x + 4 e o lado menor mede 3x+1.

Para encontrar a área desse retângulo é só multiplicar o valor representado de um lado pelo outro.

( 5x + 4  ) . ( 3x+1 )

(5x . 3x) + (5x . 1) + ( 4 . 3x) + ( 4 . 1)

15x² + 5x + 12x + 4

15x² + 17x + 4

3) Determine as áreas de um retângulo  e de um quadrado, sabendo a diferença entre a área do retângulo e a área do quadrado mostrados nas figuras é 60 cm² .

(4x + 3) . ( 4x ) – ( 4x . 4x ) = 60

16x² + 12x – 16x² = 60

12x = 60

12x = 60

12      12

x= 5

Vejamos: 

área do retângulo é: 16x² + 12x

área do quadrado: 16x² 

Substituindo x pelo valor encontrado 5.

16x² + 12x 

16.5² + 12. 5        fazendo os cálculos

400 + 60

460

 16x²

16.5² 

400

área do retângulo menos área do quadrado igual a 60 cm².

460 - 400 = 60

  60 = 60

área do retângulo é: 460 cm²

área do quadrado é:400 cm²

4) Qual o volume do paralelepípedo da figura abaixo:

Para calcular o volume do paralelepípedo é só multiplicar os três valores ( os polinômios) dado.

(4x ) . ( x ) . ( 2x + 1 )

4x² . ( 2x + 1)

8x³ + 4x²

5) Qual o produto dos polinômios:  (x² - xy +y² ) . ( x² + xy + y²) . (x² – y²). Determine seu valor número para x=2 e y = -1

Em primeiro lugar devemos resolver os produtos destes polinômios, depois de simplificado substituirmos os valores dado para x e y.

 Multiplicando uma vez;

(x² –xy + y²) .  (x² + xy + y²) . ( x² – y² )

x² (x² + xy + y²) – xy (x² + xy + y²) + y² (x² + xy + y²) .( x² – y² )

( x⁴ + x³y + x²y² – x³y - x²y² - xy³ + x²y² + xy³ + y⁴ ) . ( x² – y² ) 

Simplificando antes de fazer a última multiplicação.

( x⁴ + x³y + x²y² – x³y - x²y² - xy³ + x²y² + xy³ + y⁴ ) . ( x² – y² )

 

Depois de simplificado, efetuamos a última multiplicação.

(x⁴ + x²y² + y⁴). ( x² – y² ) 

x² (x⁴ + x²y² + y⁴) – y² (x⁴ + x²y² + y⁴)

x⁶ + x⁴y² + x²y⁴ – x⁴y² – x²y⁴ – y⁶ 

x⁶ + x⁴y² + x²y⁴ – x⁴y² – x²y⁴ – y⁶      simplificando mais uma vez

x⁶ – y⁶

Na questão pede o valor numérico sendo que x = 2 e y = - 1

Substituindo e resolvendo a potenciação;

x⁶ – y⁶

2⁶ – (- 1)⁶

64 - 1

Resposta 63

EXERCÍCIOS- DIVISÃO DE POLINÔMIOS POR OUTRO POLINÔMIOS

1) Determine as divisões dos polinômios:

a) (x³ – 3x² – x + 6 ) : ( x – 2)

b) ( 9x³ – 36x² + 29x – 6 ) : (x -3)

c) ( 3x⁵ – 6x⁴ + 13x³ – 9x² + 11x – 1) : ( x² – 2x + 3 )

d) ( 6x⁵ + 3x⁴ – 13x³ – 4x² + 5x + 3 ) : ( 3x³ – 2x -1 )

RESPOSTAS:

Para o aluno a primeira vista parecer ser algo muito difícil e até mesmo assustador, divisão de um polinômio por outro.

Em primeiro lugar  aluno deve lembra de como é feito a divisão de números inteiros, obedecendo as regras dos sinais.

Segundo lugar lembrar das propriedades de potenciação. Em que diz, multiplicação de potência de mesma base repete a base e soma os expoentes ou ainda divisão de potência de mesma base repete-se a base e subtrai os expoentes.  

b) (9x³ – 36x² + 29x – 6 ) : ( x- 3 )

c) ( 3x⁵ – 6x⁴ + 13x³ – 9x² + 11x – 1) : ( x² – 2x + 3 )

M.M.C. DE POLINÔMIOS

Já estudamos o M.M.C. com número na quinta  e sexta série (6º ano e 7º ano), através da fatoração. Agora vamos usar as mesmas técnicas só que incluindo números e letras ( incógnitas). Vamos ao assunto, isto é, como calcular o m.m.c de polinômios.

Exemplos:

a) Como determinar o m.m.c de 18a²b³  e  24ab⁴ 

Resolução:

Primeiro fatoramos os números 18 e 24

Forma fatorada dos números.

18 = 2 . 3²

24 = 2³ . 3

Forma fatorada dos números e letras:

18a²b³ = 2 . 3² . a²  . b³

24ab⁴ = 2³ . 3 . a . b⁴

Arrumando:

Pegando os números que tem o maior expoente, assim como as letras

m.m.c = 2³ . 3² . a²  . b⁴ 

m.m.c =72a²b⁴

b) Como determinar o m.m.c de 12b²c, 16bc⁵ e 20b³c

 Fatorando os coeficientes

12b²c = 2² . 3 . b². C

16bc⁵ = 2⁴ . b . c⁵

20b³c = 2² . 5 . b³ . c

m.m.c = 2⁴ . 3 . 5 . b³ . c⁵      

m.m.c =240b³c⁵ 

b) Como determinar o m.m.c de 14a²p⁶, 21a⁴p³ e 42a⁵p⁵

Solução: