EXERCÍCIOS COM SENOS E COSSENOS

Este assunto é visto a partir do 9° ano.
O aluno deve prestar bastante atenção por se tratar de um assunto muito complexo.
Os exercícios foram tirados do livro Conquista da Matemática do 9° ano dos autores José Ruy Giovanni Jr. e Benedicto Castrucci. página 285

1) Determine a medida x indicada no triângulo da figura.

2) No triângulo ABC da figura seguinte, as medidas indicadas são consideradas em centímetros. determine as medidas a e b.Sabendo que:

3) Considerando que, no triângulo ABC da figura e determine a medida x indicada.

Sabendo que:

4) Considerando que, no triângulo ABC da figura abaixo, determine a medida c. Sabendo que:

5) Qual é o valor do cos N no triângulo MNO da figura?

6) No triângulo DEF, determine a medida x indicada sabe-se que:

7) Três cidades, A, B e C encontram nos vértices de um triângulo qualquer, como nos mostra o desenho abaixo.

As distâncias em linha reta entre A e B e entre A e C estão assinalados no desenho. Qual a distância, em linha reta em e quilômetros, entre as cidade B e C ?

8) Três ilhas, A, B e C, aparecem em um mapa com a mesma disposição da figura abaixo. Sabendo que nesse mapa 1 cm equivale a 0,1 km no real, qual a distância real, em quilômetros, entre as ilhas A e B? AC=12 cm 

EXERCÍCIOS - COM MDC

1) (UFMG) Três fios têm comprimentos de 36m, 48m e 72m. Deseja-se cortá-los em pedaços menores, cujos comprimentos sejam iguais, expressos em número inteiro de metros e sem que haja perda de material. O menor número possível de pedaços é:

a) 7                          b)9                        c) 11                d) 13                   e) 30


2) Ana precisa cortar em pedaços iguais fitas coloridas para enfeita a escola no dia de festa. Ela tem 12m de fita verde, 18m de fita azul, 48m de fita amarela e 60m de fita vermelha. Qual deve ser o comprimento de cada pedaço de fita?


3) Paulo tem duas tábuas uma de 90 centímetros e a outra de 126 centímetros. Ele quer cortá-las em pedaços de mesmo tamanho, sendo que o comprimento deve ser o maior possível. Qual deve ser o comprimento de cada pedaço?

Solução:

1) Após fatorar os números 36, 48 e 72 encontramos.

Observe que já tinham 36m, 48m e 72m, isto é, três pedaços. Foram cortados em 11 pedaços.

1º corte: 18m, 24m e 36m

2º corte: 9m, 12m e 18m

3º corte: 6m e 9m

4º corte: 3m

5º corte: 3m e 3m

Resposta final:
c) 11



2) Nesta questão ele  não quer saber em quantos pedaços foram cortados, mas, o tamanha que cada pedaço vai ter.

Observe que 2 e 3 são os números que dividiu os quatros números ao mesmo tempo.

Sendo assim: 2 . 3 = 6

Cada pedaço de fita vai ter 6 metros de fita.

3) Observe que a maneira de resolver é a mesma.

Observe que 2 e 3² são os números que dividiu os quatros números ao mesmo tempo.

Sendo assim: 2 . 9 = 18

Cada pedaço de fita vai ter 18 centímetros cada pedaço.

EXERCÍCIOS - NÚMEROS DE DIVISORES

1) Determine quantos divisores possui o número 450?

2) Determine quantos divisores têm o número 840?

3) Qual o número de divisores têm o número 3 430 000?

4) Qual o valor de n para que o número 2³ x 3² x 5ⁿ  admita 60 divisores?

5) Qual é o valor de y que o número 3^y x 3 x 3²   admita 36 divisores?

Solução:

1) Após decompor em fatores primos o número 450:

450 = 2 x 3² x 5²

Soma-se uma unidade em cada expoente antes de efetuar a multiplicação:

2¹⁺¹ x 3²⁺¹ x 5²⁺¹

1+1 x 2+1 x 2+1 = 2 x 3 x 3 = 18

450 têm 18 divisores.

2) Após decompor em fatores primos o número 840:

840 = 2³ x 3 x 5 x 7

Soma-se uma unidade em cada expoente antes de efetuar a multiplicação:

2³⁺¹ x 3¹⁺¹ x 5¹⁺¹ x 7¹⁺¹

3+1 x 1+1 x 1+1 x 1+1

4 x 2 x 2 x 2 = 32

840 têm 32 divisores.

3) Após decompor (fatorar) em fatores primos o número 3.430.000.

2⁴ x 5⁴ x 7³

Lembrado que agora é só somar uma unidade em cada expoente e depois multiplicar-los para encontrar a resposta.
4 + 1 x 4 + 1 x 3 + 1
5 x 5 x 4 = 100
3.430.000 têm 100 divisores


4) Ele já deu o número de divisores e ao mesmo tempo esse número fatorada, sendo que esta faltando o expoente de 5.

2³ x 3² x 5ⁿ  = 60 

3+1 x 2+1 x (n + 1) = 60   ( somando uma unidade ao expoente)

4 x 3 x(n+1) =60

12(n+1) =60

12n + 12 = 60

12n = 60 – 12

12n = 48

n = 48/12

n=4

5) A resolução desta questão é o mesmo processo da anterior:

2^y x 3 x 5² = 36

(y+1) x 1+1 x 2 + 1 = 36

(y+1) x 2 x 3 = 36

(y+1) x 6 = 36

6y + 6 = 36

6y = 36 – 6

6y = 30

y = 30/6

y = 5

NÚMERO DE DIVISORES

Aqui vamos ver mais um pouco o assunto relacionado a divisores de um número. Em outras postagens já foram visto como calcular os divisores em fatores primos.

Vamos ver agora não os divisores mas o total de divisores de um número, isto é, quantos são os divisores e não quais são os divisores.

Exemplos:

a) Quantos divisores tem o número 60?

I- Fatoramos 60 em números primos

2² x 3 x 5

II- Adicionamos uma unidade a mais em cada expoente dos fatores primos

2 + 1=3
1 + 1=2
1 + 1=2


III- Multiplicamos os resultados para encontrar a resposta:

3 x 2 x 2 = 12

Logo 60 têm 12 divisores.



b) Quantos divisores têm o número 360?

2³ X 3² x 5

3+1=4

2+1=3

1+1=2

4 x 3 x 2 = 24

360 têm 24 divisores.

c) Quantos divisores têm o número 8400?

2⁴ x 3 x 5² x 7

4 + 1 =5
1 + 1=2
2 + 1=3
1 +1=2

5 x 2 x 3 x 2= 60

8400 têm 60 divisores.


Agora é com vocês:
Determine o número de divisores de:
a) 840
b) 900

TRABALHO EXTRACLASSE 6º ANOS A e B

TRABALHO EXTRACLASSE 7º ANOS A e B

DIVISORES DE UM NÚMERO

O Máximo Divisor Comum (MDC) de um ou mais números já foram estudados em outra postagem. 

O Mínimo Múltiplo Comum (MMC) de um ou mais números naturais já foram estudados em outra postagem do blog.

Nesta postagem vamos ver como encontrar todos os divisores de um número natural.

Vejamos o exemplo:
a) Quais os divisores de 60?

D (60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}

Podemos usar o método da fatoração para encontrar o mesmo resultado, vejamos como:

1º Fatora o número dado em fatores primos:

2º Após fatorado o número, traçar uma linha vertical a direita desse resultado.

3º Coloca-se o 1 (um) acima do primeiro número primo. E multiplica-se pelo número primo.



D (60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}



4º Repeti-se esse processo até que todos os primos sejam multiplicados, por todos números da direita. Observe abaixo os números em vermelho representa os números primos que foram encontrados na fatoração de 60. Os resultados são todos os divisores desse número.
            1
2 x 1 = 2
2 x 1 =      ( não é necessário, lembre que 2 já foi multiplicado)
2 x 2 = 4
3 x 1 = 3
3 x 2 = 6
3 x 4 = 12
5 x 1 = 5
5 x 2 = 10
5 x 3 = 15
5 x 4 = 20
5 x 6 = 30
5 x 12 = 60

D (60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}


Vejamos outros  exemplos:
b) Quais os divisores de 150?

D (150) = { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150}



c) Quais os divisores de 250?

D (250) = {1, 2, 5, 10, 25, 50, 125, 250 }