FELIZ NATAL

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

Progressão Geométrica é uma sequência de números não nulos, sendo que o termo seguinte, a partir do segundo termo, que multiplicado por um número fixo (chamado de razão P.G.)

Exemplos:

a) ( 3, 6, 12, 24)
Dividindo o segundo termo pelo primeiro encontramos 2 que é a constante, ou seja, a razão dessa P.G.  

b) ( 2, 6, 18, 54, ... )  → razão q = 3

RAZÃO → Para encontrar a razão de uma P.G. basta efetuar a divisão entre um termo e seu antecessor.

Veja o esquema abaixo, q é chamado de razão da P.G.

Exemplo: Determine a razão das P.G. 

a( 1, 3, 9, ... )

b( 16, 8, 4, ...)

Soluções:

a) ( 1, 3, 9, ... )

b) ( 16, 8, 4, ...) 

c) Determine os cincos primeiros termos da P.G. sabendo que o primeiro termo é 5 e a razão é q= 3

Para encontrar os cincos primeiros termos da P.G. basta multiplicar a razão pelo termo anterior.

5 . 3 = 15

15 . 3 = 45

45 . 3 = 135

135 . 3 = 405

405 . 3 = 1215

Os cincos primeiros termos são: (15, 45, 135, 405, 1215)

TERMO GERAL 

a_n  - termo geral

a₁  - primeiro termo

n - números de termos

q - razão

Exemplo: Determine o oitavo termo da P.G. (, 3, 9, . . .)
Dados:

a₁ =

n= 8

a₈ = ?

Calculando a razão:

Substituindo na fórmula:

SOMAS DOS TERMOS

S_n – soma dos n termos

n – números de termos

a₁ – primeiro termo

q – razão da P.G.

Exemplo: Calcule a soma dos seis primeiros termos da P.G. ( 2, 4, 8, . . . )
Dados:

S_n = ?

n = 6

a₁ = 2

q = 2

Substituindo na fórmula:

SOMAS DE UMA P.G. INFINITA

Exemplo: Qual a soma da P.G. infinita: (100, 50, 25, . . . )

SOMAS DE UMA P.G. CONSTANTE ( q = 1)

Exemplo: Qual a soma do quinto termo da P.G. ( 8, 8, 8, . . . )
Dados:

S₅ = ?

n = 5

a₁ = 8

q = 1

S₅ = n. a₁

S₅ = 5. 8

S₅ = 40

TRÊS TERMOS EM P.G.

PRODUTOS DOS TERMOS DE UMA P.G. LIMITADA

II-EXERCÍCIOS USANDO AS RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

No blog já existe o resumo deste assunto e um outro exercício respondido.
Qualquer dúvida veja os links abaixo:
Resumo do conteúdo:
Exercícios

Determine o valor da letra em cada caso abaixo:

   

RESPOSTAS

Usamos para responde os exercícios o Teorema de Pitágoras e as relações métricas no triângulo retângulo.

Dados:

Hipotenusa do triângulo maior =13

Catetos do triângulo maior 5 e 12

Vamos calcular a altura, representado por y.

Qual relação usar?

h² = m . n  → Essa não dar, pois esta faltando alguns dados, veja que foi dado 13 como sendo o valor da hipotenusa, isto é,  m + n . mas quem é m e que é n?

b. c = a. h → Podemos usar essa. Vejamos que temos os catetos b , c  e o valor de a que nesse caso é a hipotenusa.

Substituindo na fórmula:

b.c = a.h

12 . 5 = 13h

Dados:

Usando a fórmula

Dados:

a= y

b=8

c=6

h=x

Como já temos os catetos do triângulo maior, vamos calcular a hipotenusa representada pela letra y.

Dados:

a=25

b=x

c=z

m=9

h=y

Procurando o valor de z.

Procurando o valor de x.

Procurando a altura, representada por y

Observe o triângulo menor, já temos o valor da hipotenusa z=15; de um dos catetos m=9, falta calcular o outro cateto y. Que representa a altura do triângulo maior.

O aluno pode usar qualquer uma das fórmula para encontrar o valor de y.

Vamos resolver usando as duas:

I- O quadrado da hipotenusa é igual a soma do quadrado dos catetos.

II- Quadrado da medida da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das medidas projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.

n=25-9 

n=16

Dados:
b=24
c=18
a=?
Calcular x e y

Como no triângulo maior já temos os valores dos catetos, vamos usar a fórmula: 

"O quadrado da hipotenusa é igual a soma do quadrado dos catetos". 

Para encontrar a hipotenusa que nesse caso é o valor de a.

Como já achamos o valor de a. Agora usamos a seguinte fórmula para encontrar o n.

y=n
y=19,2
Para encontrar o m o processo mais rápido é subtrair o a de n.

m= a - n
m= 30 - 19,2
m= 10,8

x=m
x= 10,8

Calculando altura que é representado por y.

y=h
y=6

Calculando o valor de x.
Observe que no triângulo menor já temos os valores de y, b.

Vamos usar as duas maneiras diferentes, para chegar ao mesmo resultado:

I- O quadrado da hipotenusa é igual a soma do quadrado dos catetos.

II- O quadrado da hipotenusa do triângulo menor, iguala ao produto da hipotenusa do triângulo maior por n.

COEFICIENTES DA FUNÇÃO DO 1º GRAU

Coeficientes da Função:

Lembrando:
a > 0, a função é crescente
a < 0, a função é decrescente


1) Dada a função f(x) = 3x + 6, determine:
a) os coeficientes angular e linear.
b) se a função é crescente ou decrescente.

Resposta:

 coeficiente angular:

f(x) = ax + b
f(x) = 3x + 6

Coeficiente angular: a = 3

f(x) = ax + b
f(x) = 3x + 6

Coeficiente linear: b = 6

b) se a função é crescente ou decrescente.

Como a > 0
A função f(x) =3x + 6 é crescente



2) Dada a função f(x) = x + 2, determine:
a) os coeficientes angular e linear.
b) se a função é crescente ou decrescente.

Resposta:

Coeficientes angular.
f(x) = ax + b
f(x) = x + 2
Coeficiente angular: a = 1

f(x) = ax + b
f(x) = x + 2

Coeficiente linear: b= 2

b) se a função é crescente ou decrescente.

A função f(x) = x + 2 é crescente já que a> 0

3) Determinar a equação da reta que passa pelo ponto ( -2 , 4) e tem coeficiente  angular - 3.

Resposta:

Primeiro vamos substitui os valores dado na função.

  

a = - 3

x = -2

y =4

y = ax + b

4 = -3 . ( -2) + b

4 = 6 + b

4 - 6 = b

b = -2

Montado a função:

y = ax + b

y= - 3x - 2

4) Marque a equação da reta que passa pelo ponto ( -2, 1) e cujo coeficiente angular é -4.

A) y = 4x - 7

B) y = -4x - 7

C) y = -4x + 7

D) y = -7x - 4

Resposta:

Substitui os dados na função.

x = - 2

y = 1

a= - 4

y= ax + b

1=(-4) . (-2) + b

1 = 8 + b

1 - 8 = b

b = - 7

Montando a função

y = ax + b

y = -4x - 7

Resposta correta letra B.

EQUAÇÕES ALGÉBRICAS - EXERCÍCIOS

1) Sabendo que uma de suas raízes é 1, qual a solução da equação polinomial: x³ - 2x² – x + 2 = 0

2) Determine as raízes da equação, sabendo que uma de suas raízes é 2: P(x)=  3x³ + 9x² –18x - 24

3) Resolva a equação x⁴ + x^{3  _} 7x² – x + 6 = 0, sabendo que -1 e 1 são raízes da equação.

Resposta:

Na resolução destas questões iremos utilizar o dispositivo de BRIOT-RUFFINI.

1) 
Vamos usar o dispositivo de Briot-Ruffini para transformar a equação (polinômio) de 3º grau em uma equação de 2º grau. Para encontrar as demais raízes.

O aluno também pode dividi o polinômio pela raiz dada na questão, para encontrar a equação do 2º grau.  Antes precisa arrumar o divisor, x=1 → x - 1. O resultado no final vai ser o mesmo.

x³ - 2x² – x + 2 = 0

De um lado colocamos a raiz que foi dada, no meio os coeficientes da equação e do outro lado o termo independente.

Agora é só montar a equação do 2º grau e resolver para encontrar as outras raízes

Solução { -1, 1, 2 } 


2) 
P(x)=  3x³ + 9x² –18x - 24   igualando a zero
           3x³ + 9x² –18x - 24=0

Solução { -4, -1, 2 }



3) 
Nesta questão vamos utilizar duas vezes o dispositivo de Briot-Ruffini para transformar em uma equação do 2º grau.
x⁴ + x^{3  _} 7x² – x + 6 = 0

x³ + 2x² – 5x – 6 = 0   

Usando mais uma vez o dispositivo de Briot-Ruffini reduzir para uma equação do 2º grau.

Solução {  -3, -1, 1, 2 }

Vamos dividir esse mesmo polinômio do 4º grau pelas raízes dada na questão de número 3. O resultado vai nos dar uma equação do 2º grau sem precisar fazer duas vezes o mesmo calculo usado o dispositivo de Briot-Ruffini.

Antes devemos arrumar o divisor.

Raízes dada; { -1 , 1}

x = - 1  → x + 1

x = 1 → x -1

(x-1) (x+1) = x² - 1

x²  + x – 6 = 0   equação do 2º grau.

Como foi falado o aluno fica livre para escolher a melhor maneira de encontrar as raízes, a menos que o professor/a coloque no enunciado qual o método que ele quer.