TIPOS DE MATRIZES

 

SISTEMA DE EQUAÇÃO DO 1° GRAU E SEU GRÁFICO

1)  Observe este gráfico, em que estão representadas duas retas: Para que esse gráfico seja a representação geométrica do sistema: 

os valores de a e b são:

(A) a = –1 e b = 8. 

 (B) a = 2 e b = 3. 

 (C) a = 3 e b = 2. 

 (D) a = 8 e b = –1. 

RESOLUÇÃO:

Observando o gráfico as retas se cruzam nos pontos (2, 3). 

Sendo assim, as raízes desse sistema são 2 e 3.

Substituindo esses valores no sistema encontramos os valores de a e b.

1ª equação

x + 2y = a

2 + 2 . 3 = a

2 + 6 = a

8 = a

2ª equação

x - y = b

2 - 3 = b

-1 = b

Resposta: D

2) Os sistemas de equações apresentam uma interpretação gráfica. Indique o gráfico que melhor representa o sistema a seguir: 

Resolvendo: Usando a adição 

dividindo ambos termos por 2

x = 1         substituindo  em uma das equações

x + y = 2

1 + y = 2

y = 2 – 1

 y = 1      solução: ( 1 , 1)

Através das raízes já sabemos onde as retas vão se cruzarem.

x + y = 2    zerando y, x é igual 2.  E zerando x y é igual a 2.

Sendo assim as retas passam pelo ponto 2 de x e 2 de y no plano cartesiano.

Resposta: B

3) Observe o gráfico a seguir: Esse gráfico é a solução (representação geométrica) do sistema:

Resolvendo:

Observe que a retas cruza nos pontos 3 e  4

x=3

y=4

Uma maneira é resolver cada sistema para encontrar essas raízes, porém, vai levar muito tempo. Outra maneira é substitui esses valores em cada sistema.

Vamos substitui as raízes dada em cada sistema para encontrar a resposta.

A) 

x + y = 12

3 + 4 = 12

      7 = 12   não é solução, a letra A esta descartada 

B) 

x + y = 7

3 + 4 = 7

      7 = 7    pode ser a letra B, vamos testar na segunda equação.

2x + 4y = 22

2.3 + 4.4 = 22

6 + 16 = 22

      22 = 22      é solução.

C) 

x + y = 7

3 + 4 = 7

       7 = 7         pode ser a letra C, vamos testar na segunda equação.

2x - y = - 1

2.3 - 4 = -1

6 - 4 = -1

    2 = - 1          não é solução, a letra B esta descartada.

D)

x + 2y = 5

3 + 2 . 4 = 5

3 + 8 = 5

11 = 5             não é solução, a letra D esta descartada.

Resposta letra B

4) Observe o sistema de equação do 1° grau e responda:

Qual é o gráfico que representa o sistema?

Resolvendo:

Na 1ª equação:

y = -x + 6

Quando 

y= 0   x = 6

x = 0  y = 6

Na primeira equação a reta passa pelos pontos (6, 6)

Na 2ª equação:

y = x - 2

Quando 

y= 0   x = 2

x = 0  y = -2

Na segunda equação a reta passa pelos pontos (2, -2)

Encontrando as raízes usando a comparação 

 -x + 6 =  x - 2

-x - x = - 2 - 6

-2x = - 8     dividindo ambos termos por - 2

x = 4 

Substituindo na 2ª equação

y = x - 2

y = 4 - 2

y = 2

Solução (4, 2 ) os pontos onde as retas se encontram.

Resposta letra B

SISTEMA DE EQUAÇÃO DO 2° GRAU

 1) Resolver os seguintes sistemas de equações nas incógnitas x e y.

Como x já esta isolando na primeira equação: x=2y, vamos substituir na segunda equação.

x + y² = 35 

2y + y² = 35   

organizando e resolvendo a equação do 2° grau

 y² + 2y – 35= 0

a= 1      b= 2      c = – 35

Quando y é 5,  x vai ser

 x= 2y 

x= 2. 5 

x= 10

Quando y é   – 7, x vai ser,

x= 2y 

x= 2 . (– 7) 

x = –14 

S = ( 10, 5); (–14, – 7)

Isolando y na primeira equação e substituindo na segunda.
y = 9 - x

xy = 14

x(9 - x) = 14

9x – x² = 14     organizando e igualando a zero   – x² + 9x – 14 = 0     

– x² + 9x – 14 = 0   para mudar o sinal de a, multiplico por ( -1)

x² – 9x + 14 = 0 

a = 1      b= – 9        c= 14

Quando x é 7, y é;       

 y= 9 – x                          

y= 9 – 7                        

y= 2

Quando   x é  2    y  é;     

y= 9 – 2                    

y = 7                            

S = ( 7, 2); ( 2,  7)

Como x esta insolado na primeira equação: x = 5 - 2y

y² – 7 = – 3(5 - 2y)

 y² – 7 = – 15 + 6y     organizando

y² – 6y – 7 + 15 =0                   y² – 6y  + 8 =0          a= 1     b = – 6      c = 8

Quando y é 4  x vai ser, 

 x= 5 – 2y                

x= 5 – 2.4     

x = 5 – 8    

x = - 3

Quando y é 2 x vai ser;     

 x= 5 – 2y            

 x= 5 – 2.2   

 x = 1     

  S = ( 1, 2); ( -3, 4)

 Insolando y na primeira equação: y = 4 – x, e substituindo na segunda.

x² – xy = 6

x² – x(4 – x) = 6                                   x² – 4x + x² = 6       igualando a zero

2x² – 4x – 6 = 0    dividindo tudo por 2

x² – 2x – 3 = 0                                          a = 1        b =  – 2         c = – 3

Quando x é 3, y vai ser;    

y = 4 – x                

 y = 4 – 3                    

 y= 1          

Quando x é –1, y vai ser;

y = 4 – ( –1)            

 y= 5            

 S = ( 3, 1); (–1, 5)

FATORIAL

É comum aparecer produtos de fatores naturais sucessivos em problemas de análise combinatória.

3! = 3 . 2. 1  ( Lê-se três fatorial ou fatorial de três).

5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 . ( Lê-se cinco fatorial ou fatorial de cinco).

Considerando um número n, sendo n pertence ao naturais e n é maior ou igual a 2, temos:

n! = n . ( n – 1 ) . ( n – 2 ) .  ... . 1

Sendo que 0! = 1  e  1! = 1.

Exemplos:

a) 2! = 2 . 1 = 2

b) 3! = 3 . 2 . 1 = 6

c) 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24

d) 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120

1) De quantas maneiras podemos organizar 7 alunos em uma fila?

7! =  7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5040 maneiras

2) Simplifique as expressões: