RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES- EXERCÍCIOS

1) Racionalize o denominador de cada uma das seguintes expressões:

                                                                                          
                                                            





2) Racionalize o denominador de cada expressão a seguir:

3) Racionalize o denominador de cada expressão a seguir:

                                 


                               



4) Racionalize o denominador de cada expressão a seguir:

RESPOSTA:

Para eliminar os radicais dos denominadores vamos encontrar um fator racionalizante para cada um. Para uma melhor compreensão o fator racionalizante vai esta destacado na cor vermelha.

Nesse primeiro caso, o fator racionalizante vai ser a raiz quadrada de 10, multiplicamos os dois radicais e extraímos a raiz.

1)

    ( multiplica-se o fator racionalizante, tanto no numerador como no denominador da fração)




     

     (dividindo  numerador e o denominador por 2)

   





       

   





     

 

     

   

     





   





2 )

     

 

 



 




3)

   

   










4)

(Exercício tirados do livro: Conquista da Matemática 9º ano,2009; página 85)

ÂNGULOS

ângulos-exercícios

1)Qual o instrumento usado para medir ângulos?
•  Bússula.
•  A régua.
•  O transferidor.
•  O metro.
2)Quando dois ângulos têm a mesma medida como são chamados?
•  Suplementares.
•  Congruentes.
•  Complementares.
•  Semelhantes.
3)Quanto mede um ângulo reto?
•  180º
•  270º
•  90º
•  360º
4)O que são ângulos complementares?
•  São ângulos adjacentes que medem 90º
•  São ângulos adjacentes que medem 180º
•  São ângulos não-adjacentes
•  São angulos adjacentes que medem 360º
5)Determine a medida do suplemento de um ângulo de 82º 30'
•  97º 30'
•  90º 60'
•  100º 1'
•  96º 50º
6)A medida de um ângulo é igual à medida de seu complemento, aumentada de 70°. Qual é a medida desse ângulo?
•  80°
•  70°
•  60°
•  81°
7)As medidas de dois ângulos adjacentes suplementares são expressos, em graus, por x + 43° e 2x - 10°. A medida do maior desses ângulos é:
•  88°
•  92°
•  96°
•  100°
8)A medida de um ângulo é igual à medida do seu complemento, aumentada de 30°. Qual é a medida desse ângulo?
•  60°
•  75°
•  85°
•  96°
9)A medida de um ângulo é igual à terça parte da medida do seu suplemento. Qual é a medida desse ângulo?
•  35°
•  45°
•  46°
•  37°
10)A medida de um ângulo é o triplo da medida do seu suplemento. Qual é a medida do maior desses ângulos?
•  145°
•  130°
•  135°
•  136°

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SISTEMAS DE EQUAÇÃO DO 2º GRAU: EXERCÍCIOS

1) Resolver os sistemas abaixo:

2) A soma das áreas de dois quadrados é 52cm²  Sabendo que a diferença entre as medidas dos lados desses quadrados é 2 cm, calcule a área de cada quadrado.

3) A diferença entre as idades de Pedro e Joana é 5 anos, e o seu produto é 84. Qual a idade de cada um?

4) A soma de dois números é 28, e diferença entre o quadrado do primeiro e o quadrado do segundo, nessa ordem, é 56.

5) Determine dois números inteiros e positivos tais que o produto entre eles seja 140, e a diferença entre eles seja 4.


RESOLUÇÃO:
Vamos usar o método da substituição. Qualquer dúvida vá até a postagem SISTEMA DE EQUAÇÃO DO 2º GRAU, lá tem um resumo passo a passo de como se resolve um sistema do 2º grau.

1)


Como x é igual a 2y, é só substitui na segunda equação.

x=2y

x + y²   = 35

2y + y²   = 35   organizando temos uma equação do 2° grau

y²  + 2y – 35 = 0

 
a= 1; b= 2 ;  c= -35

Encontrando o valor de x.
x= 2y
x= 2.5
x=10

x=2y
x=2 .(-7)
x= -14
Solução: (10,5); (-14, -7)






x = 9 - y  ( substituindo x na 2ª equação)

xy = 14

(9-y).y =14

9y – y² = 14

– y² + 9 – 14 = 0    (multiplicando por -1 ).

 y² - 9 + 14 = 0 

a= 1; b= -9; c= 14

Encontrando o valor de x.

x = 9 - y
x = 9 - 7
x = 2

x = 9 - y
x = 9 - 2
x = 7

Solução: (2, 7); (7, 2)






x = 5 - 2y   ( substituindo na 2ª equação)

y²  = 7 – 3x

y²  = 7 – 3.(5 – 2y)

y²  = 7 – 15 + 6y  ( organizando)

y²  - 6y + 8 = 0 

a= 1; b = - 6; c = 8

Encontrando o valor de x.

x = 5 - 2y
x = 5 - 2.4
x= -3

x = 5 - 2y
x = 5 - 2.2
x=1

Solução: (-3, 4); ( 1, 2)







x = -17 + 2y     ( substituindo na 2ª equação)

y²  + 5x= -29

y²  + 5( - 17 + 2y) = -29

y²  - 85 + 10y = -29

y²  + 10y - 85 + 29  = 0

y²  + 10y - 56  = 0

a=1; b= 10; c= -56

x = -17 + 2y   ( encontrando o valor de x. )
x = -17 + 2.4
x = -17 + 8
x= -9

x = -17 + 2y
x = -17 + 2 . (-14)
x = -17 - 28
x= - 45

Solução: (-9, 4); ( -45, -14)


2) A soma das áreas de dois quadrados é 52cm²  Sabendo que a diferença entre as medidas dos lados desses quadrados é 2 cm, calcule a área de cada quadrado.

Dados:
Vamos chamar os quadrados de x e y.

       x . x = x ²                y . y =  y²
Para calcular a área de um quadrado multiplicamos a base vezes altura.
Montando o sistema:

isolando x na 2ª equação e substituindo na 1ª

x = 2 + y

 y²  + y²  = 52

(2+y)²  + y²  = 52

4 + 4y + y²  + y²  = 52

2 y² + 4y + 4  - 52 = 0

2 y² + 4y - 48 = 0  Simplificando por 2

 y² + 2y - 24 = 0  

a= 1; b= 4; c = -24

Encontrando o valor de x.

x = 2 + y

x = 2 + 4

x= 6

x = 2 + y

x = 2 + ( - 6)

x = 2 - 6

x = - 4

(6, 4)

Para a questão só interessa o números positivos.
O quadrado maior tem área igual a 36 cm²
O quadrado menor tem área igual a 16 cm² 


3) A diferença entre as idades de Pedro e Joana é 5 anos, e o seu produto é 84. Qual a idade de cada um?

Solução:

x a idade de Pedro
y a idade de Joana

x = 5 + y

xy = 84

(5 +y) y = 84

5y + y² = 84

 y² + 5y - 84= 0

a= 1; b=5; c= - 84

x = 5 + y    ( encontrando o valor de x)

x = 5 + 7

x = 12

Observação: Os números negativos não serve para esse tipo de pergunta.
Solução: Pedro têm 12 anos e Joana têm 7 anos



4) A soma de dois números é 28, e diferença entre o quadrado do primeiro e o quadrado do segundo, nessa ordem, é 56.

Montando o sistema:

x = 28 - y         ( isolando x)

x² – y² = 56      ( substituindo na 2ª equação)

(28 - y)² – y² = 56

784 – 56y + y² –y² = 56    ( cancelando + y² –y²)

-56y = 56 – 784

-56y = - 728

    y = -728    
          - 56

y = 13

Encontrando o valor de x.

x = 28 - y  
x = 28 - 13
x= 15

Solução: ( 15, 13)


5) Determine dois números inteiros e positivos tais que o produto entre eles seja 140, e a diferença entre eles seja 4.

Montando o sistema:


isolando x na 2ª equação e substituindo na 1ª equação
x= 4 + y

xy = 140

(4 + y).y = 140

4y + y² = 140

y² + 4y – 140 = 0 

a=1; b= 4; c= -140

x= 4 + y

x= 4 + 10

x= 14

Solução ( 14, 10)