24 de set de 2013

CONJUNTOS DOS NÚMEROS NATURAIS (IN)

O primeiro conjunto numérico estudado no Ensino Fundamental maior é o conjunto dos números naturais.

O conjunto dos números naturais surgiu da necessidade que o homem primitivo tinha de contar. Prática necessária para a época. Como contar quantos animais uma determinada pessoa tinha. E assim por diante.

O conjunto dos números naturais é representado pela letra N maiúscula, e é composto por dez símbolos que são: IN = { 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }.

Quando se exclui o zero do conjunto IN, temos o conjunto dos números naturais não-nulos, indicado por IN*.
IN*={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, . . . }

 Apesar de só ter apenas dez símbolos o conjunto dos naturais é infinito. Isto é, com apenas estes dez símbolos pode-se escrever qualquer número, por maior que seja. Estes símbolos são chamados de algarismos indo-arábico.
Este sistema foi pelos hindus e aperfeiçoados e divulgados pelos árabes.

  SUCESSOR E ANTECESSOR
SUCESSOR – Todo número natural tem um sucessor. Por exemplo, o sucessor de 0 é 1, o de 1 é 2, o de 2 é 3, o de 3 é 4, e assim por diante.

 COMO ENCONTRAR O SUCESSOR DE UM NÚMERO NATURAL

Para encontrar o sucessor de um número natural qualquer é só adicionar (somar) uma unidade a esse número. Veja os exemplos:
Exemplo: Qual o sucessor dos seguintes números naturais, a seguir? 

a) 345 O sucessor  é 345 + 1 = 346
b) 752   O sucessor é 752 +1 = 753
c) 999  →O sucessor é  999 + 1 = 1000.

ANTECESSOR – Todo número natural possui um antecessor com exceção do 0 (zero). Por exemplo, o antecessor de 5 é  4, o de 4 é 3, o de 3 é 2, o de 2 é 1, o de 1 é 0. E 0 não tem antecessor no conjunto dos números naturais.

COMO ENCONTRAR O ANTECESSOR DE UM NÚMERO NATURAL
Nesse caso é só subtrair (diminuir) uma unidade desse número para achar seu antecessor. Qual o antecessor de 784? Resposta:  784 – 1 = 783.  Qual o antecessor de 1000? Resposta: 1000 – 1 = 999.
COMO LER E ESCREVER UM NÚMERO NATURAL

CLASSE DOS BILHÕES
CLASSE DOS MILHÕES
CLASSE DOS MILHARES
CLASSE DAS UNIDADES SIMPLES
Dezenas de
bilhão
Unidades
de
bilhão
Centenas
de
milhão
Dezenas
 De
 milhão
Unidades
de
milhão
Centenas
de
 milhar
Dezenas
De
 milhar
Unidades
de
milhar
centenas
dezenas
Unidades
simples
1
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

 1= uma unidade ou simplesmente ( um).
10 = dez unidades  ou ( dez ).
100 = cem unidades ou  ( cem)
1 000= mil unidades ou ( mil).                                                 
10 000 = dez mil unidades ou ( dez mil).
100 000 = cem mil unidades ou ( cem mil).
1000 000 = um milhão de unidades ou ( um milhão).
10 000 000 = dez milhões de unidades ou ( dez milhões).
100 000 000 = cem milhões de unidades ou ( cem milhões).
1 000 000 000 = um bilhão de unidades ou ( um bilhão).
10 000 000 000 = dez bilhões de unidades ou simplesmente ( dez bilhões).
Exemplo: 7 251 364 541 sete bilhões, duzentos e cinquenta e um milhões, trezentos e sessenta e quatro mil, quinhentos e quarenta e um.

OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS
Existem quatro operações básicas com os números naturais, que são: ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO, MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO. Vejamos cada uma delas.

 ADIÇÃO
Ideias relacionadas à ADIÇÃO
a) juntar duas ou mais quantidades.
Exemplo: Ana tem uma coleção de boneca, com 15 bonecas e sua amiga Maria tem uma coleção de 20 bonecas. Juntando a coleção de Ana e de Maria, qual o total de bonecas?
Resposta:  15 + 20 = 35   ou seja,
   15       parcela
+ 20        parcela
   35         Soma ou total ( resultado da adição).
As duas amigas juntas têm 35 bonecas.

 b) acrescentar uma dada quantidade a outra.
Exemplo: Um som á vista custa 1 200 reais. Comprando o mesmo som a prazo tem um acréscimo de 452 reais. Qual o preço do som quando comprado a prazo?
Resposta: 1 200 + 452 = 1 652    ou seja
   1200     parcela
+   452       parcela
   1652       soma ou total( resultado da operação).
O preço do som a prazo é de 1652 reais.

Os temos da adição são parcelas e soma ou total.

    373    parcelas
+ 208
    581   total ou soma



PROPRIEDADES DA ADIÇÃO COM NÚMEROS NATURAIS

Existem três propriedades da adição que são: COMUTATIVA, ASSOCIATIVA e ELEMENTO NEUTRO. Vejamos cada uma delas:

1.Propriedade comutativa da adição
Em uma adição de dois números naturais quaisquer, a ordem das parcelas não altera o resultado (soma). Seja a e b dois números naturais, então a + b = b + a.
Exemplo:
8 + 7 = 7 + 8                 20 + 81 = 81 + 20
  15    =   15                       101   =   101

2.Propriedade associativa da adição
Em uma adição de três ou mais números naturais quaisquer, pode se associar as parcelas de modos diferentes. Sendo a, b e c números naturais quaisquer, então
(a + b) + c = a + ( b + c).
Exemplo1:
(17 + 21) + 36     =    17 + (21 + 36)
(38) + 36               =    17 + (57)
38 + 36                  =     17 + 57
    74                       =          74

Exemplo2:
(15 + 20) + (7 + 12) + 8         =         15 + ( 20 + 7) + (12 + 8)
(35) + (19) + 8                          =          15 + ( 27) + (20)
35 + (19 + 8)                             =           (15 + 27) + 20 
35 + (27)                                    =           (42) + 20
   62                                              =                 62


3.Elemento neutro da adição
A adição (soma) de qualquer número natural com zero, vai ser sempre esse número, já quer o zero não altera o resultado por se trata do elemento neutro da adição.
Exemplos:
46 + 0 = 46
0 + 563 = 563


SUBTRAÇÃO


A subtração é a operação inversa da adição: 8 – 3 = 5 ⇔ 3 + 5 = 8

Ideias relacionadas à SUBTRAÇÃO

Tirar uma quantidade de outra quantidade.

Paulo tem uma poupança de 25 670 reais, e resolveu tirar da poupança 2 500 reais. Quanto ainda ficou na poupança de Paulo?
 25 670    minuendo
-  2 500     subtraendo
 23 170   diferença ou resto ( resultado da operação).
Resposta: Na poupança ficaram ainda 23 170 reais.


Entre duas quantidades, queremos saber quanto uma tem a mais do que a outra.
Mauro tem 76 anos e seu irmão 53 anos. Quantos anos têm a mais que seu irmão?
76 – 53 = 23
Resposta: Mauro tem 23 anos a mais do que seu irmão.

Entre duas quantidades, quando queremos saber quanto falta a uma delas para atingir a outra.
Exemplo: Uma fabrica produzi mensalmente 2 500 de uma determinada peça. Nesse mês ela produziu 1100 peças. Quantas peças ainda faltam para serem fabricadas?
2 500 – 1 100 = 1 400

  2 500   minuendo
- 1 100   subtraendo
  1 400  resto ou diferença.
Resposta: ainda faltam 1 400 peças para serem fabricadas.


MULTIPLICAÇÃO
A multiplicação é um processo igual à adição, porém, é um método mais rápido quando se quer adicionar (somar) várias parcelas iguais.  

Veja os exemplos:
Usando a adição  4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20

O mesmo cálculo feito acima agora usando a multiplicação:

  4    fator
x5     fator
20  →   produto  
 
Quando são poucas as parcelas de uma multiplicação é fácil fazer usando a adição como no caso acima, porém, quando as parcelas são muito grande faz-se necessário o uso da multiplicação
 
Exemplo: Uma cidade tem 27 670 domicílios. Suponho que cada domicílio tenha, em média, 4 moradores, qual é a população aproximada dessa cidade?
     27670
         x 4
   ______
   110680
 
Resposta: 110.680 habitantes
 
PROPRIEDADES DA MULTIPLICALÇAO DE NÚMEROS NATURAIS
São quatro as propriedades da multiplicação: COMUTATIVA, ELEMENTO NEUTRO, ASSOCIATIVA e DISTRIBUITIVA.

1. Propriedade  Comutativa
A ordem dos fatores, na multiplicação de números naturais quaisquer, não altera o produto, ou seja, a. b = b. a
4 x 5 = 5 x 4

2. Elemento neutro
O elemento neutro da multiplicação é o número 1. Qualquer número natural multiplicado por 1 é sempre o próprio número, ou seja, a . 1 = a
Exemplo:  37 x 1 = 37

3. Propriedade Associativa
Em uma multiplicação de três ou mais números naturais quaisquer, pode-se associar os fatores de modos diferentes, sem que o produto seja alterado. (a . b ) . c = a . ( b . c )
Exemplo:
8 x ( 2 x 5) = (8 x 2) x 5
8 x ( 10 )    =  ( 16 ) x 5
  8 x 10       =     16 x 5
      80          =        80

4. Propriedade distributiva
Para multiplicar um número natural por uma soma de duas ou mais parcelas, multiplicas-se o número por cada uma das parcelas, em seguida adiciona-se os resultados: a.(b+c)=(a .b)+(a . c)
Exemplo: 3 . ( 4 + 7 )  = ( 3 x 4 )  + ( 3 x 7 )
                                                  ( 12 )   +  ( 21 )
                                                          12 +  21
                                                                33

Observação: quando um número é multiplicado por zero, tem como resultado zero(0). Porque o zero como fator anula o produto.
Exemplo1: 34 x 0 = 0
Exemplo2: 0 x 51 = 0



DIVISÃO
Operação que expressa o número de vezes que um número, (divisor) está contido em outro número (dividendo). A divisão é o processo contrário da multiplicação.
   DIVIDENDO   80         DIVISOR 
           RESTO    0     20   QUOCIENTE


Uma das idéias da divisão é dividir certa quantia, em parte iguais.
Exemplo: Maria tem 42 figurinhas para destribuir com 7 amigas. Qual o número de figurinhas que cada uma receberá?
    42  [7  
      0   6

 Resposta: cada uma irá receber 6 figurinhas cada uma.


A divisão poderar ser exata e não exata.

É exata quando na divisão o resto for igual a zero.
Ex:  100  [5  __
         (0)      20
 
 
A divisão é considerada não exata quando na divisão o resto for diferente de zero.
Ex:    102 [ 5__



           (2)    20
 
Observação: Não existe divisão por zero.
Ex:  7 [0__
 
DIVIDENDO ( D)  = DIVISOR (d )  X QUOCIENTE (Q) + RESTO (r )
            D =  d . Q + r
           30 =  5 . 6 + 0
 
             D = d . Q + r
          102 = 5 . 20 + 2 
 

 




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