EXERCÍCIOS DE DIVISIBILIDADE

 1) Determine  o algarismo de x de modo que o inteiro 8x6 seja divisível por 3 e 4, simultaneamente.

2) Determine os menores valores para x e y de modo que o inteiro 231xy seja divisível por 5 e 9 ao mesmo tempo.

3) Sendo o número 4a8b divisível simultaneamente por 2, 3, 5, 9 e 10. Calcule a e b.

4) Determine os algarismos que devem ser escritos no lugar de x e y, no número x64y, que é menor do que 4.000, para que seja, ao mesmo tempo, divisível por 5 e 9.

5) Verifique se 4968, 2472 e 6172 são divisível por 12.

SOLUÇÃO:

1) Determine  o algarismo de x de modo que o inteiro 8 x 6 seja divisível por 3 e 4, simultaneamente.

Para um número ser divisível por 3 a soma dos valores absoluto deve ser um número divisível por 3.

8 0 6    (8 + 0 + 6 = 14 ),  ( o 0 não serve)

8 1 6    (8 + 1 + 6 = 15),  ( o 1  serve ), os dois últimos números da direta é divisível por 4. 

8 2 6    ( 8 + 2 + 6 = 16),  ( o 2 não  serve )

8 3 6    ( 8 + 3 + 6 = 17 ), ( o 3 não  serve )

8 4 6    ( 8 + 4 + 6 = 18),  ( o 4 não  serve )

8 5 6    ( 8 + 5 + 6 = 19),  ( o 5 não serve )

8 6 6    ( 8 + 6 + 6 = 20),  ( o 6 não  serve )

8 7 6    ( 8 + 7 + 6 = 21),  ( o 7  serve ) os dois últimos números da direta é divisível por 4.

8 8 6    ( 8 + 8 + 6 = 22 ), ( o 8 não  serve )

8 9 6    ( 8 + 9 + 6 = 23),  ( o 9 não  serve )

x =1 

x=  7

2) Determine os menores valores para x e y de modo que o inteiro 231xy seja divisível por 5 e 9 ao mesmo tempo.

Para um número ser divisível por 9 a soma dos valores absoluto deve ser um número divisível por 9.

Para a divisão por 5 o número tem que ter final 0 ou 5.

231xy

23130   (  2+3+1+3+0= 9) , também é divisível por 5.

23175  (2+3+1+7+5 = 18), também é divisível por 5.

x=3  y=0

3) Sendo o número 4a8b divisível simultaneamente por 2, 3, 5, 9 e 10. Calcule a e b.

Para b só pode ser 0. 

Logo, vai ser por 2 e por 5.

4a8b

4680  ( 4+6+8+0=18), pode ser divisível por 3 e por 9

a=6   b= 0

4) Determine os algarismos que devem ser escritos no lugar de x e y, no número x64y, que é menor do que 4.000, para que seja, ao mesmo tempo, divisível por 5 e 9.

Para ser divisível por 5 o y de ser igual a 5 ou a 0

x64y

3640  ( 3+6+4+0 = 13), é divisível por 5, mas não é por 3.

3645  ( 3+6+4+5 = 18), é divisível por 3 e por 5

x=3 y=5

5) Verifique se 4968, 2472 e 6172 são divisível por 12.

Um número é divisível por 12 quando for divisível por 3 e por 4 ao mesmo tempo.

4968 ( 4+9+6+8 = 27), é divisível por 3 e como 68 também é divisível por 4, logo é por 12.

2472 ( 2+4+7+2 = 15), é divisível por 3 e como 72 também é divisível por 4, logo é por 12.

6172 ( 6+1+7+2= 16), 72 é divisível por 4, mas a soma dos valor absoluto não é divisível por 3.

EXERCÍCIOS: DIVISIBILIDADE

1) TRT- No almoxarifado de certa Repartição Pública há três lotes de pastas iguais: o primeiro com 60,o segundo com 105 e o terceiro com 135 pastas. Um funcionário deve empilhá-las, colocando cada lote de modo que, ao final de seu trabalho, ele tenha obtido pilhas com igual quantidade de pastas. Nestas condições, o menor número de pilhas que ele poderá obter é:

a) 3                 b) 15              x c) 20                    d) 60                 e) 100

2) TRT - A associação de funcionários de certa empresa promove palestras regularmente; uma a cada 3 meses, outra a cada 6 meses e outra a cada 8 meses. Se, em 1990, as três palestras foram dadas em julho, a próxima coincidência de época das palestras será em:

a) junho de 1991        b) julho de 1991      c)abril de 1992    d)junho de 1992    x e) julho de 1992

3) TRT - Um funcionário recebeu 3 lotes de pastas para colocar num arquivo morto. O primeiro lote tinha 240 pastas; o segundo 360;o terceiro 180. Ele deseja repartir os 3 lotes em pacotes contendo todos a mesma quantidade de pastas e o maior quantidade de pastas possível. O número de pacotes que ele fará é:

a) 6                   b) 10             x c) 13                    d) 15                   e) 18

4) TTN - Numa corrida de automóveis, o primeiro corredor dá a volta completa na pista em 10 segundos; o segundo, em 11 segundos e o terceiro em 12 segundos. Quantas voltas terá dado cada um, respectivamente, até o momento em que passarão juntos na linha de saída?

x a) 66, 60 55              b) 62, 58 e 54          c) 60, 55 e 50           d) 50, 45 e 40      e) 40, 36 e 32

5) TRE - Três funcionários de um escritório cumprem, sistematicamente, horas extras de trabalho, inclusive aos sábados ou domingos: um deles a cada 15 dias, outro a cada 18 dias e o terceiro a cada 20 dias. Se, hoje, os três cumprirem horas extras, a próxima vez em que irão cumpri-las num mesmo dia será daqui a:

a) um mês          b) um bimestre      c) um trimestre        x d) um semestre        e) um ano

6) TRT - Sabe-se que o M.D.C dos números A=2^x x 3³ x 5⁴; B = 2³ x 3^y x 5² e C = 2⁴ x 3⁴ x 5^z  é igual a 180. Nessas condições x + y + z é igual a:

a) 2                b) 3                c) 4                x d) 5                    e) 6

RESPOSTAS

1) 
Em primeiro lugar devemos calcular o M.D.C de 60, 105 e 135

O M.D.C de 60, 105 e 135 é ( 3 x 5 = 15 )  
Agora vamos dividi por 15  cada um dos números. Depois somar estes valores para encontrar a resposta final.

60 : 15 = 4                  105 : 15 = 7                135 : 15 = 9 

4 + 7 + 9 = 20
O menor número de pilhas de pastas que pode ser obtido é de 20 pastas.
Resposta: c)

2)  
Calculando o M.M.C de 3, 6 e 8

O M.M.C de 3, 6 e 8 é 24
Um ano é igual a 12 meses. 
Os três voltaram a dar palesta no mesmo dia após dois anos, isto é, em julho de 1992.
Resposta: e) 

3) 
Calculando o m.d.c de 240, 360 e 180

M.D. C é (2 x 2 x 3 x 5 = 60)
Dividindo cada um dos números por 60.
240 : 60 = 4             360 : 60 = 6           180 : 60 = 3
Adicionando (somando) os resultados:
4 + 6 + 3 = 13

 Resposta: c)

4)
Calculando o m.m.c de 10, 11 e 12

O m.m.c de 10, 11 e 12 é 660
Dividindo 660
660 : 10 = 66
660 : 11 = 60
660 : 12 = 55

Resposta: a)

5)

Calculando o m.m.c

180 dias é igual a seis meses.
Resposta: d)




6)
Antes devemos fatorar 180. Lembrando que o M.D.C é o máximo divisor comum.
Numa questão como essa, quando temos todos os expoentes, pega-se os expoentes menores. Vejamos um exemplo:

2² . 2³ . 3². 3³ . 5¹ . 5²

Neste caso os menores expoentes são:  2, 2 e 1

Ao fatorar 180 vamos descobrir quais são os expoentes de: 2^x ,  3^y e  5^z

x = 2; y = 2 e z = 1

x + y + z = 

2 + 2 + 1 = 5 

Resposta: d)