CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS

O conjunto dos números inteiros (z) vem logo após o estudo do conjunto dos números naturais (IN). Uma das diferenças desse conjunto que as operações são feitas tanto com os números inteiros positivos, quantos com os números negativos. Como por exemplo: 7 – 14, é impossível de fazer no conjunto dos números naturais.

O conjunto dos números inteiros é formado por todos os números inteiros positivos e pelos inteiros negativos incluindo  o zero. É representado pela letra Z, isto é, formado todos os números que compõem o conjunto dos números naturais mais, os números negativos.

Daqui para frente quando me referir ao conjunto dos números inteiros será representado simplesmente pela letra Z.

Assim como o conjunto dos números naturais, o conjunto dos inteiros é infinito, tanto para a esquerda, quanto para a direita. O zero não é nem positivo, nem negativo.

Z={ ...,-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, +6,...}.

Representação do conjunto dos inteiros (Z)

POSITIVO

 Z ₊ ={0, +1, +2, +3, +4, +5, +6, +7,...}

NEGATIVOS

Z _- ={ ..., -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0}

EXCLUINDO O ZERO (isto é, o conjunto Z sem o zero).

Z*= { -4, -3, -2, -1, +1, +2, +3, +4,...}

NÚMEROS INTEIROS SIMÉTRICOS OU OPOSTOS

Dois números inteiros cujos numerais são iguais, mas com sinais contrários, são chamados de simétricos ou opostos, já que se, encontram em lados opostos da reta numérica.

Exemplo:

O simétrico ou o oposto de +5 é – 5.

O simétrico ou o oposto de – 17 é +17.

MODULO DO NÚMERO INTEIRO

O módulo de um número inteiro é representado por duas barras. Vejamos:

I+4 l = +4

I – 7 l = + 7

O módulo de qualquer número inteiro, diferente de zero, é sempre positivo.

OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS (Z)

Assim, como no conjunto dos números naturais, podemos efetuar as operações de adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação.

Antes devemos conhecer às regras dos sinais.

Tabela com regras dos sinais

ADIÇÃO	(+) + (+)	=	+
	( + ) + ( - ) ( - ) + ( + )	=	O SINAL DO MAIOR MÓDULO.
SUBTRAÇÃO	( - ) – ( + )	=	-
	( - ) - ( - )  ( + ) - ( + )	= =	O SINAL DO MAIOR MÓDULO.
MULTIPLICAÇÃO	( + ) . ( + ) ( - ) . ( - )	= =	+ +
	( + ) . ( - ) ( - ) . ( +)	= =	- -
DIVISÃO	( + ) : ( + ) ( - ) : ( - )	= =	+ +
	( + ) : ( - ) ( - ) : ( + )	= =	- -

ADIÇÃO COM NÚMEROS INTEIROS

Exemplo: 

(+5) + (+7) = +5 + 7= +12

(- 5) + ( -7 ) = -5 - 7 = -12, sinais iguais somar-se e conserva o sinal

(-5 ) + (+7) =  -5 + 7 = +2 , sinais diferentes subtrair e conserva o sinal do maior módulo.

PROPRIEDADES DA ADIÇÃO

São 4 as propriedades da adição no conjunto dos números inteiros, que são: 

1- Fechamento- Ao soma dois números inteiros quaisquer é sempre um número inteiro.

Exemplos:
a) (+3) + (+8) = +11 
b) (-7) + (-5) = - 12
c) (+15) + (-9) = +6

2- Comutativa - A ordem das parcelas não influência na soma, isto é, não altera a soma. (resultado). a+b = b+a

Exemplos:
a) 7 + 8 = 8 + 7
       15  =  15

b) -5 + 8 = 8 + (-5)
         +3 = +3

3- Elemento neutro - O número 0 é o elemento neutro da adição, isto é, qualquer número adicionado a zero, é igual ao próprio número. a + 0 = a

Exemplos:
a) 12 + 0 = 12
b) 19 + 0 = 19
c) 0 + 27= 27

4- Associativa - As parcelas de uma adição podem ser associadas de maneiras diferentes e obtém-se a mesma soma. (resultado). a + (b +c) = (a + b) + c.

Exemplos:
a) 4 + (7 + 9) = (4 + 7) + 9
         20         =      20

b) (4 + 12) + 5 = 4 + (12 + 5) 
            21        =      21

PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO

São 5 as propriedades da multiplicação no conjunto dos números inteiros, que são: 

1- Fechamento - O produto de números inteiros quaisquer é sempre um número inteiro. 

Exemplos:

a) (+9) . ( +5) = +45

b) 0 . (- 62) = 0

2- Comutativa - A ordem dos fatores não altera o produto. (resultado): a . b = b . a

Exemplos:

a) 4 . 7 = 7 . 4

      28  =  28

b) ( - 5) . ( + 8) = (+8) . (-5)

            - 40      =    - 40

3- Elementro neutro - O elemento neutro na multiplicação de números inteiros é o número +1, isto é, qualquer número multiplicado por +1, o produto será o próprio número: a . (+1) = a

Exemplos:

a) 6 . (+1) = 6

b) (- 27) . (+1) = -27

4- Associativa - Associando-se os fatores de maneiras diferentes, obtém-se o mesmo produto, (resultado): (a . b ) . c = a . ( b . c)

Exemplos:

a) 3 . ( 4 .7) = (3 . 4) . 7

      3 . ( 28) = ( 12) . 7. 

          84     =     84  

b) -5 . ( 4 . 2) = (-5 . 4) . 2

     -5 . ( 8 )    =   (-20) . 2

       -40         =    - 40 

5- Distributiva - Para multiplicar um número inteiro por uma soma algébrica, podemos multiplicar o número por cada uma das parcelas e adicionar, a seguir os resultados: a . ( c + d) = (a . c) + (a . d)

Exemplo:

a) 3 . ( 4 + 5 ) = ( 3 . 4) +  (3 . 5)

     3 . (9)         = ( 12) + (15)

       27            =       27