24 de abr de 2015

II-GEOMETRIA PLANA

Dando continuidade ao estudo de geometria plana. Estes conhecimentos se faz necessário principalmente no estudo de geometria espacial.


Ângulo


É a reunião de duas semirretas a partir de um ponto comum (origem), ou vértice.


Ângulo agudo - quando sua medida for maior que 0º e menor que 90º.( 0º>90°).


Ângulo reto - quando sua medida é igual a 90º.

Ângulo de meia volta - quando sua medida foi igual a 180°.

Ângulo de uma volta - quando sua medida foi igual a 360°.

Ângulo obtuso - quando sua medida for maior que 90° e menor que 180º ( 90°>180°).

Ângulos complementares - quando a soma das medidas de dois é igual 90°.

45º + 45º = 90º

Ângulos suplementares - quando a soma das medidas de dois ângulos é igual a 180º.

135º + 45º = 180º

Duas retas paralelas cortada por uma transversal

t é a reta transversal
r//s são paralelas (// símbolo que quer dizer r é paralelo s).


Ângulos  alternos internos

Os ângulos alternos internos tem a mesma medida, isto é, são iguais, e são chamados de congruentes.


Ângulos  alternos externos

Como os ângulos â e d têm as mesmas medidas, logo, são ângulos congruentes.





Ângulos colaterais internos

A soma de dois ângulos colaterais internos é igual a 180º. São chamados de ângulos suplementares.
ĉ + ĝ = 180°




Ângulos colaterais externos


A soma de dois ângulos colaterais externos é igual a 180º. São chamados de ângulos suplementares.
â + d = 180°



Ângulos correspondentes


Os ângulos â e ĉ são correspondentes, esses ângulos tem a mesma medida: são ângulos congruentes;

Os ângulos ĝ e ĥ são correspondentes, esses ângulos tem a mesma medida: são ângulos congruentes;
â ≘ ĉ

ĝ ≘ ĥ




TRIÂNGULOS



Indicação
ΔABC

Lados do triângulo são:
AB, BC e CA

Vértices do triângulo são:
A, B, C

Ângulos internos
â, b,  ĉ

A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180º.
â +  b +  ĉ = 180°

Obs: a classificação dos triângulos quanto aos lados já foi visto em uma outra postagem.


Classificação dos triângulos quanto aos ângulos

Retângulo

O triângulo retângulo é aquele possui um ângulo interno reto, ou seja um de seus ângulos mede 90º. 
Na figura o ângulo de 90º é o do vértice B, representado por â.


Acutângulo
Todos os ângulos internos são agudos, quando cada um mede menos de 90º.
â < 90° 
b < 90°
ĉ < 90°

Obtusângulo


Possui um de seus ângulos interno obtuso, isto é, for maior que 90º e menor do que 180º.
â>90º  e  â<180º


Semelhança de triângulos 


ΔEFG  Δ HIJ
Os ângulos correspondentes são congruentes.
Os lados correspondentes são proporcionais. 



Teorema: se uma reta paralela a um lado do triângulo intercepta os outros dois lados em pontos distintos, então ela determina um novo triângulo semelhante ao primeiro.
__     __ 
AB // FG











1º caso: AA
Quando dois triângulos possuem dois ângulos respectivamente congruentes são semelhantes.
 ≘ Â'



Ĉ ≘ Ĉ

Δ ABC ~Δ A'B'C'


~ símbolo de semelhança


2º caso: LAL
Quando dois triângulos possuem dois lados correspondentes proporcionais e os ângulos compreendidos entre eles congruentes são semelhantes. 


Ĉ ≘ Ĉ











3º caso: LLL
Quando dois triângulos possuem os lados correspondentes proporcionais são semelhantes.












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