II-GEOMETRIA PLANA

Dando continuidade ao estudo de geometria plana. Estes conhecimentos se faz necessário principalmente no estudo de geometria espacial.

Ângulo

É a reunião de duas semirretas a partir de um ponto comum (origem), ou vértice.

Ângulo agudo - quando sua medida for maior que 0º e menor que 90º.( 0º>90°).

Ângulo reto - quando sua medida é igual a 90º.

Ângulo de meia volta - quando sua medida foi igual a 180°.

Ângulo de uma volta - quando sua medida foi igual a 360°.

Ângulo obtuso - quando sua medida for maior que 90° e menor que 180º ( 90°>180°).

Ângulos complementares - quando a soma das medidas de dois é igual 90°.

45º + 45º = 90º

Ângulos suplementares - quando a soma das medidas de dois ângulos é igual a 180º.

135º + 45º = 180º

Duas retas paralelas cortada por uma transversal

t é a reta transversal
r//s são paralelas (// símbolo que quer dizer r é paralelo s).


Ângulos  alternos internos

Os ângulos alternos internos tem a mesma medida, isto é, são iguais, e são chamados de congruentes.

Ângulos  alternos externos

Como os ângulos â e d têm as mesmas medidas, logo, são ângulos congruentes.

Ângulos colaterais internos

A soma de dois ângulos colaterais internos é igual a 180º. São chamados de ângulos suplementares.

ĉ + ĝ = 180°

Ângulos colaterais externos

A soma de dois ângulos colaterais externos é igual a 180º. São chamados de ângulos suplementares.

â + d = 180°

Ângulos correspondentes

Os ângulos â e ĉ são correspondentes, esses ângulos tem a mesma medida: são ângulos congruentes;

Os ângulos ĝ e ĥ são correspondentes, esses ângulos tem a mesma medida: são ângulos congruentes;

â ≘ ĉ

ĝ ≘ ĥ

TRIÂNGULOS

Indicação
ΔABC

Lados do triângulo são:

AB, BC e CA

Vértices do triângulo são:

A, B, C

Ângulos internos

â, b,  ĉ

A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180º.

â +  b +  ĉ = 180°

Obs: a classificação dos triângulos quanto aos lados já foi visto em uma outra postagem.

Classificação dos triângulos quanto aos ângulos

Retângulo

O triângulo retângulo é aquele possui um ângulo interno reto, ou seja um de seus ângulos mede 90º. 

Na figura o ângulo de 90º é o do vértice B, representado por â.

Acutângulo

Todos os ângulos internos são agudos, quando cada um mede menos de 90º.

â < 90° 

b < 90°

ĉ < 90°

Obtusângulo

Possui um de seus ângulos interno obtuso, isto é, for maior que 90º e menor do que 180º.

â>90º  e  â<180º

Semelhança de triângulos 

ΔEFG ～ Δ HIJ

Os ângulos correspondentes são congruentes.
Os lados correspondentes são proporcionais. 

Teorema: se uma reta paralela a um lado do triângulo intercepta os outros dois lados em pontos distintos, então ela determina um novo triângulo semelhante ao primeiro.
__     __ 
AB // FG

1º caso: AA

Quando dois triângulos possuem dois ângulos respectivamente congruentes são semelhantes.

 ≘ Â'

Ĉ ≘ Ĉ

Δ ABC ~Δ A'B'C'

~ símbolo de semelhança

2º caso: LAL

Quando dois triângulos possuem dois lados correspondentes proporcionais e os ângulos compreendidos entre eles congruentes são semelhantes. 

Ĉ ≘ Ĉ

3º caso: LLL

Quando dois triângulos possuem os lados correspondentes proporcionais são semelhantes.

EXERCÍCIOS- EQUAÇÕES EXPONENCIAIS

Para a resolução de equações exponenciais o aluno precisa saber as propriedades das potências, além de alguns artifícios utilizados. Nos exercícios abaixo vamos utilizar três tipos de resoluções, um para cada questão:

1) Determine o conjunto verdade das equações exponenciais:
a) 2^x = 8
b) 2^x = 64
c) 25^x = 125

d) 7^x = 343

2)Determine o conjunto verdade das seguintes equações exponenciais:
a) 3^x+1 + 3^x+2=12
b) 2^{x +1} + 2^{x + 3} =20
c) 7^x-1 +7^x+1=50
d) 5^x-1 +5^x-3=26

3)Determine o conjunto verdade das seguintes equações exponenciais:
a) 2^2x – 9.2^x + 8 =0
b) 4^x – 3.2^x + 2 =0

c)25^x – 30.5^x = -125

RESPOSTAS:

1) Questão:

1º tipo de resolução:

Para resolver esse tipo de equações exponenciais as bases devem ser iguais, para isso igualamos as bases.

a)
2^x = 8        (fatorando o 8 para igualar as bases);

2^x = 2³      (agora igualando os expoentes);

x=3

s={3}  ( solução ou  conjunto verdade)

b) 

2^x = 64     (fatorando o 64 e igualando as bases); 

2^x = 2⁶       (igualando os expoentes);

x=6

s={6}

c) 

25^x = 125      (fatorando os dois membros para igualar as bases )

(5²)^x = 5³         (igualando os expoentes)

2x = 3

d) 
7^x = 343  

7^x = 7³

x= 3  

s={3} 

e)

2^x = 2^-5

x= -5

s={-5}



2) Questão

2º tipo de resolução:

Trocamos  uma variável (letra) por outra variável, que chamamos de mudança de base.
Estudem as propriedades das potências: (a^m .aⁿ = a^m+n)

a) 
3^x+1 + 3^x+2=12               (separando cada termo com potência de mesma base);

3^x . 3¹ + 3^x . 3²=12        ( troco 3^x  por uma letra qualquer. Usando  y, ficando assim: 3^x= y);

y . 3¹  +  y . 3²=12          (substituindo na equação y por 3^x );

3y + 9y = 12

12y = 12

      
                      (substituindo y=1 para obter o valor de x)



 3^x= y
3^x = 1  

3^x = 3⁰      

 x= 0                  (igualando os expoentes)

s={ 0}

b) 

2^{x +1} + 2^{x + 3} =20       (separando cada termo com potência de mesma base);

2^x . 2¹ + 2^x .2 ³ =20   ( trocando 2^x  por  y, ficando assim: 2^x= y);

y . 2¹ +  y .2 ³ =20

2y  +  8y  =  20

10y = 20

     



2^x= y 
2^x= 2

2^x=2¹

x=1

S={1}

c) 
7^x-1 +7^x+1=50

7^x . 7^-1 +7^x. 7¹=50     ( substituindo: 7^x =y )

 y . 7^-1 +y. 7¹=50

7^x =y 

7^x=7

7^x =7¹

x=1     (igualando os expoentes)

S={1}

d) 

5^x-1 +5^x-3=26   
  

5^x . 5^-1 +5^x . 5^-3=26 

   













5^x =y

5^x = 125

5^x = 5³

x = 3

S={3}


3) questão:

3º tipo de resolução:

Além, de fazer a troca de um variável  por outra variável ( mudança de base)  resolver-se a equação do do 2º grau.

a)

2^2x – 9.2^x + 8 =0

(2^x)² – 9. 2^x + 8 = 0        ( 2^x = p )

p² – 9p + 8 = 0     resolvendo a equação do 2° garu

p' = 9+7     =  8
         2


p'' = 9 - 7   = 1
           2


2^x = p    fazendo a substituição

2^x = p'
2^x = 8

2^x = 2³

x= 3

2^x = p''
2^x = 1

2^x = 2⁰

x= 0

S={0, 3}

b)

4^x – 3.2^x + 2 =0

(2^x)² – 3. 2^x + 2 = 0        ( 2^x = p )

(p)² – 3.p + 2 = 0 

    

p'= 3 + 1  = 2

         2
p'' = 3 - 1 = 1
           2

 2^x = p

2^x=p'

2^x=2

2^x = 2¹

x=1

2^x = p

2^x=p''

2^x=1

2^x = 2¹

2^x = 2⁰

x=0

S={0, 1}

c) 

25^x – 30.5^x = -125

(5^x)² – 30. 5^x + 125 = 0        ( 5^x = p )

(p)² – 30.p + 125 = 0 

p' =  30 + 20  = 25
             2

p'' = 30 - 20  = 5
            2




 5^x = p

5^x = p'

5^x = 25

5^x = 5²

x = 2 

 5^x = p
5^x = p''

5^x = 5

5^x = 5¹

x = 1

S={1, 2} 

Agora é com vocês:

1) resolva as equações exponenciais abaixo, depois confira o resultado pra ver se acertou:

a) 4^x=16

b) 25^x = 625

c) 2^x+2 + 2^x-1 = 18

d) 4^x – 12. 2^x = - 32

Respostas:

a) S={2}

b) S={2}

c) S={4}

d) S={2,3}

DISPOSITIVO PRÁTICO DE BRIOT-RUFFINI

O dispositivo prático de Briot-Ruffini é utilizado para fazer a divisão de polinômios, isto é, Para fazer a divisão de um polinômio P(x) por outro polinômio Q(x).

O dispositivo permite encontrar o quociente e o resto da divisão de um polinômio P(x) de grau n (n> 1) por um binômio x-a, sendo (n -1) o grau do quociente.

 Vejamos um exemplo prático de como fazer:

a) Efetuar a divisão (x³ +2x² – x + 3) : (x - 1)

1º passo:

Devemos determinar a raiz do binômio x - 1

x = 1, nesse caso a raiz é 1.

colocamos a raiz encontrada nesse caso 1 no lado esquerdo. como mostra o esquema abaixo, enquanto os coeficientes no lado direito:

2º passo:

 Abaixe o primeiro coeficiente e multiplique pela raiz e depois some com o segundo coeficiente, coloque o resultado abaixo, isto é ao lado do primeiro coeficiente. E assim o processo será repetido até o último coeficiente.

   1 . 1 = 1  multiplica 1 pela raiz, resultado soma com o 2.

   1 +2 = 3  colocar-se o 3 no quociente.

      3 . 1 = 3  multiplica 3 pela raiz, resultado soma com o -1.

      3 + (-1)= 2     colocar-se o 2 no quociente.

     2 . 1 =2   multiplica 2 pela raiz, resultado soma com o 3.

     2 + 3 = 5  este número é o resto da divisão.

3º passo:Organizando tudo:

Os três primeiros números são os coeficientes. O último número é o resto da divisão.

Lembrando que o quociente terá sempre um grau a menos do dividendo:

Quociente: Q(x)= x² + 3x + 2

Resto: R(x) = 5

b) Efetuar a divisão (4x³ - 2x² +3x -1) : (x +2)

 calculando a raiz ( x + 2)

x = -2 (raiz do binômio x + 2 é - 2)

Efetuando a divisão

4 . (-2)=-8

-8 + (-2) = -10

___________________

-10 . (-2) = 20

20 + 3 = 23

___________________

23 . (-2) = -46

-46 + (-1) = - 47 é o resto da divisão

Organizando:

Q(x)= 4x² - 10x + 23

R(x)= -47

c) Efetuar a divisão (x⁴ + 2x³ + x - 6) : ( x - 3)

Observe que o polinômio é do 4º grau, incompleto. Para isso precisamos arrumar, ficando assim:

x⁴ + 2x³ + 0x² + x +  46

calculando a raiz de ( x - 3)

x = 3 

Efetuando a divisão:

1 . 3 = 3

3 + 2 = 5

_____________

5 . 3 = 15

15 + 0 = 15

______________

15 . 3 = 45

45 + 1 = 46

______________

46 . 3 = 138

138 + (- 6) = 132 o resto da divisão

Q(x)= x³ + 5x² + 15x + 46

R(x)= 132

Agora é com vocês:

Utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini, determine o quociente Q(x) e o resto R(x), da divisão dos polinômios abaixo:

a) (x² - 7x  + 12) : ( x - 5 )

b) (2x³ - 4x² + x - 3) : ( x - 1 )

c) (4x³ - 3x + 4) : ( x - 4 )

RESPOSTAS:
a)
Q(x) = x -2
R(x) = 2


b)


Q(x) = 2x² - 2x  -1
R(x) = - 4


c)
Q(x)= 4x² + 16x + 61

R(x)248