EXERCÍCIOS DE DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS

1) Numa divisão, o divisor é 12, o quociente é 10 e o resto é o maior possível. Calcule o dividendo?

2) Numa divisão, o divisor é 28, o quociente é o quádruplo do divisor e o resto é o maior possível. Calcular o dividendo.

3) Numa divisão, o quociente é 48, o resto é a terça parte do quociente e é o maior possível. Calcular o dividendo.

4) Numa divisão, o quociente é 12; o divisor é o dobro do quociente e o resto é o maior possível. Calcule o dividendo.

5) Em uma divisão, o dividendo é 5043, o quociente é 14 e o resto é 185. Calcule o divisor.

 (atividade tirada do Livro: Matemática para Concurso de Hilder Góes e Ubaldo Tonar; Editora ABC, pg.46)

RESPOSTAS

Antes de começamos a responder é bom lembrar de alguns tópicos já estudados em divisão de números naturais:

Dividendo (D) [   Divisor (d) 

   Resto (r)        Quociente (Q)

Dividendo = divisor vezes quociente mais o resto.
D = d . Q + r    Obs: O maior resto é uma unidade menor que o divisor.



1) 
Dados da questão:
Divisor (d) = 12
Quociente (Q) = 10
Resto (r) = é o maior possível.
Dividendo (D)?

D = d . Q + r
D = 12 . 10 + r    [ resto é o maior possível 12 - 1 = 11)]
D = 12 . 10 + 11
D = 120 + 11
D = 131
Resposta: O dividendo é 13.


2)
Dados da questão:
Divisor (d) = 28
Quociente (Q) = 4 . 28
Resto (r) = é o maior possível
Dividendo (D) ?

D = d . Q + r
D = 28 . Q + r      ( Q = 4 . 28 = 112 )
D = 28 . 112 + r    [ resto é o maior possível 28 - 1 = 27)]
D = 28 . 112 + 27
D = 3136 + 27
D = 3163
Resposta: O dividendo é 3.163.


3)
Dados da questão:
Divisor (d) = ? ( primeiro vamos calcula o resto para depois achar o divisor)
Quociente (Q) = 48

O resto é o maior possível, isto é, uma unidade a menos do que o divisor.
Então o divisor é (d= 16 + 1 = 17 )
Dividendo (D) ?
D = d . Q + r
D = 17 . 48 + 16
D = 816 + 16
D = 832
Resposta: O dividendo é 832.


4)
Dados da questão:
Divisor (d) = 2 . Q            ( 2 . 12 = 24)
Quociente (Q) = 12
Resto (r) = 23   é o maior possível  ( d - 1 )  r = 24 - 1
Dividendo (D) ?

D = d . Q + r
D = 24 . 12 + 23
D = 288 + 23
D = 311

Resposta: O dividendo é 311.


5)
Dados da questão:
Quociente (Q) = 14
Resto (r) = 185
Dividendo (D) = 5043
Divisor (d) = ?

D = d. Q + r
5043 = d . 14 + 185
14 d = 5043 - 185
14 d = 858

Resposta: O divisor é 347.

Agora é sua vez:
Qual é o dividendo numa divisão em que o divisor é 12, o quociente é 9, e o resto é o maior possível?

II-GEOMETRIA PLANA

Dando continuidade ao estudo de geometria plana. Estes conhecimentos se faz necessário principalmente no estudo de geometria espacial.

Ângulo

É a reunião de duas semirretas a partir de um ponto comum (origem), ou vértice.

Ângulo agudo - quando sua medida for maior que 0º e menor que 90º.( 0º>90°).

Ângulo reto - quando sua medida é igual a 90º.

Ângulo de meia volta - quando sua medida foi igual a 180°.

Ângulo de uma volta - quando sua medida foi igual a 360°.

Ângulo obtuso - quando sua medida for maior que 90° e menor que 180º ( 90°>180°).

Ângulos complementares - quando a soma das medidas de dois é igual 90°.

45º + 45º = 90º

Ângulos suplementares - quando a soma das medidas de dois ângulos é igual a 180º.

135º + 45º = 180º

Duas retas paralelas cortada por uma transversal

t é a reta transversal
r//s são paralelas (// símbolo que quer dizer r é paralelo s).


Ângulos  alternos internos

Os ângulos alternos internos tem a mesma medida, isto é, são iguais, e são chamados de congruentes.

Ângulos  alternos externos

Como os ângulos â e d têm as mesmas medidas, logo, são ângulos congruentes.

Ângulos colaterais internos

A soma de dois ângulos colaterais internos é igual a 180º. São chamados de ângulos suplementares.

ĉ + ĝ = 180°

Ângulos colaterais externos

A soma de dois ângulos colaterais externos é igual a 180º. São chamados de ângulos suplementares.

â + d = 180°

Ângulos correspondentes

Os ângulos â e ĉ são correspondentes, esses ângulos tem a mesma medida: são ângulos congruentes;

Os ângulos ĝ e ĥ são correspondentes, esses ângulos tem a mesma medida: são ângulos congruentes;

â ≘ ĉ

ĝ ≘ ĥ

TRIÂNGULOS

Indicação
ΔABC

Lados do triângulo são:

AB, BC e CA

Vértices do triângulo são:

A, B, C

Ângulos internos

â, b,  ĉ

A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180º.

â +  b +  ĉ = 180°

Obs: a classificação dos triângulos quanto aos lados já foi visto em uma outra postagem.

Classificação dos triângulos quanto aos ângulos

Retângulo

O triângulo retângulo é aquele possui um ângulo interno reto, ou seja um de seus ângulos mede 90º. 

Na figura o ângulo de 90º é o do vértice B, representado por â.

Acutângulo

Todos os ângulos internos são agudos, quando cada um mede menos de 90º.

â < 90° 

b < 90°

ĉ < 90°

Obtusângulo

Possui um de seus ângulos interno obtuso, isto é, for maior que 90º e menor do que 180º.

â>90º  e  â<180º

Semelhança de triângulos 

ΔEFG ～ Δ HIJ

Os ângulos correspondentes são congruentes.
Os lados correspondentes são proporcionais. 

Teorema: se uma reta paralela a um lado do triângulo intercepta os outros dois lados em pontos distintos, então ela determina um novo triângulo semelhante ao primeiro.
__     __ 
AB // FG

1º caso: AA

Quando dois triângulos possuem dois ângulos respectivamente congruentes são semelhantes.

 ≘ Â'

Ĉ ≘ Ĉ

Δ ABC ~Δ A'B'C'

~ símbolo de semelhança

2º caso: LAL

Quando dois triângulos possuem dois lados correspondentes proporcionais e os ângulos compreendidos entre eles congruentes são semelhantes. 

Ĉ ≘ Ĉ

3º caso: LLL

Quando dois triângulos possuem os lados correspondentes proporcionais são semelhantes.

EXERCÍCIOS- EQUAÇÕES EXPONENCIAIS

Para a resolução de equações exponenciais o aluno precisa saber as propriedades das potências, além de alguns artifícios utilizados. Nos exercícios abaixo vamos utilizar três tipos de resoluções, um para cada questão:

1) Determine o conjunto verdade das equações exponenciais:
a) 2^x = 8
b) 2^x = 64
c) 25^x = 125

d) 7^x = 343

2)Determine o conjunto verdade das seguintes equações exponenciais:
a) 3^x+1 + 3^x+2=12
b) 2^{x +1} + 2^{x + 3} =20
c) 7^x-1 +7^x+1=50
d) 5^x-1 +5^x-3=26

3)Determine o conjunto verdade das seguintes equações exponenciais:
a) 2^2x – 9.2^x + 8 =0
b) 4^x – 3.2^x + 2 =0

c)25^x – 30.5^x = -125

RESPOSTAS:

1) Questão:

1º tipo de resolução:

Para resolver esse tipo de equações exponenciais as bases devem ser iguais, para isso igualamos as bases.

a)
2^x = 8        (fatorando o 8 para igualar as bases);

2^x = 2³      (agora igualando os expoentes);

x=3

s={3}  ( solução ou  conjunto verdade)

b) 

2^x = 64     (fatorando o 64 e igualando as bases); 

2^x = 2⁶       (igualando os expoentes);

x=6

s={6}

c) 

25^x = 125      (fatorando os dois membros para igualar as bases )

(5²)^x = 5³         (igualando os expoentes)

2x = 3

d) 
7^x = 343  

7^x = 7³

x= 3  

s={3} 

e)

2^x = 2^-5

x= -5

s={-5}



2) Questão

2º tipo de resolução:

Trocamos  uma variável (letra) por outra variável, que chamamos de mudança de base.
Estudem as propriedades das potências: (a^m .aⁿ = a^m+n)

a) 
3^x+1 + 3^x+2=12               (separando cada termo com potência de mesma base);

3^x . 3¹ + 3^x . 3²=12        ( troco 3^x  por uma letra qualquer. Usando  y, ficando assim: 3^x= y);

y . 3¹  +  y . 3²=12          (substituindo na equação y por 3^x );

3y + 9y = 12

12y = 12

      
                      (substituindo y=1 para obter o valor de x)



 3^x= y
3^x = 1  

3^x = 3⁰      

 x= 0                  (igualando os expoentes)

s={ 0}

b) 

2^{x +1} + 2^{x + 3} =20       (separando cada termo com potência de mesma base);

2^x . 2¹ + 2^x .2 ³ =20   ( trocando 2^x  por  y, ficando assim: 2^x= y);

y . 2¹ +  y .2 ³ =20

2y  +  8y  =  20

10y = 20

     



2^x= y 
2^x= 2

2^x=2¹

x=1

S={1}

c) 
7^x-1 +7^x+1=50

7^x . 7^-1 +7^x. 7¹=50     ( substituindo: 7^x =y )

 y . 7^-1 +y. 7¹=50

7^x =y 

7^x=7

7^x =7¹

x=1     (igualando os expoentes)

S={1}

d) 

5^x-1 +5^x-3=26   
  

5^x . 5^-1 +5^x . 5^-3=26 

   













5^x =y

5^x = 125

5^x = 5³

x = 3

S={3}


3) questão:

3º tipo de resolução:

Além, de fazer a troca de um variável  por outra variável ( mudança de base)  resolver-se a equação do do 2º grau.

a)

2^2x – 9.2^x + 8 =0

(2^x)² – 9. 2^x + 8 = 0        ( 2^x = p )

p² – 9p + 8 = 0     resolvendo a equação do 2° garu

p' = 9+7     =  8
         2


p'' = 9 - 7   = 1
           2


2^x = p    fazendo a substituição

2^x = p'
2^x = 8

2^x = 2³

x= 3

2^x = p''
2^x = 1

2^x = 2⁰

x= 0

S={0, 3}

b)

4^x – 3.2^x + 2 =0

(2^x)² – 3. 2^x + 2 = 0        ( 2^x = p )

(p)² – 3.p + 2 = 0 

    

p'= 3 + 1  = 2

         2
p'' = 3 - 1 = 1
           2

 2^x = p

2^x=p'

2^x=2

2^x = 2¹

x=1

2^x = p

2^x=p''

2^x=1

2^x = 2¹

2^x = 2⁰

x=0

S={0, 1}

c) 

25^x – 30.5^x = -125

(5^x)² – 30. 5^x + 125 = 0        ( 5^x = p )

(p)² – 30.p + 125 = 0 

p' =  30 + 20  = 25
             2

p'' = 30 - 20  = 5
            2




 5^x = p

5^x = p'

5^x = 25

5^x = 5²

x = 2 

 5^x = p
5^x = p''

5^x = 5

5^x = 5¹

x = 1

S={1, 2} 

Agora é com vocês:

1) resolva as equações exponenciais abaixo, depois confira o resultado pra ver se acertou:

a) 4^x=16

b) 25^x = 625

c) 2^x+2 + 2^x-1 = 18

d) 4^x – 12. 2^x = - 32

Respostas:

a) S={2}

b) S={2}

c) S={4}

d) S={2,3}