16 de abr de 2014

SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU


É todo sistema de equação em que aparece uma equação do segundo grau ou no qual sua resolução nos leva a uma equação do 2º grau.

Para resolver um sistema de usarmos o método da substituição.

Exemplos:
a) Um retângulo tem x e y de lado, e que o  perímetro desse  retângulo mede 32cm e sua área é 60cm2. Quais as dimensões desse retângulo?

Perímetro: x + x + y + y = 2x + 2y
Área : x . y


Montando o sistema:




Resolução:

Dividindo ambos membros da primeira equação por 2;
2x +2y =32  (:2)
x+y=16




Pegando a primeira equação e isolando y;
x+y =16
y=16-x

substituindo na segunda equação;
x.y = 60
x.(16-x)=60

16x – x2 = 60  (organizando a equação e zerando)
 – x2 +16x - 60 =0  (multiplicando toda equação por -1)

x2 - 16x + 60=0

RESOLUÇÃO:
Termos da equação
a=1; b= -16 e c= 60
Usando a fórmula de Bhaskara. Lembrando a fórmula;








As medidas desse retângulos são 6cm e 10cm.

b) Resolver o sistema:




Resolução:

































x= {-1, 3}
Vamos determinar os valores de y.Para isso é só substitui em uma das equações os valores encontrados para x.

x+y=4
3 + y = 4
y=4-3
y=1

quando x for 3, y é 1
x+y=4
-1 + y = 4
y=4+1

y=5

quando x for (-1), y é 5
S: (3, 1); (-1, 5)


c) Resolver os sistemas abaixo relacionados:






Resoluções

A 1º equação isolando x no primeiro membro.
x=1+y (substituindo na 2ª equação)
xy=30
(1+y)y=30

y+y2=30

y2+y-30=0


Substituindo o valor de y' e y'' na 1ª equação, encontramos o valor de x.
x-y=1
x-5=1
x'=1+5
x'=6

x-y=1
x-(-6)=1
x+6=1
x''=1-6
x''=-5
Resposta: (6, 5)(-5, -6)





isolando x da 1ª equação, e substituindo o resultado na 2ª equação.
x=6-y 
xy=5
(6-y)y=5

6y-y2=5

-y2+6y-5=0 (-1)

y2-6y+5=0

termos: a=1; b=-6 e c=5




Encontrando o valor de x.
x+y=6
x+5=6
x'=6-5
x'=1

x+y=6
x+1=6
x''=6-1
x''=5

Resposta:(1, 5) (5, 1)







isolando x da 1ª equação, e substituindo o resultado na 2ª equação.
x=3-y 
x2+y2=5

(3-y)2+y2=5
2y2-6y+4=0  (dividindo tudo por 2)
y2-3y+2=0

termos: a=1; b=-3 e c=2

x+y=3
x+2=3
x=3-2
x'=1

x+y=3
x+1=3
x=3-1
x''=2

Resposta: (1, 2) (2, 1)







18 comentários:

  1. veei aki deu assim o delta

    A=1
    B=16
    C=-60

    16²-4.1.(-60)
    256+240
    ^= 496

    Ali em cima fica ++++ por causa do -4 com o -60 entre parenteses


    Ou estou errado '-' ?

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    1. Olá, vejo que teve dificuldade em entender o primeiro exemplo. quando ele arrumou o problema que estava 16x - x² = 60 ele teve o cuidado de multiplicar tudo por (- 1), para não deixar x² negativo, feito isso ficou assim já arrumado x² - 16x +60 = 0, a = 1; b = -16 ; c = 60, feito isso o delta fica (- 16)² - 4 . (1) .(60)= 256 - 240 = 16

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    2. Antes estava assim: 16x - x^2 = 60
      Arrumei pela metade ficando assim: x^2 -16x = 60 , ao multiplicar por (-1), o sinal de 60 também muda eu esqueci de fazer a mudança.
      O certo seria : x^2 – 16x + 60=0 multiplique por (-1) para deixa o valor de a positivo.
      O restante do exemplo esta correto.
      Obrigado pela observação. Vou corrigi.

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  2. que que resolvesse esse problema {(x+2).(y+2)=88
    {XY=54

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    1. Quak e a resposta de
      X-y=0
      5x²-y²=16

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    2. A sua resposta esta no exercício 05. Veja. (vergniaud)

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  3. Quando da fração como faz ? Tenho dúvida nesse sistema x(ao quadrado)+Y(ao quadrado)=10. XY=3

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    1. Este comentário foi removido pelo autor.

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  4. Eu não entendi esse sistema que você mandou.
    x^2 + y^2 = 10 . xy = 3
    Ou seria assim:
    x^2 + y^2 =10
    xy = 3

    Quando tem fração, e os denominadores são diferentes, tira o m.m.c desses denominadores.
    Resolve, da mesma maneira que foi estudado na 5ª e 6ª serie adição de frações diferentes.

    depois, para resolver a equação, seja ela do 1ª grau ou do 2ª grau. despreza os denominadores e pega os numeradores para resolver a equação.

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  5. Por que no primeiro caso isolou o x e no terceiro o y? Não consigo entender isso.

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    1. Na hora de resolver um sistema de equação, você escolhe tanto uma letra como a outra para isolar. As vezes utilizamos uma levando em consideração o sinal se é positivo ou negativo para facilitar na hora de resolução.

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  6. No primeiro problema, não deveria também achar o valor de y?

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    1. Você viu que o sistema ao resolver se transformou em uma equação do 2º grau, e como raiz foram encontrados 6 e 10.
      Se você voltar para o sistema original você vai ver que um representa o valor de x e o outro o valor de y

      10 seria o lao maior desse retângulo e 6 o lado menor do retângulo.

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  7. Pode explicar a equação: (X-4)^2+(Y-5)^2=9, por favor?

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  8. No 3º exemplo depois de isolar o x e ai na substituição surge 2y2-6y+4=0 (de onde saiu esse -6y???)

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    1. Observe que temos uma potencia (3-y)^2 (sinal ^ usado para dizer que um número foi elevando )
      Antes de continuar, devemos resolver a potencia:
      (3-y) . (3-y) = 9 -3y - 3y + y^2
      9 - 6y + y^2

      Ai esta ó porque de -6y

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  9. Boa noite, quando subistitui o X por fração, ou F(1/2), como resolver a equação do segundo grau?

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    1. Rofera V. Maramor, Se o professor (a) disse que x é igual a 1/2.

      Na equação dada, você substitui o valor dado pela incógnita ( nesse caso x). E ai é só efetuar as operações indicadas.

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