SISTEMAS DE EQUAÇÃO DO 2º GRAU: EXERCÍCIOS

1) Resolver os sistemas abaixo:

2) A soma das áreas de dois quadrados é 52cm²  Sabendo que a diferença entre as medidas dos lados desses quadrados é 2 cm, calcule a área de cada quadrado.

3) A diferença entre as idades de Pedro e Joana é 5 anos, e o seu produto é 84. Qual a idade de cada um?

4) A soma de dois números é 28, e diferença entre o quadrado do primeiro e o quadrado do segundo, nessa ordem, é 56.

5) Determine dois números inteiros e positivos tais que o produto entre eles seja 140, e a diferença entre eles seja 4.


RESOLUÇÃO:
Vamos usar o método da substituição. Qualquer dúvida vá até a postagem SISTEMA DE EQUAÇÃO DO 2º GRAU, lá tem um resumo passo a passo de como se resolve um sistema do 2º grau.

1)


Como x é igual a 2y, é só substitui na segunda equação.

x=2y

x + y²   = 35

2y + y²   = 35   organizando temos uma equação do 2° grau

y²  + 2y – 35 = 0

 
a= 1; b= 2 ;  c= -35

Encontrando o valor de x.
x= 2y
x= 2.5
x=10

x=2y
x=2 .(-7)
x= -14
Solução: (10,5); (-14, -7)






x = 9 - y  ( substituindo x na 2ª equação)

xy = 14

(9-y).y =14

9y – y² = 14

– y² + 9 – 14 = 0    (multiplicando por -1 ).

 y² - 9 + 14 = 0 

a= 1; b= -9; c= 14

Encontrando o valor de x.

x = 9 - y
x = 9 - 7
x = 2

x = 9 - y
x = 9 - 2
x = 7

Solução: (2, 7); (7, 2)






x = 5 - 2y   ( substituindo na 2ª equação)

y²  = 7 – 3x

y²  = 7 – 3.(5 – 2y)

y²  = 7 – 15 + 6y  ( organizando)

y²  - 6y + 8 = 0 

a= 1; b = - 6; c = 8

Encontrando o valor de x.

x = 5 - 2y
x = 5 - 2.4
x= -3

x = 5 - 2y
x = 5 - 2.2
x=1

Solução: (-3, 4); ( 1, 2)







x = -17 + 2y     ( substituindo na 2ª equação)

y²  + 5x= -29

y²  + 5( - 17 + 2y) = -29

y²  - 85 + 10y = -29

y²  + 10y - 85 + 29  = 0

y²  + 10y - 56  = 0

a=1; b= 10; c= -56

x = -17 + 2y   ( encontrando o valor de x. )
x = -17 + 2.4
x = -17 + 8
x= -9

x = -17 + 2y
x = -17 + 2 . (-14)
x = -17 - 28
x= - 45

Solução: (-9, 4); ( -45, -14)


2) A soma das áreas de dois quadrados é 52cm²  Sabendo que a diferença entre as medidas dos lados desses quadrados é 2 cm, calcule a área de cada quadrado.

Dados:
Vamos chamar os quadrados de x e y.

       x . x = x ²                y . y =  y²
Para calcular a área de um quadrado multiplicamos a base vezes altura.
Montando o sistema:

isolando x na 2ª equação e substituindo na 1ª

x = 2 + y

 y²  + y²  = 52

(2+y)²  + y²  = 52

4 + 4y + y²  + y²  = 52

2 y² + 4y + 4  - 52 = 0

2 y² + 4y - 48 = 0  Simplificando por 2

 y² + 2y - 24 = 0  

a= 1; b= 4; c = -24

Encontrando o valor de x.

x = 2 + y

x = 2 + 4

x= 6

x = 2 + y

x = 2 + ( - 6)

x = 2 - 6

x = - 4

(6, 4)

Para a questão só interessa o números positivos.
O quadrado maior tem área igual a 36 cm²
O quadrado menor tem área igual a 16 cm² 


3) A diferença entre as idades de Pedro e Joana é 5 anos, e o seu produto é 84. Qual a idade de cada um?

Solução:

x a idade de Pedro
y a idade de Joana

x = 5 + y

xy = 84

(5 +y) y = 84

5y + y² = 84

 y² + 5y - 84= 0

a= 1; b=5; c= - 84

x = 5 + y    ( encontrando o valor de x)

x = 5 + 7

x = 12

Observação: Os números negativos não serve para esse tipo de pergunta.
Solução: Pedro têm 12 anos e Joana têm 7 anos



4) A soma de dois números é 28, e diferença entre o quadrado do primeiro e o quadrado do segundo, nessa ordem, é 56.

Montando o sistema:

x = 28 - y         ( isolando x)

x² – y² = 56      ( substituindo na 2ª equação)

(28 - y)² – y² = 56

784 – 56y + y² –y² = 56    ( cancelando + y² –y²)

-56y = 56 – 784

-56y = - 728

    y = -728    
          - 56

y = 13

Encontrando o valor de x.

x = 28 - y  
x = 28 - 13
x= 15

Solução: ( 15, 13)


5) Determine dois números inteiros e positivos tais que o produto entre eles seja 140, e a diferença entre eles seja 4.

Montando o sistema:


isolando x na 2ª equação e substituindo na 1ª equação
x= 4 + y

xy = 140

(4 + y).y = 140

4y + y² = 140

y² + 4y – 140 = 0 

a=1; b= 4; c= -140

x= 4 + y

x= 4 + 10

x= 14

Solução ( 14, 10)