NÚMEROS COMPLEXOS

Um número complexo é um número da forma z=x + bi, sendo que x e y pertence aos reais  e

z = a + bi

Imaginário puro quando a = 0 e b ≠ 0

z= 0 + 2i ou z = 2i

Real quando b=0

z=5 +0i ou z = 5

Potências com a parte ou unidade imaginária

i⁰ = 1

i¹ = i

i² = -1

i³=i² . i = (-1) . (i) = - i

i⁴ = i² .i² = (-1) . (-1) = 1

i⁵ = i² .i²  . i = (-1) . (-1)  . i = i

i⁶ = i² .i²  . i² = (-1) . (-1)  . (-1) = -1

i⁷ = i² .i²  . i² . i = (-1) . (-1)  . (-1) . i = -i

i⁸ = i² .i²  . i² . i² = (-1) . (-1)  . (-1) . (-1) = 1

Observe que de 4 em 4 o resultado esta se repetindo

Sendo n ∈ N

i⁴ⁿ = (i⁴)ⁿ = 1ⁿ = 1

i⁴ⁿ⁺¹ = i⁴ⁿ . i = 1 . i = i

i⁴ⁿ⁺² = i⁴ⁿ . i² = 1 . (-1) = -1

i⁴ⁿ⁺³ = i⁴ⁿ . i³ = 1 . (-i) = -i

Observação: Ao dividir o expoente da potência por 4 o resto dessa divisão é o novo expoente da potência i.

Exemplo:

a) i⁴²  =  42 : 4 = 10 e resto 2, sendo, i²   ou seja o i é elevado ao quadrado.

b)   i¹⁹  = 19 : 4 = 4  e resto 3, sendo assim i³ 

c)   i¹⁶⁰¹   = 1601 = 400 e resto e resto 1, logo i¹          

Vamos calcular:

i³⁶  + i¹⁰²        Antes de resolver a adição vamos simplificar os expoentes dividindo por 4 

36 :4 = 9 resto 0

102 : 4 = 25 resto 2

 i⁰  + i²       =  1 + ( -1)    =  1 - 1 = 0

Operações com números complexos

Adição, subtração 

Sejam os complexos z=a + bi      e    w= c + di

Obtém-se a soma adicionando as partes reais entre si e as partes imaginárias entre si:

z+w = (a +c) + ( b + d)i

Exemplo:

a) (2 + 3i) + ( 5 + 6i)

(2 + 5) + (3 + 6)i

         7 + 9i

b) (2 + 3i) + ( 1 - 4i)

( 2 + 1) + ( 3 - 4)i

         3  + ( -1)i

          3 - i

c) (3 - 2i)  - ( 1 +3i)

       3 -2i  - 1 -3i

(3-1) + ( -2 -3)

2 - ( 5)i

  2 - 5i

Multiplicação

Sejam os complexos z=a + bi      e    w= c + di

Obtém-se o produto aplicando a distributiva:

z.w = (a +bi) . ( c + di)

Exemplo:

a)  (2 + 3i) . ( 2 - 3i) = 

(2.2) + (-3i  . 2) + (3i .2) + (-3i . 3i)

4  - 6i  + 6i - 9i²  

4 - 9 . ( -1 )

4+9

13

b) (2 + 3i) . ( 1 - 4i) =

(2.1) + (-4i .2) + ( 3i .1) + ( -4i . 3i)

2 - 8i + 3i -  12²  +

2 - 5i - 12. ( - 1)

2 - 5i + 12

14 - 5i

Divisão

Para obter o quociente basta multiplicar o numerador pelo conjugado do denominador e o denominador pelo  seu conjugado.

Exemplo:

a)

b)