REGRA DE TRÊS SIMPLES / COMPOSTA

As Regras de três podem serem Simples ou Composta
Se  o problema envolve apenas duas grandezas, será uma regra de três simples.

Exemplo₁: Um livro tem 100 páginas, sendo que em cada página há 40 linhas. Quantas páginas terá este livro, se for impresso com 20 linhas por páginas?

Este exemplo envolve apenas duas grandezas: PÁGINAS e LINHAS.

A regra de três simples pode ser: DIRETA OU INVERSA

A regra de três simples é direta, quando as duas grandezas que nela aparecem são diretamente proporcionais, isto é, aumentando-se uma grandeza, a outra também aumentará ou diminuindo-se uma grandeza, a outra também diminuirá.

Exemplo₂: Um torneiro faz 12 peças em 3 horas. Quantas horas gastariam para fazer 36 peças iguais às anteriores?

Uma regra de três simples é inversa, quando as duas grandezas envolvidas forem inversamente proporcionais, ou seja, se aumentarmos uma grandeza, a outra diminuirá e, se diminuirmos uma grandeza, a outra aumentará.

Exemplo₃: Uma casa é construída em 120 dias por 30 operários. Em quantos dias 40 operários, com igual capacidade de trabalho, construirão a mesma casa?

COMO RESOLVER REGRA DE TRÊS SIMPLES DIRETA

Exemplo₁: Pelo transporte de 1 300kg, paga-se um frete de R$ 286,00. Quanto se pagará pelo transporte de R$ 1 700kg?

MASSA(kg)	DINHEIRO(R$)
1 300	286,00
1 700	X

Exemplo₂:Uma máquina produz 100 peças em 15 minutos. Quantas peças iguais às anteriores, produzirá em uma hora?

PEÇAS(unidade)	TEMPO(minutos)
100	15minutos
X	1hora

COMO RESOLVER REGRA DE TRÊS SIMPLES INVERSA

Exemplo₁: Um serviço é feito em 5 dias, empregando-se 12 máquinas. Se fossem 10 máquinas, de igual capacidade, quantos dias seriam gastos para executar o mesmo serviço?

MÁQUINAS (unid.)                 TEMPO (dias)

       12                                               5

       10                                               X

Aumentando-se a quantidade de máquinas, gastaremos menos tempo ou menos dias para realizarmos o mesmo serviço.

Diminuindo-se a quantidade de máquinas, gastaremos mais tempo ou mais dias para realizarmos o serviço.

ARMANDO a proporção: inverter-se a razão que não tem a incógnita.

Exemplo₂: Uma casa é construída em 120 dias por 30 operários. Em quantos dias 40 operários, com igual capacidade de trabalho, construirão a mesma casa?

OPERÁRIOS                                TEMPO(dias)

30                                                 120

40                                                  X              

REGRA DE TRÊS COMPOSTA

A regra de três composta, envolve três ou mais grandezas e pode ser: DIRETA, INVERSA e DIRETA E INVERSA (ao mesmo tempo).

REGRA DE TRÊS COMPOSTA DIRETA

Exemplo₁: São necessários 2 operários para fazerem, em 5 dias, 320 peças de um certo produto. Quantas peças desse mesmo produto farão 5 operários, em 8 dias?

OPERÁRIOS	DIAS	PEÇAS
2	5	320
5	8	X
A	B	C

OPERÁRIOS               TEMPO(dias)          PEÇAS

       2                                  5                           320

       5                                  8                            x

Armando:

Exemplo₂: Uma loja dispõe de 20 balconistas que trabalham 8 horas por dia e recebem juntos R$ 5 000,00 por mês. Quanto a loja gastará, por mês se tiver 30 balconista, trabalhando 5 horas por dia?

BALCONISTAS                       TEMPO(dias)                 DINHEIRO(R$)

          20                                            8                                 5 000,00

          30                                            5                                     x

REGRA DE TRÊS COMPOSTA INVERSA

Na regra de três composta inversa, apenas, uma grandeza diretamente proporcional: aquela da incógnita X. As outras são inversamente proporcionais.

Exemplo₁: Trabalhando 6 horas por dia, 10 operários fazem uma casa em 8 dias. Quantos operários, de mesma capacidade de trabalho, serão necessários para se fazer uma casa igual à anterior, trabalhando 2 horas por dia, durante 12 dias?

HORAS	DIAS	OPERÁRIOS
6	8	10
2	12	X
A	B	C

HORAS                  DIAS                   OPERÁRIOS

     6                          8                              10

     2                         12                              x

Comparando a primeira coluna com a coluna em que se encontra a incógnita.

horas                operários

6                          10 

2 (-)                     x   (+ )    (o números de operários  aumentar)

dias                   operários

8 (-)                       10

12                           x    (+)  ( o números de operários diminui )   

Observação: Os elementos das razões devem ser invertidos.

Exemplo₂: Numa fábrica de calçados, trabalham 16 operários que produzem, em 8 horas de serviço diário, 240 pares de calçados. Quantos operários são necessários para produzir 600 pares de calçados por dia, com 10 horas de trabalho diário?

OPERÁRIOS                      HORAS                       CALÇADOS

       16                                    8                                   240

        X                                    10                                  600

Comparando a coluna da incógnita com cada uma das demais colunas.

Operários                               Horas

16                                          8 (-)

x (+)                                       10 (aumentando o números de horas diminui o números de operários).

Operários                             Calçados

16                                          240 (-)

x (+)                                       600 (aumentando o números de calçados,  o números de operários aumentaras).

Nesse caso só a coluna das horas vai ser invertida.

PROPORÇÃO

A igualdade entre duas razões é chamada de PROPORÇÃO. Vejamos abaixo o exemplo:

Os números 2, 3, 4, e 6 nessa ordem, formam uma proporção.

Os números que compõem uma proporção são chamados de: termos da proporção.

Numa proporção, o primeiro e o quarto termos são chamados de extremos. Enquanto que o segundo e o terceiro são chamados de meios.

No exemplo anterior {2 e 6} são os extremos, {3 e 4} são os meios.

 Para formar uma proporção é preciso que as razões sejam iguais.

PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES

Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.

PROPORÇÃO CONTINUADA é  aquela cujos meios são iguais:

TERCEIRA PROPORCIONAL

Numa proporção contínua, o quarto termo é chamado de terceira proporcional, isto é, como os meios são iguais, o quarto termo no exemplo1 é o número 8, e no exemplo2  é o número 18. São chamados de terceira proporcional.

QUARTA PROPORCIONAL

A  quarta proporcional é o nome dado ao quarto termo de uma proporção não contínua. Vejamos o exemplo abaixo:

Para encontrar a quarta proporcional, multiplica-se os extremos entre si, assim como os meios, forme o exemplo anteriormente.   

RECORDANDO
Terceira proporcional	Quarta proporcional
A proporção é contínua. Os meios são iguais. O quarto termo é a incógnita.	A proporção não é contínua. Os meios são diferentes. O quarto termo é a incógnita.

NÚMEROS PROPORCIONAIS

Números diretamente proporcionais

Os números racionais x, y e z são diretamente proporcionais aos números racionais a, b e c quando se tem,

Exemplo₁: verificar se os números 4, 10 e 30 são diretamente proporcionais aos números 8, 20 e 60.

Podemos dizer que são os números 4, 10 e 30 são diretamente proporcionais aos números 8, 20 e 60.

Exemplo₂: Verificar se os números 7, 10 e 13 são diretamente proporcionais aos números 21, 30 e 52.

podemos dizer que os números 7, 10 e 13 não são diretamente proporcionais aos números 21, 30 e 52.

Exemplo₃: verificar  estas duas sucessões:

O coeficiente de proporcionalidade não é comum logo não são diretamente proporcionais.

Observação: Duas sucessões de números são diretamente proporcionais quando as razões entre os elementos correspondentes são iguais.

Números inversamente proporcionais

Os números racionais x , y e z são inversamente proporcionais aos números racionais a, b e c quando se tem     x . a = y . b = z . c

Exemplo₁:

VEÍCULOS	VELOCIDADE MÉDIA	TEMPO GASTO
Moto	80 km/h	6h
Ônibus	60 km/h	8h
Caminhão	40 km/h	12h

Nesse caso, temos duas sucessões:

A sucessão das velocidades: 80      60       40

A sucessão dos tempos:              6           8            12    

Devemos dividir cada elemento da primeira sucessão pelo inverso da segunda; se os resultados forem iguais, diz-se que elas são inversamente proporcionais.

lembre-se que quando trabalhamos com divisão de frações é só conservar a primeira fração e inverter a segunda trocando o sinal de divisão pelo sinal de multiplicação:

Observação: duas sucessões de números serão inversamente proporcionais quando os produtos dos elementos correspondentes forem iguais.

Exemplo₂:  Verificar se as sucessões são inversamente proporcionais:

2.15 = 30

5.6 = 30

10.3 = 30 

Sim, são diretamente proporcionais.

GRANDEZAS

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Os números racionais x, y e z são diretamente proporcionais aos números racionais a, b e c quando se tem,

Veja o exemplo:

PRIMEIRA GRANDEZA                                               SEGUNDA GRANDEZA

Quantidade de pães                                                          Quantia  em dinheiro

            1 pão                                                                            R$ 0,10

            2 pães                                                                           R$ 0,20

            3 pães                                                                           R$ 0,30

            4 pães                                                                           R$ 0,40

Você percebeu que, ao aumentarmos a primeira grandeza, a segunda aumentou na mesma razão, isto é,

MAIS PÃES      -     MAIS DINHEIRO

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando:

AUMENTANDO-SE A PRIMEIRA GRANDEZA, A SEGUNDA TAMBÉM AUMENTARÁ NA MESMA RAZÃO.

OU

 DIMINUINDO-SE A PRIMEIRA GRANDEZA, A SEGUNDA TAMBÉM DIMINUIRÁ NA MESMA RAZÃO.

Exemplo

TEMPO hora	DISTÂNCIA PERCORRIDA
1	60
2	120
3	180
4	240

GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando:

AUMENTANDO-SE A PRIMEIRA GRANDEZA, A SEGUNDA DIMINUI NA MESMA RAZÃO:

OU

DIMINUINDO-SE A PRIMEIRA GRANDEZA, A SEGUNDA AUMENTA NA MESMA RAZÃO.

Exemplo₁: Uma bolinha deve se deslocar de um ponto A até um ponto B. veja a tabela

Velocidade(m/s)	Tempo(s)
20	60
40	30
60	20
80	15

20 . 60 =120        

40 . 30 = 120          

60 . 20 = 120           

80 . 15 = 120

Os números racionais x, y e z são inversamente proporcionais aos números racionais a, b e c se tem x .a = y . b = z . c

Exemplo₂: verificar se os números 120, 30 e 16 são inversamente proporcionais aos números 2, 8 e 15.

120 . 2 = 240            

30 . 8 = 240               

16 .15 = 240

Como 120.2 = 30.8 = 16.15 = 240, os números 120, 30 e 16 são inversamente proporcionais aos números 2, 8 e 15.

Exemplo₃: A professora tem 44 livros para distribuir igualmente entre seus alunos. Veja como ficou na tabela.

Nº de alunos escolhidos	Nº de livros distribuídos
2	24
4	12
6	8