O primeiro conjunto numérico estudado no Ensino Fundamental maior é o conjunto dos números naturais.
O conjunto
dos números naturais surgiu da necessidade que o homem primitivo tinha de
contar. Prática necessária para a época. Como contar quantos animais uma
determinada pessoa tinha. E assim por diante.
O conjunto dos números naturais é
representado pela letra N maiúscula, e é composto por dez símbolos que são: IN = { 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }.
Quando se exclui o zero do conjunto IN, temos
o conjunto dos números naturais não-nulos,
indicado por IN*.
IN*={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, . . . }
Apesar de só ter apenas dez
símbolos o conjunto dos naturais é
infinito. Isto é, com apenas estes dez símbolos pode-se escrever qualquer
número, por maior que seja. Estes símbolos são chamados de algarismos indo-arábico.
Este sistema foi pelos hindus e aperfeiçoados e divulgados pelos árabes.
SUCESSOR E
ANTECESSOR
SUCESSOR – Todo
número natural tem um sucessor. Por exemplo, o sucessor de 0 é 1, o de 1 é 2, o
de 2 é 3, o de 3 é 4, e assim por diante.
COMO
ENCONTRAR O SUCESSOR DE UM NÚMERO NATURAL
Para encontrar o sucessor de um número
natural qualquer é só adicionar
(somar) uma unidade a esse número. Veja os exemplos:
Exemplo: Qual o sucessor dos seguintes números
naturais, a seguir?
a) 345 → O sucessor é →
345 + 1 = 346
b) 752 → O
sucessor é→ 752 +1 = 753
c) 999 →O sucessor é → 999 +
1 = 1000.
ANTECESSOR –
Todo número
natural possui um antecessor com exceção do 0 (zero). Por exemplo, o antecessor
de 5 é 4, o de 4 é 3, o de 3 é 2, o de 2
é 1, o de 1 é 0. E 0 não tem antecessor no conjunto dos números naturais.
COMO
ENCONTRAR O ANTECESSOR DE UM NÚMERO NATURAL
Nesse caso é só subtrair (diminuir) uma
unidade desse número para achar seu antecessor. Qual o antecessor de 784?
Resposta: 784 – 1 = 783. Qual
o antecessor de 1000? Resposta: 1000 – 1 = 999.
COMO LER E
ESCREVER UM NÚMERO NATURAL
CLASSE DOS BILHÕES
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CLASSE DOS MILHÕES
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CLASSE DOS
MILHARES
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CLASSE DAS
UNIDADES SIMPLES
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Dezenas
de
bilhão
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Unidades
de
bilhão
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Centenas
de
milhão
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Dezenas
De
milhão
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Unidades
de
milhão
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Centenas
de
milhar
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Dezenas
De
milhar
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Unidades
de
milhar
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centenas
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dezenas
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Unidades
simples
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0
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0
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0
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0
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0
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1= uma unidade ou simplesmente ( um).
10 = dez unidades ou ( dez ).
100 = cem unidades ou ( cem)
1 000= mil
unidades ou ( mil).
10 000 = dez mil unidades ou ( dez mil).
100 000 = cem mil unidades ou ( cem mil).
1000 000 = um milhão de unidades ou ( um
milhão).
10 000 000 = dez milhões de unidades ou ( dez
milhões).
100 000 000 = cem milhões de unidades ou (
cem milhões).
1 000 000 000 = um bilhão de unidades ou ( um
bilhão).
10 000 000 000 = dez bilhões de unidades ou
simplesmente ( dez bilhões).
Exemplo: 7 251 364
541 → sete bilhões, duzentos e cinquenta e um
milhões, trezentos e sessenta e quatro mil, quinhentos e quarenta e um.
OPERAÇÕES
COM NÚMEROS NATURAIS
Existem
quatro operações básicas com os números naturais, que são: ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO, MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO. Vejamos cada uma delas.
ADIÇÃO
Ideias
relacionadas à ADIÇÃO
a) juntar duas ou mais
quantidades.
Exemplo:
Ana tem uma coleção de boneca, com 15 bonecas e sua amiga Maria tem uma coleção
de 20 bonecas. Juntando a coleção de Ana e de Maria, qual o total de bonecas?
Resposta: 15 + 20 = 35 ou seja,
15 → parcela
+ 20 → parcela
35 → Soma
ou total ( resultado da adição).
As duas amigas
juntas têm 35 bonecas.
b) acrescentar uma dada quantidade a outra.
Exemplo: Um
som á vista custa 1 200 reais. Comprando o mesmo som a prazo tem um acréscimo
de 452 reais. Qual o preço do som quando comprado a prazo?
Resposta:
1 200 + 452 = 1 652 ou
seja
1200 → parcela
+ 452
→ parcela
1652 → soma
ou total( resultado da operação).
O preço do
som a prazo é de 1652 reais.
Os temos da
adição são parcelas e soma ou total.
373 parcelas
+ 208
581 total ou soma
PROPRIEDADES DA ADIÇÃO COM NÚMEROS NATURAIS
Existem três
propriedades da adição que são: COMUTATIVA, ASSOCIATIVA e ELEMENTO NEUTRO. Vejamos
cada uma delas:
1.Propriedade comutativa da adição
Em uma
adição de dois números naturais quaisquer, a ordem das parcelas não altera o
resultado (soma). Seja a e b dois números naturais, então a + b = b + a.
Exemplo:
8 + 7 = 7 + 8 20 + 81 = 81 + 20
15 = 15 101 = 101
2.Propriedade associativa da adição
Em uma
adição de três ou mais números naturais quaisquer, pode se associar as parcelas
de modos diferentes. Sendo a, b e c números naturais
quaisquer, então
(a
+ b) + c = a + ( b + c).
Exemplo1:
(17 + 21) +
36 = 17 + (21 + 36)
(38) +
36 = 17 + (57)
38 + 36 = 17 + 57
74 = 74
Exemplo2:
(15 + 20) +
(7 + 12) + 8 = 15 + ( 20 + 7) + (12 + 8)
(35) + (19)
+ 8 = 15 + ( 27) + (20)
35 + (19 +
8) = (15 + 27) + 20
35 +
(27) =
(42) + 20
62 = 62
3.Elemento neutro da adição
A adição (soma)
de qualquer número natural com zero, vai ser sempre esse número, já quer o zero
não altera o resultado por se trata do elemento neutro da adição.
Exemplos:
46 + 0 = 46
0 + 563 = 563
SUBTRAÇÃO
A subtração
é a operação inversa da adição: 8 – 3 = 5 ⇔ 3 + 5 = 8
Ideias
relacionadas à SUBTRAÇÃO
Tirar
uma quantidade de outra quantidade.
Paulo tem
uma poupança de 25 670 reais, e resolveu tirar da poupança 2 500 reais. Quanto
ainda ficou na poupança de Paulo?
25 670
→ minuendo
- 2 500 → subtraendo
23 170
→ diferença ou
resto ( resultado da operação).
Resposta: Na
poupança ficaram ainda 23 170 reais.
Entre
duas quantidades, queremos saber quanto uma tem a mais do que a outra.
Mauro tem 76
anos e seu irmão 53 anos. Quantos anos têm a mais que seu irmão?
76 – 53 = 23
Resposta:
Mauro tem 23 anos a mais do que seu irmão.
Entre duas quantidades,
quando queremos saber quanto falta a uma delas para atingir a outra.
Exemplo: Uma fabrica
produzi mensalmente 2 500 de uma determinada peça. Nesse mês ela produziu 1100
peças. Quantas peças ainda faltam para serem fabricadas?
2 500 – 1
100 = 1 400
2 500
→ minuendo
- 1 100 →subtraendo
1 400 →resto ou diferença.
Resposta:
ainda faltam 1 400 peças para serem fabricadas.
MULTIPLICAÇÃO
A
multiplicação é um processo igual à adição, porém, é um método mais rápido
quando se quer adicionar (somar) várias parcelas iguais.
Veja os exemplos:
Usando a
adição → 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20
O mesmo cálculo feito acima agora usando a multiplicação:
4 → fator
x5 → fator
20 → produto
Quando são poucas as parcelas de uma multiplicação é fácil fazer usando a adição como no caso acima, porém, quando as parcelas são muito grande faz-se necessário o uso da multiplicação
Exemplo: Uma cidade tem 27 670 domicílios. Suponho que cada domicílio tenha, em média, 4 moradores, qual é a população aproximada dessa cidade?
27670
x 4
______
110680
Resposta: 110.680 habitantes
PROPRIEDADES
DA MULTIPLICALÇAO DE NÚMEROS NATURAIS
São quatro
as propriedades da multiplicação: COMUTATIVA, ELEMENTO NEUTRO, ASSOCIATIVA e DISTRIBUITIVA.
1.
Propriedade Comutativa
A ordem dos
fatores, na multiplicação de números naturais quaisquer, não altera o produto, ou seja, a. b = b. a
4 x 5 = 5 x 4
2. Elemento
neutro
O elemento
neutro da multiplicação é o número 1. Qualquer número natural multiplicado por
1 é sempre o próprio número, ou seja, a . 1 = a
Exemplo: 37 x 1 = 37
3.
Propriedade Associativa
Em uma
multiplicação de três ou mais números naturais quaisquer, pode-se associar os
fatores de modos diferentes, sem que o produto seja alterado. (a . b ) . c = a
. ( b . c )
Exemplo:
8 x ( 2 x 5)
= (8 x 2) x 5
8 x ( 10
) =
( 16 ) x 5
8 x 10
= 16 x 5
80 = 80
4.
Propriedade distributiva
Para
multiplicar um número natural por uma soma de duas ou mais parcelas,
multiplicas-se o número por cada uma das parcelas, em seguida adiciona-se os
resultados: a.(b+c)=(a .b)+(a . c)
Exemplo: 3 . ( 4 + 7 ) =
( 3 x 4 )
+ ( 3 x 7 )
( 12 ) + ( 21 )
12 + 21
33
Observação: quando um número é multiplicado por zero, tem como resultado
zero(0). Porque o zero como fator anula o produto.
Exemplo1:
34 x 0 = 0
Exemplo2:
0 x 51 = 0
DIVISÃO
Operação que
expressa o número de vezes que um número, (divisor) está contido em outro
número (dividendo). A divisão é o processo contrário da multiplicação.
DIVIDENDO 80 [ 4 DIVISOR
RESTO
0 20 QUOCIENTE
Uma das
idéias da divisão é dividir certa quantia, em parte iguais.
Exemplo: Maria tem 42 figurinhas para destribuir com 7 amigas. Qual o número de figurinhas que cada uma receberá?
42 [7
0 6
Resposta: cada uma irá receber 6 figurinhas cada uma.
A divisão poderar ser exata e não exata.
É exata quando na divisão o resto for igual a zero.
Ex: 100 [5 __
(0) 20
A divisão é considerada não exata quando na divisão o resto for diferente de zero.
Ex: 102 [ 5__
(2) 20
Observação: Não existe divisão por zero.
Ex: 7 [0__
DIVIDENDO ( D) = DIVISOR (d ) X QUOCIENTE (Q) + RESTO (r )
D = d . Q + r
30 = 5 . 6 + 0
D = d . Q + r
102 = 5 . 20 + 2
