EQUAÇÕES DO 1º GRAU

Equação - é qualquer sentença matemática aberta expressa por uma igualdade. 

Em uma equação existe uma ou mais letras que representam números desconhecidos. Estas letras são chamadas de INCÓGNITA.

Exemplos de equações:

■ 2x + 1 = 19 → x é a incógnita.                                       ■ y + 3y = 100   → y é a incógnita.

■ x² – 25 = 0  → x é a incógnita                                        ■ y2 – 6y  + 9 =0 →y é a incógnita.

 

IGUALDADE

As sentenças matemáticas que representam igualdade são expressas pelo sinal = (igual). De modo geral podemos representar uma igualdade por a = b, onde a e b são nomes diferentes para o mesmo número.

Ex₁: 6 + 4 = 10                                                                                        Ex₂:  2³ – 5 = 3

■  A expressão matemática situada à esquerda do símbolo = é denominada 1º membro da igualdade.

■ A expressão matemática situada à direita do símbolo = é denominada 2º membro da igualdade.

Exemplo:

PROPRIEDADES DA IGUALDADE

Propriedade reflexiva

Propriedade simétrica

Propriedade transitiva

COMO RESOLVER EQUAÇÕES DO 1º GRAU

Princípios de equivalência

OBSERVAÇÂO: Serão muito úteis na resolução de equações.

1º) Princípio aditivo da igualdade:

Adicionando um mesmo número aos dois membros de uma igualdade, obtemos uma nova igualdade, ou seja:

Exemplos:
a) 5 + 3 = 8   

( 5 + 3) + 2  =  (8) + 2    →  adicionamos +2 aos dois membros.

b) 5 + 3 = 8

(5 + 3) -2 = (8) – 2     →  adicionamos -2 aos dois membros.

Ao  adicionamos ou subtrairmos um mesmo número dos dois lados de uma igualdade, obteremos uma nova igualdade. Veja o exemplo:

x + 3 = 8
x +3 – 3 = 8 – 3
x = 5

2º) Princípio multiplicativo da igualdade:

Ao  multiplicarmos ou dividirmos por um mesmo número diferente de zero, os dois lados de uma igualdade,  obtermos uma nova igualdade.

a = b 

a . c = b . c, com c ≠ 0

Exemplos:   

a) 5 + 3 = 8

(5+3) . 2  = (8) . 2  → multiplicamos os dois membros por 2.

b) 7+2 = 9
    (7+2) .4 = (9) . 4

c) 2x = 12

2.(2x) = 2. 12

4x = 24 

4       4

x=6

d) 2x = 12

2x  =  12
2         2 

x = 6

CONJUNTO UNIVERSO E CONJUNTO SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO

Dentre os elementos do conjunto A={ 0, 1, 2, 3, 4, 5}, qual deles podemos colocar no lugar da letra x para tornar verdadeira a equação x + 2 = 6?

Equação dada: x + 2 = 6

Conjunto universo: U = { 1, 2, 3, 4, 5}

Conjunto solução: S = {4}

Solução ou raiz da equação: o número 4.

                                                            EQUAÇÕES EQUIVALENTES

Em um mesmo conjunto universo, duas ou mais equações que apresentam o mesmo conjunto solução (não – vazio) são denominadas equações equivalentes.

Exemplo:

x + 3 = 8  ---------------------------→equação dada para a qual S = {5}

x + 3 + 1 = 8 + 1  ------------------→equação dada para a qual S = {5}

x + 4 = 9  ---------------------------→equação dada para a qual S = {5}

                                      

                                          EQUAÇÃO DE 1º GRAU COM UMA INCÓGNITA

Resolver uma equação do 1º grau com uma incógnita, dentro de um conjunto universo, significa determinar a solução ou raiz dessa equação, caso exista. Veja o exemplos:

OBSERVAÇÃO:

Para resolver uma equação de 1º grau, devemos proceder da seguinte maneira:

1º) Elimina-se os denominadores, se houverem;

2º)Efetua-se as multiplicações indicadas;

3º)Transpõe-se para o primeiro membro, todos os termos que contiverem a incógnita, que estiverem no segundo membro;

4º)Transpõe-se para o segundo membro, todos os termos independentes que estiverem no primeiro membro;

5º)Reduz-se os termos semelhantes;

6º)Divide-se toda a equação pelo coeficiente da incógnita.

Exemplos:Resolver as equações abaixo: 

 

 

 

 

 

EQUAÇÃO DO 1º GRAU COM DUAS INCÓGNITAS

Toda equação que pode ser reduzida a equivalência da forma ax + by = c, com a ≠0 e b ≠0, denomina-se equação do 1º grau com duas incógnitas, x e y .

Exemplos
a)2x + 5y = 16                                                          b) 3x – 7y = -12

Uma equação de 1º grau com duas incógnitas tem infinitas soluções. Cada solução da equação é um par ordenado de números.

Exemplos:
a)2x + 5y = 16    temos como solução: S={3 , 2} ou {- 2 , 4}  entre outras.

b) 3x – 7y = -12 temos como solução: S= {10, 6}  ou {3, 3} entre outras.

SISTEMAS DE DUAS EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM DUAS INCÓGNITAS

Os exemplos dados abaixo são chamados de sistemas de equação de 1º grau. Existem três maneiras de resolver um sistema de 1º grau. Pelo método da substituição, método da comparação e método da adição.

1º) MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO

1º passo: vamos determinar o valor de x, na primeira equação.

x+y = 4

x= 4 - y

2º passo: substitui o valor de x na segunda equação.

2(4 – y) + y = 7

8+(-8) -2y + y = 7+( -8)

-2y + y = - 1

-y = -1  → multiplica-se por (-1)

y=1

3º passo: substitui o valor de y na primeira equação.

x + y = 4 
x + 1 = 4 
x = 4 – 1
x= 3

Solução do par ordenado {3 , 1}

2º) MÉTODO COMPARAÇÃO

Tirando-se o valor de x em cada equação;

x=5 – y         →  1ª equação

x=1 + y         →  2ª equação

Comparando-se os dois valores e resolvendo a equação temos,

5 – y = 1 + y

- y – y = 1 – 5

-2y = - 4     → multiplicando-se por ( - 1)

2y = 4
2      2
y = 2

Substituindo o valor de y na primeira equação

x + y = 5
x + 2 = 5

x + 2+(-2) = 5+(-2)

x= 3

S= { 3, 2}

 

3º) MÉTODO DA ADIÇÃO

Para resolver um sistema de 1º grau pelo método da adição, em primeiro lugar devemos eliminar uma das incógnitas.

                                                             

                                                        



                                                          


                                             EQUAÇÕES FRACIONÁRIA

                                          SISTEMAS DE EQUAÇÕES FRACIONÁRIAS

Como resolver sistemas de equações fracionárias;

1º pega-se cada uma das equações e  igular os denominadores, calculando o m.m.c.

2º eliminando os denominadores;

3º montando o novo sistema, sem os denominadores;

4º e usando qualquer um dos métodos já estudado, resolve o sistema.

Outro exemplo: