MATEMÁTICA SERIADA: POLÍGONOS INSCRITOS E CIRCUNSCRITOS NA CIRCUNFERÊNCIA

12 de jan. de 2015

POLÍGONOS INSCRITOS E CIRCUNSCRITOS NA CIRCUNFERÊNCIA

POLÍGONOS INSCRITOS

1ª Propriedade:todo polígono regular pode ser inscrito ( posto dentro) numa circunferência. Observe que todo os vértices dos polígonos regulares estão em contrato com a circunferência. Vejamos:

triângulo equilátero inscrito

quadrado inscrito

pentágono regular inscrito

hexágono regular

POLÍGONOS CIRCUNSCRITOS

2ª Propriedade:todo polígono regular é circunscrito (fica por fora) da circunferência. A circunferência é tangente (troca) aos lados do polígono. Vejamos:

triângulo regular (equilátero)

quadrilátero regular (quadrado)

pentágono regular

hexágono regular

POLÍGONOS REGULARES (RELAÇÕES)

Polígono regular é todo polígono cujos lados são congruentes (mesma medida) e cujos ângulos internos são congruentes.

Dados usados nas fórmulas:
l ; medida do lado
a; medida do apótema
r; medida do raio da circunferência circunscrita
A; área do polígono

Triângulo equilátero

$l=r\sqrt{3}$

$a=\frac{r}{2}$

$A=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}$

Exemplo:
Qual a área de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência de raio 2 cm?

Dados:
raio 2 cm
lado $l=r\sqrt{3}$
A= ?

$l=2\sqrt{3}$ é o lado desse triângulo.

Substituindo na fórmula:
$A=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}$

$A=\frac{\left ( 2\sqrt{3} \right )^2.\sqrt{3}}{4}$

$A=\frac{4\sqrt{9}.\sqrt{3}}{4}$

$A=\frac{4.3\sqrt{3}}{4}$

$A=\frac{12\sqrt{3}}{4}$

${\color{Red} A=3\sqrt{3}cm^{2}}$

Quadrado

$l=r\sqrt{2}$

$a=\frac{l}{2}$

A= 2r²

Exemplo:
Quanto mede o apótema do quadrado inscrito numa circulo, sabendo que o perímetro do quadro mede 20 cm?

Dados:
perímetro do quadrado 20 cm

p= 20 cm

a=?

Perímetro o dividido por 4:
20/4 = 5

O raio da circunferência é igual 2 vezes a diagonal do quadrado. logo para achar o raio dividimos por 2.

$r=\frac{5}{2}$

Substituindo na fórmula

$l=r\sqrt{2}$

${\color{Red} l=\frac{5}{2}\sqrt{2}}$

Mais uma fez substituindo para achar o apótema.

$a=\frac{l}{2}$

${\color{Red} a=\frac{\frac{5}{2}\sqrt{2}}{2}}$

$a=\frac{5}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}$

${\color{Red} a=\frac{5\sqrt{2}}{4}cm}$

l= r

$a=\frac{l\sqrt{3}}{2}$

$A=\frac{3l^{2}\sqrt{3}}{2}$

Exemplo:

Qual a medida do raio de uma circunferência, sabendo que o apótema de um hexágono regular inscrito numa circunferência mede $15\sqrt{3}cm$ ?

Dado:
a= $15\sqrt{3}cm$

r = l

substituindo o valor da apótema, lembrado que o lado é igual ao raio.

$a=\frac{l\sqrt{3}}{2}$

$15\sqrt{3}=\frac{r\sqrt{3}}{2}$ ,podemos multiplicamos 15 por 2, ficando assim;

$15. 2\sqrt{3}=r\sqrt{3}$

$30\sqrt{3}=r\sqrt{3}$ , isolando r

$r=\frac{30\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

${\color{Red} r=30 cm}$

Observação: assunto visto com mais detalhes no Ensino Médio.