30 de jul. de 2015

ÂNGULOS: EXERCÍCIOS

1) Sabendo que r e s são paralelas. Qual o valor de x?

2) As retas r e s são paralelas cortadas por uma reta transversal t. Quanto vale y?

3) Sendo r // s e x = 3y. Qual o resultado de x – y ?

4) Sabendo que r e s são retas paralelas. Qual o valor de y – x?

5) Calcule a medida, ângulo BÔC.

6) Em um triângulo $\Delta$ EFG, o ângulo Ê mede 40° a mais do ângulo $\hat{F}$ , e ângulo $\hat{G}$ mede o dobro de Ê. Quais as medidas de $\hat{E},\hat{F}e\hat{G}$ ?

RESPOSTAS:

1)
Os ângulos na figura são suplementares, logo a sua soma deve ser igual a 180°.

$\frac{1}{2}x+2x+135^{0}=180^{0}$

$\frac{x}{2}+\frac{4x}{2}+\frac{270^{0}}{2}=\frac{360^{0}}{2}$

x + 4x + 270° = 360°

5x = 360° - 270°

$x=\frac{90^{0}}{5}$

x= 18°

2)
Como os ângulos 3x - 11° e 2x + 6°, são ângulos correspondentes, logo são iguais, vamos igualar para encontrar o valor de x.
3x - 11° = 2x + 6
3x - 2x = 6° + 11°
x = 17°

Substituindo o valor de x em 2x + 6°, para saber o quanto o mesmo mede.
2x + 6°
2.17° + 6°
34° + 6°
40°.

Para encontrar o valor de y basta lembrar que a soma de y com 2x + 6° é igual a 180°, por serem ângulos suplementares.
y + 40º = 180°
y = 180° - 40°
y= 140°

3)
Os ângulos x e y são suplementares:
3y + y = 180°
4y = 180°

$y=\frac{180}{4}$

y = 45°

A soma dos ângulos x e y é igual a 180°, então;
x + 45° =180°
x = 180° - 45°
x = 135°

Ele pede o valor de;
x - y
135° - 45° = 90°

4)
O valor de y - x.
Os ângulos y e 125° são suplementares, logo podemos fazer
y + 125º = 180°
y = 180° - 125°
y= 55°

Como encontramos o valor de y, agora somamos os três dados e igualarmos a 180°
x + 55° + 90° = 180°
x + 145° = 180°
x = 180° - 145°
x= 35°

Lembre que ele pede o calculo de;
y - x
55° - 35° = 20°

5)
a)
Os ângulos são opostos pelo vértice, logo são iguais, isto é, têm a mesma medida.
5x - 20° = 2x + 70°
5x - 2x = 70° + 20°
3x = 90°
$x=\frac{90^{0}}{3}$

x= 30°

Substituindo em qualquer um já que são iguais.
2x + 70°
2 . 30° + 70°
60° + 70°
130°

b)
O mesmo acontece com essa alternativa, isto é, os ângulos são opostos pelo vértice.

$x-45^{0}=\frac{x}{2}+20^{0}$

$\frac{2x-90^{0}}{2}=\frac{x}{2}+\frac{40^{0}}{2}$

2x - 90° = x + 40°

2x - x = 40° + 90°

x = 130°

Substituindo em qualquer um já que são iguais.

x - 45°
130° - 45°
85°

6)
Lembrando que a soma dos ângulos internos de um triângulo é iguala a 180°.
DADOS:
$\Delta$ EFG
Ê = x + 40°
$\hat{F}$ = x
$\hat{G}$ = 2 ( x + 40° )
Quais as medidas de $\hat{E},\hat{F}e\hat{G}$

x + 40° + x + 2.( x+ 40° ) = 180°
x + x + 40° + 2x + 80° = 180°
4x + 120° = 180°
4x = 180° - 120°
4x = 60°

$x=\frac{60}{4}$

x = 15°

Substituindo os dados;
Ê = x + 40°
Ê = 15° + 40° = 55°

$\hat{F}$ = x
$\hat{F}$ = 15°

$\hat{G}$ = 2 ( x + 40° )
$\hat{G}$ = 2 ( 15° + 40° ) = 110°

Por se tratar de um triângulo a soma dos ângulos internos é igual a 180°.
Verificando
55° + 15° + 110° = 180°

19 de jul. de 2015

EXERCÍCIOS- EQUAÇÃO DO 1º GRAU

Exercícios de equação do 1º grau com problemas

1) Respondam as alternativas abaixo de acordo com o enunciado

a) Maria e João são irmãos, a diferença entre eles é de 2 anos. Sabendo que o dobro da idade de João mais 5

b) A metade de um número, mais sua terça parte, mais sua quarta parte resulta em 13. Qual é esse número?

c) Ana tem um terreno retangular, esse terreno tem 18 m a menos de largura do que de comprimento. O perímetro desse terreno é de 84. Quanto mede o comprimento e a largura do terreno?

d) Um pai deu 4 maçãs a cada um dos filhos e ficou ainda com 18 maçãs. Se tivesse dado 6 maçãs a cada um, teria ficado apenas com 4 maçãs. Quantos filhos esse pai têm?

e) (TRE) Qual o número que, somando a um quarto dele próprio, mais dois quarto dele próprio, mais três quarto dele próprio, dá 100.

Aluno (a)

turma:

18 de jul. de 2015

EXERCÍCIOS: PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.)

Um pequeno exercício de P.A. assunto visto no Ensino Médio.
1) Qual a razão de uma P.A. em que a₂₀ = 192 e a₁ = 2?

2) Determine o décimo sétimo termo da P.A. (-6, -1, 4, ...)

3) Determine a soma dos 25 primeiros termos da P.A. ( -7, -9, -11, ...)

4) Determine o primeiro termo e o número de termos de uma P.A. em que: S_n = 69, r = 3 e o último termo é 19.

5) Escreva uma P.A. de três termos, de modo que sua soma seja igual a -3 e seu produto seja igual a 8.

SOLUÇÃO:
1)
Dados:
a₂₀ = 192
a₁ = 2
r = ?

Usando a formula geral da P.A.
a_n = a₁ + ( n - 1 ) . r
192 = 2 +( 20 - 1) . r
192 = 2 +( 19) . r
192 = 2 + 19r
19r = 192 - 2
19r = 190

2)
Dados:
a₁ = -6
r = 5 (a₂ - a₁ = -1 - (-6) =5)
a₁₇ = ?
a_n = a₁ + ( n - 1 ) . r
a₁₇ = -6 + ( 17 - 1 ) . 5
a₁₇ = -6 + ( 16 ) . 5
a₁₇ = -6 + 80
a₁₇ = 74

3)
Dados:
a₁ = -7
r = -2 (a₂ - a₁ = -9 - (-7) = -2)
a₂₅ = ?
s₂₅ = ?

Primeiro vamos calculamos a₁₀ :
a_n = a₁ + ( n - 1 ) . r
a₂₅ = -7 + ( 25 - 1 ) . (-2)
a₂₅ = -7 + ( 24 ) . (-2)
a₂₅ = -7 + (-48)
a₂₅ = -55
a₂₅ = -55

Empregamos a fórmula da soma:

4)
Dados:
r = 3
S_n = 69
a₁ = ?
n=?

Usando fórmula geral
a_n = a₁ + ( n - 1 ) . r
19 = a₁ + (n - 1) . 3
19 = a₁ + (3n - 3)
a₁ = 3 +19 -3n
a₁ = 22 -3n substituindo na fórmula da soma da P.A.

Substituindo os valores encontrados.

solução: a₁ = 4 e n= 6

5)
Soma dos três termos ( x - r, x, x+r)
Produto dos três termos: (x-r) . x . (x +r)

x- r + x + x + r = - 3
3x = -3

(x-r) . x . (x +r)=8
x . (x² –r²)=8 substituindo x por -1
-1.((-1)² –r²)=8

-1 –r² = -8
r²-9 =0
r²= 9

r'= 3
r'' = -3

Solução:
quando r = 3
x - r, x, x + r
{-1 -(3)}, -1, {-1 + 3}
{-4, -1, 2}

quando r = -3
x - r, x, x + r
{-1 - (-3)}, -1, {-1 + (-3)}
{2, -1, -4}

PROGRESSÃO ARITMÉTICA

RESUMO

Progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com um número fixo, chamado de razão ( r).

SEQUÊNCIA

P.A (a₁, a₂, a₃, ..., a_n)
Exemplo: ( 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... ) Sequência, o próximo número da sequencia é formado a partir do primeiro somado com 2, e assim sucessivamente.
1+2=3
3+2=5
5+2=7

RAZÃO

a₂ – a₁= a₃ – a₂ = a₄ – a₃ = ... = a_n – a_n-1= r
Para determinar a razão de uma progressão Aritmética é só subtrair o 2º termo pelo 1º.

Exemplo: ( 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... )
3 - 1 = 2
5 - 3 = 2
7 - 5 = 2
r = 2

TERMO GERAL

a_n = a₁+ (n - 1) . r ou a_n = a_m+ (n - m) . r

Significados das letras:
a_n_{: termo geral}
a₁_{: primeiro termo}
_n_{: número de termos}
_r_{: razão}

Exemplo: Determine o vigésimo termo da P.A (1, 8, 15, ...)
a₁ = 1

r = 8 - 1 = 7
a_n = a₂₀
a₂₀= 1 + ( 20 -1 ) . 7
a₂₀= 1 + ( 19 ) . 7
a₂₀= 1 + 133
a₂₀= 134

SOMA DOS TERMOS

Significados das letras:
a_n_{: enésimo termo}
a₁_{: primeiro termo}
_n_{: número de termos}
S_n_{: soma dos n termos}
Exemplo: Determine a soma dos dezoito primeiros termos da P.A. (1, 4, 7, ...)

a₁ = 1

r = 4 - 1 = 3
a_n = a₁₈

a₁₈= 1 + ( 18 -1 ) . 3
a₁₈= 1 + ( 17 ) . 3
a₁₈= 1 + 51
a₁₈= 52

TRÊS TERMOS EM P.A;

(x -r, x, x + r)

Classificação da progressão Aritmética:
Crescente ( r >0 ) quando a razão for positiva: ( 4, 8, 12, ...)
Decrescente ( r < 0 ) quando a razão for negativa: ( 12, 8, 4, ... )
Constante ( r = 0 ) quando a razão for igual a zero: ( 8, 8, 8, ... )

4 de jul. de 2015

EXERCÍCIOS: SISTEMA LINEAR

Nesta postagem vamos resolver um pequeno exercício que trata de sistema linear, assunto do Ensino Médio.

É chamado de sistema linear um conjunto de duas ou mais equações:

Quando o sistema têm apenas duas equações, o aluno pode usar algum dos métodos estudado no Ensino Fundamental ( Sistema de 1º grau). Quando o sistema têm mais de duas equações, ele pode usar a Regra de Cramer ou o escalonamento.

Aqui vamos usar apenas a Regra de Cramer, para mostrar ao aluno como é feito a resolução:

1) Resolva os sistemas linear:

Separamos os coeficientes em barras e multiplicamos os números cruzados. O produto ( resultado) da esquerda troca-se os sinais. O produto (resultado) da direita não troca os sinais.