EXERCÍCIOS - TEOREMA DE TALES

1) Determine o valor de x em cada uma das figuras, sabendo que:

a)

RESPOSTA:

7x = 168

x=168  

      7

x= 24

b) 

RESPOSTA:

5x – 5 = 3x

5x – 3x = 5

2x= 5

x =  5  

      2 

x = 2,5

c) 

RESPOSTA:

x+1    =  3  
   4         x
x² + x = 12

x² + x – 12 = 0  equação do 2º grau    

x = 3


d)

RESPOSTA:

4   =   3x - 1 
6         4x+2

4.( 4x + 2) = 6.( 3x – 1 )
 

16x + 8 = 18x – 6
 

16x -18x = -6 – 8
 

-2x = - 14  (-1)
 

2x = 14
 

x =  14  

        2

x = 7

2) No triângulo ABC da figura abaixo temos que  DE//BC Sabendo que a medida do lado BC do triângulo é 14 cm, calcule as medidas dos lados AB e AC o perímetro desse triângulo.

RESPOSTA:

x -1 = x + 4 
  3         x
x.( x -1 ) = 3.( x + 4 )
 

x² – x = 3x + 12
 

x² – x - 3x – 12 = 0
 

x² – 4x – 12 = 0  equação do 2º grau.

x = 6


Resposta final

AB = 8 cm, AC = 16 cm

Perímetro: 8 + 16 + 14 = 38 cm

3) No triângulo da figura abaixo, as medidas são consideradas em centímetros. Se BC=32 cm, calcule o valor de x – y.

RESPOSTA:
x   = 10 
y       6
como,  BC = x + y = 32, podemos aplicar um das propriedades da proporção.

x + y = 10 + 6
    y          6

  32  = 16   
    y       6

16y = 192

y =   192  
         16

y=12 cm

Sendo y = 12 cm; x= 20 cm

Resposta final: x – y = 20 – 12 = 8 cm

4)Uma quadra de um loteamento tem a forma da figura abaixo. Na figura estão indicadas,em metros, algumas medidas dessa quadra. Como DE é paralelo a BC, a quadra foi dividida em dois lotes. Determine o perímetro de cada um desses lotes.

RESPOSTA:

160y = 7200

y = 7200 

        160

y= 45

Se y= 45, logo x= 120 – 45 = 75

x = 75 e y = 45

Calculando os perímetros dos lotes.

Lote 1

100 + 75 + 30 = 205 metros

Lote 2

60 + 45 + 30 + 50 = 185 metros.

5) Considere um triângulo ABC, onde o lado AB mede 18 cm, e o lado BC mede 12 cm.  Traçamos uma reta paralela ao lado BC do triângulo, que irá cortar  o lado AC  no ponto D e o lado BC  no ponto E, tal forma que AE = 9cm e EC = 3 cm.

Descubra as medidas dos segmentos AD e BD .

RESPOSTA:

Em primeiro lugar vamos fazer o desenho do triângulo ABC.

  x  =   9  
  y       3

x  + y  = 9 + 3  
   y            3

  18    =  12  
   y          3

12y = 54

y =   54  
        12

y= 4,5 cm

x = 18 – y

x = 18 – 4,5

x = 13,5 cm

6) Duas avenidas têm origem em um mesmo ponto A e cortam duas ruas paralelas, como mostra a figura:

Na primeira avenida, os quarteirões determinados pelas ruas paralelas medem 50 m e 80 m, respectivamente. Na segunda avenida, partindo de A, a medida do primeiro quarteirão é 36 m menor que a medida do segundo quarteirão. Qual é a medida dos quarteirões dessa segunda avenida?

RESPOSTA:

  50  = x -36 
  80        x

80x – 2880 = 50x

80x -50x = 2880

30x = 2880

x= 2880  

x= 96

 x – 36

96 – 36 = 60

Resposta final: um mede 60 metros e o outro 96 metros.

7) Dois postes perpendiculares ao solo estão a uma distância de 4 m um do outro, e um fio bem esticado de 5 m liga seus topos. Prolongando esse fio até prendê-lo no solo, são utilizados mais 4 m de fio. Observe a figura:

Determine a distância entre o ponto onde o fio foi preso ao solo e o poste mais próximo a ele.

RESPOSTA:
  4  = x  
  5     4 

5x = 16

x = 16

      5

x= 3,2 metros

(Conquista da Matemática 8ª série: EXERCÍCIO DA PÁGINA 210)

EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA

1) Observe os ângulos complementares destacados na figura e determine a medida x indicada.

RESPOSTA:

Por se tratar de um ângulo complementar, então;

50° + x = 90°

x = 90° - 50°

x = 40°

2) Observe os pares de ângulos suplementares destacados na figura e determine as medidas x e y indicadas.

RESPOSTA:

x + 50° = 180°                           100° + y = 180°        

x = 180° - 50°                             y = 180° - 100°          

x= 130°                                                       y = 80°

 3) Determine a medida do complemento de um ângulo de:

a) 35^°                          b) 42°                         c) 22° 30’                           d) 69° 40’

RESPOSTA:

a) 90^°- 35° = 55°

b) 90° - 42° = 48°

c) 90° – 22° 30’   ( tira-se um 1° de 90°, e transforma em minutos ficando assim).

    89° 60’ - 22° 30’ = 67° 30’

d) 90° - 69° 40’   ( tira-se um 1° de 90°, e transforma em minutos ficando assim).

    89° 60’ - 69° 40’ = 20° 20’

4) Determine a medida do suplemento de um ângulo de:

a) 75°                     b) 82° 30’                       c) 135°                           d) 129° 50’

RESPOSTA:

a) 180° – 75° = 105°

b) 180° - 82° 30’          ( tira-se um 1° de 180°, e transforma em minutos).

    179° - 82° 30’ = 97° 30’

c) 180° – 135° = 45°

d) 180⁰ - 129⁰ 50’           ( tira-se um 1⁰ de 180⁰, e transforma em minutos).

   179° 60’ - 129° 50’ = 50° 10’

5) A medida de um ângulo é igual à medida do seu complemento, aumentada de 70°. Qual é a medida desse ângulo?

RESPOSTA:

x = (90° –x) + 70°

x = 90° – x + 70°

x + x= 90° + 70°

2x = 160°

x = 160°

         2

x = 80°

6) A medida de um ângulo é igual à terça parte da medida do seu suplemento. Qual é a medida desse ângulo?

RESPOSTA:

x =  1  (180° – x)

       3

3x = 180° – x

3x + x = 180°

4x = 180°

x = 180°

         4 

x = 45°

7) Sabendo que a medida de um ângulo é igual ao quádruplo da medida do seu complemento, determine a medida desse ângulo.

RESPOSTA:

x = 4( 90° – x)

x = 360° – 4x

x + 4x = 360°

5x = 360°

x = 360°

         5 

x = 72°

8) O triplo da medida de um ângulo é igual ao dobro da medida do seu suplemento. Qual é a medida desse ângulo?

RESPOSTA:

3x = 2( 180° – x)

3x = 360° – 2x

3x + 2x = 360°

5x = 360°

x =  360°

           5

x = 72°

9) A medida do suplemento de um ângulo é igual ao quádruplo da medida do complemento desse mesmo ângulo. Quanto mede esse ângulo?

RESPOSTA:

(180° – x) = 4(90° – x)

180° – x = 360° – 4x

- x + 4x = 360° - 180°

3x = 180°

x =   180°

           3

x = 60°

   

10) Dois ângulos são complementares e suas medidas são x e y. Sabe-se, também, que o dobro da medida do menor ângulo é igual à medida do maior, aumentada de 30⁰. Monte um sistema de duas equações e calcule as medidas x e y.

RESPOSTA:

     

3x = 120°

x= 120°  

         3

x = 40°       (substituindo o valor  encontrado de x na 1ª equação).

  x + y = 90°

40° + y = 90°

y = 90° - 40°  

y = 50°

11) Dois ângulos são suplementares. A medida do maior está 7 assim como a medida do menor está para 5. Determine as medidas desses dois ângulos usando um sistema de duas equações com duas incógnitas.

RESPOSTA:

  

 

substituindo na segunda equação: x = 180° -y

 5x = 7y 

5( 180⁰ – y) = 7y

900⁰ – 5y = 7y

12y = 900⁰

y =  900°

          12

y = 75°

Substituindo o valor encontrado de y  na 1ª equação.

x  + y = 180°

x + 75° = 180°

x = 180° - 75°

x = 105°

(ATIVIDADE RESPONDIDA PÁGINA 216 – CONQUISTA DA MATEMÁTICA-8º ANO)

TRIGONOMETRIA

A Trigonometria (do grego trigōnon "triângulo" + metron "medida"), a mesma teve seu desenvolvimento ligado à astronomia, porém, com o desenvolvimento da matemática, a trigonometria passou a ser aplicada em outras áreas como na matemática pura, quanto na matemática aplicada e, consequentemente, nas ciências naturais, na física, na cinemática vetorial…

Trigonometria no triângulo retângulo:

Razões trigonométricas no triângulo retângulo

É chamado triângulo retângulo àquele que possui um de seus ângulos medindo 90° ( ângulo reto). Veja o desenho acima de um triângulo retângulo.

1ª   SENO

Seno é a razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo estudado e a medida da hipotenusa.

Exemplo: 

   

                                                                                                      

    

         

A hipotenusa é o lado maior do triângulo. Os outros dois lados são chamados de catetos, na figura acima a hipotenusa é representado por h, e os catetos por b e c. Vejamos outro exemplo de triângulo retângulo: e sua relação trigonométrica:

Com relação ao ângulo a.

2ª  COSSENO

Cosseno é a razão entre a medida do cateto adjacente ao ângulo estudado e a medida da hipotenusa.

Exemplo:

Com relação ao ângulo a.

3ª TANGENTE

Tangente é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do ângulo adjacente.

Exemplo:

Com relação ao ângulo a.

Vejamos mais um exemplo: Qual a razão trigonométrica de seno, cosseno e tangente com relação ao ângulo a e com relação ao ângulo b?

 

RESUMO