MATEMÁTICA SERIADA

12 de abr. de 2015

DISPOSITIVO PRÁTICO DE BRIOT-RUFFINI

O dispositivo prático de Briot-Ruffini é utilizado para fazer a divisão de polinômios, isto é, Para fazer a divisão de um polinômio P(x) por outro polinômio Q(x).

O dispositivo permite encontrar o quociente e o resto da divisão de um polinômio P(x) de grau n (n> 1) por um binômio x-a, sendo (n -1) o grau do quociente.

Vejamos um exemplo prático de como fazer:

a) Efetuar a divisão (x³ +2x² – x + 3) : (x - 1)

1º passo:

Devemos determinar a raiz do binômio x - 1

x = 1, nesse caso a raiz é 1.

colocamos a raiz encontrada nesse caso 1 no lado esquerdo. como mostra o esquema abaixo, enquanto os coeficientes no lado direito:

2º passo:

Abaixe o primeiro coeficiente e multiplique pela raiz e depois some com o segundo coeficiente, coloque o resultado abaixo, isto é ao lado do primeiro coeficiente. E assim o processo será repetido até o último coeficiente.

1 . 1 = 1 multiplica 1 pela raiz, resultado soma com o 2.

1 +2 = 3 colocar-se o 3 no quociente.

3 . 1 = 3 multiplica 3 pela raiz, resultado soma com o -1.

3 + (-1)= 2 colocar-se o 2 no quociente.

2 . 1 =2 multiplica 2 pela raiz, resultado soma com o 3.

2 + 3 = 5 este número é o resto da divisão.

3º passo:Organizando tudo:

Os três primeiros números são os coeficientes. O último número é o resto da divisão.

Lembrando que o quociente terá sempre um grau a menos do dividendo:

Quociente: Q(x)= x² + 3x + 2

Resto: R(x) = 5

b) Efetuar a divisão (4x³ - 2x² +3x -1) : (x +2)

calculando a raiz ( x + 2)

x = -2 (raiz do binômio x + 2 é - 2)

Efetuando a divisão

4 . (-2)=-8

-8 + (-2) = -10

___________________

-10 . (-2) = 20

20 + 3 = 23

___________________

23 . (-2) = -46

-46 + (-1) = - 47 é o resto da divisão

Organizando:

Q(x)= 4x² - 10x + 23

R(x)= -47

c) Efetuar a divisão (x⁴ + 2x³ + x - 6) : ( x - 3)

Observe que o polinômio é do 4º grau, incompleto. Para isso precisamos arrumar, ficando assim:

x⁴ + 2x³ + 0x² + x + 46

calculando a raiz de ( x - 3)

x = 3

Efetuando a divisão:

1 . 3 = 3

3 + 2 = 5

_____________

5 . 3 = 15

15 + 0 = 15

______________

15 . 3 = 45

45 + 1 = 46

______________

46 . 3 = 138

138 + (- 6) = 132 o resto da divisão

Q(x)= x³ + 5x² + 15x + 46

R(x)= 132

Agora é com vocês:

Utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini, determine o quociente Q(x) e o resto R(x), da divisão dos polinômios abaixo:

a) (x² - 7x + 12) : ( x - 5 )

b) (2x³ - 4x² + x - 3) : ( x - 1 )

c) (4x³ - 3x + 4) : ( x - 4 )

RESPOSTAS:
a)
Q(x) = x -2
R(x) = 2

b)

Q(x) = 2x² - 2x -1
R(x) = - 4

c)
Q(x)= 4x² + 16x + 61

R(x)248

21 de mar. de 2015

FUNÇÃO- EXERCÍCIOS

1) Localize, no mesmo plano cartesiano, os pontos:

a) M (-2, 5) b) N (-4, -1)

c) P (5, -4) d) Q (7,0)

2)Desenhe o quadrilátero que tem como vértices os pontos A (-4, 1), B (-4, -2), C (2, -2) e D (2, 1). Feito o desenho responda:

a) Qual quadrilátero você desenhou no plano cartesiano?

b) Qual a área desse quadrilátero?

3) Um quadrado tem seus vértices nos pontos A (3, 3), B (0, 3), C (0, 0), e D (3, 0). Qual o tipo desse quadrilátero?

4) Uma função é definida pela lei y=1 - 7x, sendo x um número real qualquer. Nessas condições, responda:

a) Qual é a imagem do número real -3 dada por essa função?

b) Qual é a imagem do número 0,2 dada por essa função?

c) Qual o número real x cuja imagem dada por essa função é -41?

5) A tarifa de uma corrida de táxi é composta de duas partes: uma parte fixa, chamada bandeira, e uma parte corresponde ao número de quilômetros que o táxi percorre. No táxi do Bruno a parte fixa ou bandeira corresponde a 2 reais, e o preço do do quilômetro percorrido é 0,53 real. Sendo y o preço a pagar pela corrida e x o número de quilômetros percorridos, a tarifa final passa a ser definida pela função y=2 + 0,53x. Nessas condições:

a) Quanto custará uma corrida de 16 km no táxi do Bruno?

b) Quantos quilômetros Bruno percorreu com o seus táxi, em uma corrida de 8,36 reais?

6) A figura abaixo mostra o gráfico da função y= x- 3.

Nessas condições, responda:

a) Para qual valor real de x temos y = 0?

b) Para quais valores reais de x vamos ter valores positivos de y (y > 0)?

c) Para quais valores reais de x vamos ter valores negativos de y ( y < 0)?

7) A figura abaixo mostra o gráfico da função: y = - x + 2.

a) Para qual valor real de x temos y =0?

b) Para quais valores reais de x vamos ter valores de y ( y > 0 )?

c) Para quais valores reais de x vamos ter valores negativos de y ( y < 0)?

8) Determine algebricamente os zeros das seguintes funções:

a) y = x - 7

b) y = 4 + 8x

c) y = 3x -2

d) y= 1x + 5
2

9) Dê, para cada uma das funções a seguir, os valores reais de x para os quais se tem y = 0, y > 0 e y < 0

a) y= x -9

b) y = - 5x + 20

c) y = 1x + 2
4
d) y = -2x + 6

SOLUÇÃO: NA DÚVIDA VÁ NO LINK

1)

a) M (-2, 5) b) N (-4, -1)

c) P (5, -4) d) Q (7,0)

a) Qual quadrilátero você desenhou no plano cartesiano?

É um retângulo.

b) Qual a área desse quadrilátero?

Para encontrar é só multiplicar um lado pelo outro lado.

Um lado mede 6 e o outro mede 3

6 x 3 = 18
18 unidades de área.

3)

Como o lado do quadrado mede 3 unidade;

3+3+3+3= 12 é o perímetro desse quadrado.

y=1 - 7x

a) Qual é a imagem do número real -3 dada por essa função?
Obs: No local de x substitui por -3
y= 1- 7x
y= 1 -7. (-3)
y = 1 + 21
y = 22

b) Qual é a imagem do número 0,2 dada por essa função?
y=1 - 7x
y=1 - 7. (0,2)
y=1- 1,4
y= 0,4

c) Qual o número real x cuja imagem dada por essa função é -41?
Obs: como temos a imagem que é -41, substitui o y por -41.

y=1 - 7x

-41 = 1 - 7x

7x = 1 + 41

7x=42

x= 42

x= 6

5)
y=2 + 0,53x
y = preço final pago pela corrida
x= quilômetro corrido

a) Quanto custará uma corrida de 16 km no táxi do Bruno?

y=2 + 0,53x
y= 2 + 0,53 . 16
y= 2 + 8,48
y = 10,48

b) Quantos quilômetros Bruno percorreu com o seus táxi, em uma corrida de 8,36 reais?

y=2 + 0,53x

8,36 = 2 + 0,53x

0,53x = - 2 + 8,36

0,53x = 6,36

x= 6,36

0,53

x= 12

12 km

y= x- 3

a) Para qual valor real de x temos y = 0?
Obs: iguala-se a função a zero.
y = x - 3
o = x - 3
x = 3

b) Para quais valores reais de x vamos ter valores positivos de y (y > 0)?
Qualquer valor maior que 3 para x.
x > 3

c) Para quais valores reais de x vamos ter valores negativos de y ( y < 0)?

Qualquer valor menor que 3 para x.

x < 3

7)
y = - x + 2

a) Para qual valor real de x temos y =0?
y = - x + 2
0 = - x + 2
x = 2

b) Para quais valores reais de x vamos ter valores de y ( y > 0 )?
x < 0

c) Para quais valores reais de x vamos ter valores negativos de y ( y < 0)?

x > 0

8)
É só iguala a função a zero.

a) y = x - 7

x - 7 = 0

x = 7

b) y = 4 + 8x

8x + 4 = 0

8x = - 4

x= - 4

x= - 1
2

c) y = 3x -2

3x - 2 = 0

3x = 2

x= 2
3

d) y= 1x + 5
2
1x + 5 =0
2
1x = - 10
2 2

x= - 10

9)
y = 0, y > 0 e y < 0

a)
y = 0
y= x -9
x - 9 = 0
x= 9
y > 0 para x > 9
y < 0 para x < 9

b)
y = 0
y = - 5x + 20
-5x + 20 =0
5x - 20 =0
5x = 20
x= 20
5

x=4
y > 0 para x < 4
y < 0 para x > 4

c) y = 1x + 2
4

1x + 2 = 0
4
1x = -2
4
x= -8

y > 0 para x > -8

y < 0 para x < -8

d) y = -2x + 6
-2x + 6 =0
2x - 6 = 0
x = 6
2
x= 3

y > 0 para x < 3

y < 0 para x > 3

(exercícios tirados do livro Conquista da Matemática, 9º ano, pág.171)

13 de mar. de 2015

DÍZIMAS- EXERCÍCIOS

1) Transforme em fração irredutível cada dízima periódica simples:
a) 0,444...

b) 0,666...

c) 0,212121...

d) 0,353535....

e) 0,171717...

f) 0,383838...

g) 0,287287287...

h) 1,6666...

i) 3,55555...

j)1,2222...

k) 3,151515...

2) Transforme em fração irredutível cada dízima periódica composta:
a) 0,21444...

b) 0,32636363...

c) 0,1953333...

d) 5,546666...

e)2,14444....

f) 4,37777....

RESPOSTAS

1) Observação:

Existem duas maneiras diferentes para transformar uma dízima em fração. Aqui vamos usar apenas uma delas. Qualquer duvida dê uma olhada na página que trata desse assunto.

A dízima pode ser escrita com um traço em cima do período, isto é, o número da dízima que se repete indefinidamente.

Solução:

Para numerador vai o período e para o denominador tantos noves quanto forem o período.