MONÔMIOS E POLINÔMIOS

Monômios - Expressão algébrica que contém parte literal (letras), chamada de variaveis e coeficientes. (números). 

Polinômios - Expressão algébrica composta por dois ou mais monômios com a existência de operações entre eles.

Expressões algébricas ou literais são toda expressão matemática que apresenta números e letras ou somente letras.

Exemplos:

a) x – y=10

b) 3x + 2y

c) 4x-3

As letras são chamadas de variáveis.

Estudo dos polinômios

 

Monômio é toda expressão representada apenas por números ou apenas por uma letra (variável) ou por um produto entre constantes e variáveis.

Exemplos:

a) 5y         

   5 – coeficiente

   y – parte literal

b) 6xyz 

     6 – coeficiente

     xyz – parte literal                

c) -17 → coeficientes (não tem parte literal).

d) –x

-1  coeficiente

x - parte literal

e) y

1 – coeficiente

y - parte literal

f) 0x

0 - coeficiente

x - parte literal  (monômio nulo).

 

Monômios semelhantes

Os monômios que possuem a mesma parte literal são chamados de monômios semelhantes.

a) 8xy  e -10xy → parte literal xy.

b) -5x²y³  e  x²y³ →parte literal x²y³.

Grau de um monômio

O grau de um monômio pode ser identificado de duas maneiras.

1º CASO: pela soma dos expoentes das variáveis.

■3x²y⁴y - (2+4+1) é do 7º grau.

■2y⁶ - é do 6º grau.

■ 8 - é do zero grau.

2º CASO: o grau de um monômio pode ser dado em relação a uma de suas  variáveis.

■x²y - do 2º grau em relação a x,  e  do 1º grau em relação a y.

 

OPERAÇÕES COM MONÔMIOS

ADIÇÃO ALGÉBRICA DE MONÔMIOS

Quando as partes literais são semelhantes, soma algebricamente os coeficientes, e repete-se a parte literal.

Exemplos:

a) 6xy +2xy+xy=  (6+2+1=9) = 9xy                           

b)  4yz – yz = (4-1=3) = 3yz

            

c) a²+6a²-2a²

 ( 1+6-2) = 5 - repete-se a parta literal ficando assim.

    5a<sup>2

d)</sup>  4x + 7x - 9x+6x²+2x<sup>2 

Agrupando os termos semelhantes para depois efetuar as operações</sup>
 (6x²+2x² ) +4x + 7x - 9x

6x²+2x²+11x - 9x

8x² + 2x 
  

MULTIPLICAÇÃO DE MONÔMIOS

Multiplicam-se os coeficientes entre si, e as partes literais entre si.

Exemplos:

a) (6x³y²) . (3xy²)= (6 . 3) (x³ . x) (y² . y²)  = 18x⁴y⁴

b) x⁵.x³ = x⁸      Aplicando  uma das propiedades de potenciação visto no 7º ano. Em diz que, bases iguais repete-se a base e soma-se os expoentes.

DIVISÃO DE MONÔMIOS

Divide-se os coeficientes entre si, e as partes literais entre si.

Para a parte literal veja uma das propriedades das potências, (conteúdo visto no 7º ano). Divisão de potência de mesma base, repete-se a base e subtraem os expoentes.

Exemplos:

a)y⁷ : y³ = y^7-3  = y⁴

b)(-32x⁴) : (-8x)

    (-32) : (-8) x^4-1 = 4x³

c) 15x⁶ : 3x²  = 5x⁴

Observação:

Nem toda divisão de um monômio por outro monômio resulta em um novo monômio. Quando isso acontece e chamado de frações algébricas.

Exemplos:

OPERAÇÕES ALGÉBRICAS COM POLINÔMIOS

Quando efetuamos uma adição algébrica entre monomios, denomina-se polinômio.

Veja os polinômios abaixo:

a) 10x + 2y + 4

b) 5x + 3y

c) 7x – 2y

GRAU DE UM POLINÔMIO

O grau de um polinômio é dado pelo termo de maior grau ou pode ser em relação a uma determinada variável.

 Exemplos:

a) x³y  –  3x⁴y³  +  8xy²

     ↓           ↓           ↓

4º grau   7º grau   3º grau

 b) a) x²  –  3x²y²  +  4xy

     ↓             ↓             ↓

2º grau   4º grau   2º grau

c) x⁴y + 5x³y⁵ 

4º grau em relação a x, e  5º grau em relação a y).

ADIÇÃO ALGÉBRICA DE POLINÔMIOS

Para adicionar polinômios é adiciona-los os termos semelhantes.

Exemplos:

a)( x² -  9x + 5) + (3x² + 7x -1)

 (x² + 3x²) +(-9x + 7x)+( 5 – 1)

   ( 4x²            - 2x       +    4 ) = 4x² - 2x + 4

b) (15a – 7b + 4c) + ( -8b + 3c – 9a)

     15a – 7b + 4c -8b + 3c – 9a

      (15a – 9a)+( -7b – 8b) +( 4c + 3c)  =  6a – 15b + 7c

c) (2y² – 3ay + 4a²) – ( ay – 5y² –a²)

    2y² – 3ay + 4a² –  ay + 5y² + a²

    (2y² + 5y² )+(– 3ay – ay) +( 4a² + a²)   =  7y²  – 4ay  + 5a²

MULTIPLICAÇÃO DE POLINÔMIOS

Multiplicação de um monômio por um polinômio.

Multiplica-se o o monômio por cada um dos termos do polinômio.

Exemplo:

a) 2x . (3x +y)

(2x . 3x) +( 2x . y) =  6x² + 2xy

b) 2x.(5x + 4)

(2x . 5x) +( 2x . 4) = 10x² + 8x

c) 2x . ( x + 4)  outra maneira de multiplicar polinômios

x + 4

X   2x

2x² + 8x

MULTIPLICAÇÃO DE UM POLINÔMIO POR OUTRO POLINÔMIO

Multiplica-se cada termo do primeiro por cada termo do segundo. Usando a distributiva.

Exemplos: 

a) (x + 7) . ( x + 5)

(x . x + x . 5) + (7 . x + 7 . 5) =

x²   +   5x    + 7x   +  35  =  x²   +   12x   +  35

b) (3x + 2y) . ( 3x – y)

     3x  + 2y

x    3x  –  y                      

        -3xy – 2y²

9x² + 6xy – 2y²

9x² + 3xy – 2y²

Três maneiras diferentes de encontrar o produto de polinômios.

1ª maneira:

Exemplo: Multiplicar f(x)= x+ 2x² + 3x³ por g(x) = 4 + 5x + 6x²

Resolução:

Pega-se um elemento do primeiro e multiplica-se por todos elementos do segundo, isto é, aplica-se a distributiva.

Vejamos como fica

(f.g)=( x+ 2x² + 3x³)( 4 + 5x + 6x²)

x(4 + 5x + 6x²) + 2x²(4 + 5x + 6x²) + 3x³(4 + 5x + 6x²)

(4x + 5x² +6x³) + (8x² + 10x³ + 12x⁴) + (12x³ + 15x⁴ + 18x⁵) adicionados os iguais

 4x + 13x² + 28x³ + 27x⁴ +18x⁵

2ª maneira:

Exemplo: Multiplicar f(x)= x+ 2x² + 3x³ por g(x) = 4 + 5x + 6x²

Resolução:

Utilizando uma tabela onde se coloca os coeficientes na horizontal e na vertical. Vejamos como fica

g f	4	5	6
0	0	0	0
1	4	5	6
2	8	10	12
3	12	15	18

Primeiro multiplica-se cada elemento de f por cada elemento de g.

Segundo somamos os produtos (resultado da multiplicação) de cada diagonal, como mostra a tabela.

S=0

S₁=4+0=4

S₂=8+5+0=13

S₃=12+10+6=28

S₄=15+12=27

S₅=18

Resultado final:

(f.g) = 4x + 13x² + 28x³ + 27x⁴ +18x⁵

3ª maneira:

Exemplo: Multiplicar f(x)= x+ 2x² + 3x³ por g(x) = 4 + 5x + 6x²

Resolução:

Multiplica-se cada elemento de baixo por todo os elementos de cima. Vejamos como fica.

DIVISÃO DE POLINÔMIO POR MONÔMIO

Divide-se cada termo do polinômio pelo monômio.

Exemplos:

a) (-28x⁴ + 8x²) : (4x²)

(-28x⁴ : 4x²) + (8x² : 4x²) =   -7x²  + 2

          ↓                   ↓

        -7x²         +       2

PRODUTOS NOTÁVEIS

QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS

É igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do termo primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.

Exemplos:

a) (x + y)²

(x + y) . (x + y)

x .x + x.y + y.x + y.y

x² + xy + xy + y²

x² +2 xy + y²

b) (3x + 5)²

(3x + 5) . (3x + 5)

3x . 3x + 3x . 5 + 5 . 3x + 5 . 5

9x² + 15x + 15x + 25

9x² + 30x + 25

QUADRADO DA DEFERENCIA DE DOIS TERMOS

É igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

a) ( x- y)²

(x – y) . (x – y)

x.x – x.y – y.x + y.y

x² – xy – xy + y²

x² – 2xy + y²

PRODUTO DA SOMA PELA DEFERENCIA DE DOIS TERMOS

É igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo.

a) (x + y) . (x – y)

x.x – x.y +y.x – y.y

x² – xy + xy – y²

x² – y²

a) (3x + 5) . (3x - 5)

3x.3x – 3x.5 + 5.3x – 5.5

9x² – 15x + 15x – 25

9x²  – 25

CUBO DA SOMA DE DOIS TERMOS

a) (a + b)³

(a + b)² . (a + b)

(a² + 2ab + b²). (a + b)

a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³

a³ + 3a²b + 3ab² + b³

b) (2x + y)³

(2x + y)² . (2x + y)

(4x² + 4xy + y²). (2x + y)

8x³ + 8x²y + 2xy² + 4x²y + 4xy² + y³

8x³ + 12x²y + 6xy² + y³

                                   

CUBO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS

a) (a - b)³

(a - b)² . (a - b)

(a² - 2ab + b²). (a - b)

a³ - 2a²b + ab² - a²b + 2ab² - b³

a³ - 3a²b  + 3ab² - b³

b) (2x - y)³

(2x - y)² . (2x - y)

(4x² - 4xy + y²). (2x - y)

8x³ - 8x²y + 2xy² - 4x²y + 4xy² - y³

8x³ - 12x²y + 6xy² - y³