EXERCÍCIOS-equação do 2º grau

1-O quadrado de um número real inteiro é igual a sete vezes o número, menos  6. Qual é esse número?

2-O quadrado da diferença entre um número real x e 3 é igual a cinco vezes o número x, diminuído de 1. Qual é esse número x?

3-Na figura, a soma dos números que estão na linha é igual à soma dos números que estão na coluna. Quais são os valores reais de x que tornam verdadeira essa afirmação?

x2	-7	6x
		13
		-x

4-O número p de partidas que devem ser disputados em um torneio de voleibol, com turno e returno, pode ser calculado pela formula p=x(x-1), em que x indica o número de equipes que participam desse torneio. Se um torneio tem um total de 380 jogos, quantas equipes participaram desse torneio?

5- Quando você divide o polinômio x³ +6x² – x – 6 por x +1, você tem uma divisão exata e um quociente Q(x). Quais os valores reais de x que tornam o polinômio Q(x) igual a 0?

6-Uma pessoa distribui 240 balas para um número x de crianças, se cada criança receber uma bala a menos, o número de balas que cada criança vai receber será igual ao número de crianças. Qual é o valor de x?

7- Os resgistros de temperatura tomados entre 0 hora e 24 horas de um dia em uma zona rual se ajustam à fórmula matemática abaixo, em que T representa a temperatura em graus Celsus, e x representa as horas do dia. A que horas do período da tarde a temperatura registrada foi de 9,6 ºC?

RESPOSTAS:

1) Antes temos que montar a expressão matemática. Vamos chamar este número de x.

x² = 7x - 6  ( igualando a expressão a 0);

x² - 7x + 6 = 0 (resolvendo a equação do 2° grau).

   

Solução: {1, 6}

2) O quadrado da diferença de x e 3 é;

(x-3)²

 (x-3)² =5x-1

(x²- 6x + 9)= 5x-1

x²- 6x + 9 = 5x-1( igualando a zero).

x²-6x + 9 - 5x+1=0

x²-11x+10=0 

Solução: {1 ou 10}

3) Organizando os dados:

x² -7 + 6x = 6x + 13 - x

x² -7 + 6x - 6x - 13 + x = 0 ( igualando a zero);

 x² + x – 20 = 0

Solução:{-5 ou 4}

4) 

P=x(x-1)

P  ( números de partidas)

380 = x(x-1)

380 = x² – x

x² – x - 380 = 0

Resposta: 20 equipes.

5) Encontrado o Q(x), para depois resolver a expressão: Para isso vamos fazer a divisão indicada:

x²+5x - 6=0

6)

x é o total de crianças

240 balas destribuidas para x crianças.

240 = x(x-1)

240 = x² –x

x²- x -240 =0

Resposta: 16 crianças.

7)

Eliminando o denominador e resolvendo a potenciação, sabendo que T=9,6

96 = -(x² – 24x + 144) + 100  ( tirando dos parentese);

96 =  -x² + 24x - 144 + 100  ( igualando a zero)

x² - 24x + 140 = 0 

(Atividade tirada do livro Conquista da Matemática-9º ano; página 122)

EQUAÇÕES IRRACIONAIS

É chamada de EQUAÇÕES IRRACIONAIS toda equação que apresenta incógnita no radicando.

Vejamos os exemplos de algumas equações irracionais.

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES IRRACIONAIS

Em primeiro  lugar precisamos elevar os dois membros da equação ao quadrado. Antes devemos observar o índice do radicando.  O índice sendo 2, toda equação será elevada a 2, se for 3, a equação será elevada a 3, e assim por diante.

Exemplos:

Determine, em IR, o conjunto solução das equações:

Solução:

Observação: todas equações tem como índice 2. Sendo assim ambos membros de cada uma das equações acima vão ser elevado a 2.

As três últimas equações irracionais usaremos a fórmula de Bhaskara para encontrar a solução:

No exemplos acima elevamos os dois membos ao quadrado, efetuando as operações o resultado foi uma equação do 2º grau. Vejamos a próxima solução:

Vejamos mais uma resolução de equação irracional:

Bons estudos!

EQUAÇÕES BIQUADRADAS

A equação biquadrada é toda equação da forma : ax⁴ + bx² + c = 0, em que a, b e c são números reais.  São equações do 4º grau incompletas.

Como resolver uma equação biquadrada. Em primeiro lugar devemos usar um artifício, transformar a equação biquadrada em uma equação do 2º grau. Vejamos o exemplo:

1) Resolva a equação: x⁴ - 5x² +4 = 0.

Igualando x²  a uma letra qualquer. A qual será substituída na equação original, transformando em uma equação de 2º grau.  

 x² =p

( x² )²- 5x² +4 = 0

( p )²- 5p +4 = 0  equação de 2º grau em p. 

p²- 5p +4 = 0 

As raízes 1 e 4 são valores para p, com igualamos p=x²

^{Devemos obter os valores para x, que é a solução para a equação biquadrada.}

^{S={ -2, 2, -1, 1}}

^{2) Determine o conjunto solução de cada uma das equações:}

a) x⁴ - 3x² - 4 = 0

b) x⁴ - 8x² + 16 = 0

Resposta:

a) x⁴ - 3x² - 4 = 0  

      

x² =y

( x² )²- 3x² - 4 = 0

  y² -3y - 4 =0

  

b) x⁴ - 8x² + 16 = 0

x⁴ - 8x² + 16 = 0

( x² )² -  8x² + 16 = 0             transformando   (  x² = y  )

  y² - 8y  + 16 =0

SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU

É todo sistema de equação em que aparece uma equação do segundo grau ou no qual sua resolução nos leva a uma equação do 2º grau.

Para resolver um sistema de usarmos o método da substituição.

Exemplos:

a) Um retângulo tem x e y de lado, e que o  perímetro desse  retângulo mede 32cm e sua área é 60cm². Quais as dimensões desse retângulo?

Perímetro: x + x + y + y = 2x + 2y

Área : x . y

Montando o sistema:

Resolução:

Dividindo ambos membros da primeira equação por 2;

2x +2y =32  (:2)

x+y=16

Pegando a primeira equação e isolando y;

x+y =16

y=16-x

substituindo na segunda equação;

x.y = 60

x.(16-x)=60

16x – x² = 60  (organizando a equação e zerando)
 – x² +16x - 60 =0  (multiplicando toda equação por -1)

x² - 16x + 60=0

RESOLUÇÃO:
Termos da equação
a=1; b= -16 e c= 60

Usando a fórmula de Bhaskara. Lembrando a fórmula;

As medidas desse retângulos são 6cm e 10cm.

b) Resolver o sistema:

Resolução:

x= {-1, 3}

Vamos determinar os valores de y.Para isso é só substitui em uma das equações os valores encontrados para x.

x+y=4

3 + y = 4

y=4-3

y=1

quando x for 3, y é 1

x+y=4

-1 + y = 4

y=4+1

y=5

quando x for (-1), y é 5

S: (3, 1); (-1, 5)

c) Resolver os sistemas abaixo relacionados:

Resoluções

A 1º equação isolando x no primeiro membro.
x=1+y (substituindo na 2ª equação)
xy=30
(1+y)y=30

y+y²=30

y²+y-30=0

Substituindo o valor de y' e y'' na 1ª equação, encontramos o valor de x.

x-y=1

x-5=1

x'=1+5

x'=6

x-y=1

x-(-6)=1

x+6=1

x''=1-6

x''=-5

Resposta: (6, 5)(-5, -6)

isolando x da 1ª equação, e substituindo o resultado na 2ª equação.
x=6-y 
xy=5
(6-y)y=5

6y-y²=5

-y²+6y-5=0 (-1)

y²-6y+5=0

termos: a=1; b=-6 e c=5

Encontrando o valor de x.

x+y=6

x+5=6

x'=6-5

x'=1

x+y=6

x+1=6

x''=6-1

x''=5

Resposta:(1, 5) (5, 1)

isolando x da 1ª equação, e substituindo o resultado na 2ª equação.
x=3-y 

x²+y²=5

(3-y)²+y²=5

2y²-6y+4=0  (dividindo tudo por 2)

y²-3y+2=0

termos: a=1; b=-3 e c=2

x+y=3

x+2=3

x=3-2

x'=1

x+y=3

x+1=3

x=3-1

x''=2

Resposta: (1, 2) (2, 1)