EXERCÍCIOS: PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.)

Um pequeno exercício de P.A. assunto visto no Ensino Médio.
1) Qual a razão de uma P.A. em que a₂₀ = 192 e a₁ = 2?

2) Determine o décimo sétimo termo da P.A. (-6, -1, 4, ...)

3) Determine a soma dos 25 primeiros termos da P.A. ( -7, -9, -11, ...)

4) Determine o primeiro termo e o número de termos de uma P.A. em que: S_n = 69, r = 3 e o último termo é 19.

5) Escreva uma P.A. de três termos, de modo que sua soma seja igual a -3 e seu produto seja igual a 8.

SOLUÇÃO:
1)
Dados:
a₂₀ = 192  
a₁ = 2
r = ?

Usando a formula geral da P.A.
a_n = a₁ + ( n - 1 ) . r  
192 = 2 +( 20 - 1) . r
192 = 2 +( 19) . r
192 = 2 + 19r
19r = 192 - 2
19r = 190

2)
Dados:
a₁ = -6  
r = 5    (a₂ - a₁ = -1 - (-6) =5)
a₁₇ = ?
a_n = a₁ + ( n - 1 ) . r 
a₁₇ = -6 + ( 17 - 1 ) . 5 
a₁₇ = -6 + ( 16 ) . 5
a₁₇ = -6 +  80
a₁₇ = 74

3)
Dados:
a₁ = -7  
r = -2    (a₂ - a₁ = -9 - (-7) = -2)
a₂₅ = ?
s₂₅ = ?

Primeiro vamos calculamos a₁₀ :
a_n = a₁ + ( n - 1 ) . r 
a₂₅ = -7 + ( 25 - 1 ) . (-2) 
a₂₅ = -7 + ( 24 ) . (-2)
a₂₅ = -7 +  (-48)
a₂₅ = -55
a₂₅ = -55

Empregamos a fórmula da soma:

4)
Dados:
r = 3
S_n = 69 
a₁ = ?
n=?

Usando fórmula geral
a_n = a₁ + ( n - 1 ) . r 
19 = a₁ + (n - 1) . 3
19 = a₁ + (3n - 3) 
a₁ = 3 +19 -3n
a₁ = 22 -3n     substituindo na fórmula da soma da P.A.

Substituindo os valores encontrados.

solução: a₁ = 4 e n= 6

5)
Soma dos três termos ( x - r, x, x+r)
Produto dos três termos: (x-r) . x . (x +r)

x- r + x + x + r = - 3
3x = -3

(x-r) . x . (x +r)=8
x . (x² –r²)=8      substituindo x por -1
-1.((-1)² –r²)=8

-1 –r² = -8
r²-9 =0
r²= 9

r'= 3
r'' = -3

Solução: 
quando r = 3
x - r, x, x + r
{-1 -(3)}, -1, {-1 + 3}
{-4, -1, 2}

quando r = -3
x - r, x, x + r
{-1 - (-3)}, -1, {-1 + (-3)}
{2, -1, -4}

PROGRESSÃO ARITMÉTICA

RESUMO

Progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com um número fixo, chamado de razão ( r).

SEQUÊNCIA

P.A (a₁, a₂, a₃, ..., a_n)
Exemplo: ( 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... )  Sequência, o próximo número da sequencia é formado a partir do primeiro somado com 2, e assim sucessivamente.
1+2=3
3+2=5
5+2=7

RAZÃO

a₂ –  a₁= a₃ – a₂ = a₄ – a₃ =  ... = a_n – a_n-1 = r
Para determinar a razão de uma progressão Aritmética é só subtrair o 2º termo pelo 1º.

Exemplo: ( 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... ) 
3 - 1 = 2
5 - 3 = 2
7 - 5 = 2
r = 2

TERMO GERAL

a_n = a₁+ (n - 1) . r      ou   a_n = a_m+ (n - m) . r 

Significados das letras:
a_{n : termo geral}
a_{1 : primeiro termo
n : número de termos
r : razão}

Exemplo: Determine o vigésimo termo da P.A (1, 8, 15, ...)
a₁ = 1

r = 8 - 1 = 7
a_n = a₂₀

 a₂₀ = 1 + ( 20 -1 ) . 7
a₂₀ = 1 + ( 19 ) . 7
a₂₀ = 1 + 133
a₂₀ = 134

SOMA DOS TERMOS

Significados das letras:
a_{n : enésimo termo}
a_{1 : primeiro termo
n : número de termos}
S_{n : soma dos n termos}

Exemplo: Determine a soma dos dezoito primeiros termos da P.A. (1, 4, 7, ...)

a₁ = 1

r = 4 - 1 = 3
a_n = a₁₈

 a₁₈ = 1 + ( 18 -1 ) . 3
a₁₈ = 1 + ( 17 ) . 3
a₁₈ = 1 + 51
a₁₈ = 52

TRÊS TERMOS EM P.A;

(x -r, x, x + r)


Classificação da progressão Aritmética:
Crescente ( r >0 ) quando a razão for positiva: ( 4, 8, 12, ...)
Decrescente ( r < 0 ) quando a razão for negativa: ( 12, 8, 4, ... )
Constante ( r = 0 ) quando a razão for igual a zero: ( 8, 8, 8, ... )

EXERCÍCIOS: SISTEMA LINEAR

Nesta postagem vamos resolver um pequeno exercício que trata de sistema linear, assunto do Ensino Médio.

É chamado de sistema linear um conjunto de duas ou mais equações:

Quando o sistema têm apenas duas equações, o aluno pode usar algum dos métodos estudado no Ensino Fundamental ( Sistema de 1º grau). Quando o sistema têm mais de duas equações, ele pode usar a Regra de Cramer ou o escalonamento. 

Aqui vamos usar apenas a Regra de Cramer, para mostrar ao aluno como é feito a resolução:

1) Resolva os sistemas linear:

Separamos os coeficientes em barras e multiplicamos os números cruzados. O produto ( resultado) da esquerda troca-se os sinais. O produto (resultado) da direita não troca os sinais. 

-(1 . 1)  + (2 . 3)

      -1   +   6

Troca-se a 1ª coluna para encontrar D_x 

troca-se a 2ª coluna para encontrar D_y

Solução: { 3, 4}

Solução: {2, 1 }

Os sistemas acima o aluno pode resolver usando os conhecimentos adqueridos na 6ª série (7º ano) do Ensino Fundamental.

Observe que a 1ª e a 2º coluna foram repetidas

- (-3. +9 +8 )   + ( 3 + 4 - 18)

( -9 - 8 - 18 )   + ( 3 + 3 + 4)

          -35     +     10

       -18   +3   +20      -1     -24   +45

     +15  -18    -2    +15  +1   -36

  -1   -45     -48      +18   +20   +6

Solução: {-1, 1, 2 }

Agora é com vocês:

1) Encontre a solução dos seguintes sistemas abaixo:

NÚMEROS DECIMAIS

São números que vem acompanhados por uma vírgula.

Exemplos: 
a) 0,5              
b) 0,23                
c) 1,25                  
d) 2,75
e) R$ 7,25

Observação: Os números decimais são formados por duas partes:
A parte que fica antes da vírgula, isto é, a esquerda da vírgula é chamada Parte Inteira.

Exemplos:
a) 0,5                          
b) 1,25                        
c) 2,75

A parte que fica depois da vírgula, isto é, a direita da vírgula é chamada Parte Decimal.

Exemplos:
a) 0,5                            
b) 1,25                        
c) 2,75

PROPRIEDADES DOS NÚMEROS DECIMAIS

1ª) Um número decimal não se altera quando acrescentamos ou retiramos um ou mais zero à direita de sua parte decimal.
3,5 = 3,50 = 3,500= 3,5000 ...

O aluno poderá fazer a experiência digitando esses ou outros números decimais em uma calculadora e apertando a tecla de  =   e observe o resultado apresentado pela calculadora. Os zeros da parte decimal desaparecem.

2ª) Para multiplicar um número decimal por 10, 100, 1000, ... basta deslocar a vírgula para direita, uma casa, duas casas...

 Exemplos:
a) 2,756 x 10 = 27,56
b) 2,756 x 100 = 275,6
c)2,756 x 1000 = 2756
d) 2,756 x 10000 = 27560
e) 2,756 x 100000 = 275600

3ª) Para dividir um número decimal por 10, 100, 1000, ... é só deslocar a vírgula para a esquerda, uma, duas, três, ... casas decimais.

Exemplos:
a) 15,6 : 10 = 1,56
b) 2593,1 : 100 = 25,931
c) 39874,3 : 1000 = 39,8743
d) 27563 : 10000 = 2,7563
e) 27,56 : 100000 = 0,0002756

COMPARANDO NÚMEROS DECIMAIS

1º) quando dois números decimais tem parte inteira diferentes, o maior é aquele em que a parte inteira for maior.

Exemplos:
a) 2,7 > 1,9          pois 2 é maior do que 1
b) 5,3 > 4,8          pois 5 é maior do que 4
c) 2,56 < 3,01      pois 2 é menor que 3

2º) Quando as partes inteiras são iguais, igualamos o número de casas decimais, acrescentado zeros, o maior é aquele que tem maior parte decimal.

Exemplos:
a) 3,65 > 3,5    igualando com zero  
 3, 65 > 3,50    como 65 é maior do que 50

b) 2,542 < 2,6    igualando com zeros
2,542 < 2,600    como 542 é menor do que 600

ESCREVENDO NÚMEROS DECIMAIS EM FORMA DE FRAÇÃO

Para escrever números decimais na forma de fração, basta retirar a vírgula, no número que vai para o numerador, e para o denominador o número 1 acompanhado de tantos zeros quanto for a parte decimal.

Exemplos:

OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS

ADIÇÃO

Para adicionar dois ou mais números decimais é só coloca-se vírgula debaixo de vírgula, e opera-se como se fossem números inteiros.

Exemplos: calcule:
a) 16,9 + 7,6
b) 35,2 + 9,8
c) 0,85 + 1,376
d) 43,21 + 3,423 + 0,59

Soluções:

a) 16,9
    +7,6
    24,5

b) 35,2
+    9,8
    45,0

c) 0,85
  +1,376
   2, 226

d) 43,21
       3,423
    + 0,59     
     47,223



SUBTRAÇÃO

Coloca-se vírgula debaixo de vírgula, completando as casas decimais com zeros e efetua a operação como se fossem números inteiros.

Exemplos: Calcule
a) 36,4 - 9,7
b) 2,6 - 1,234
c) 25 - 18,25
d) 0,533 - 0,3

soluções

a) 36,4
   -  9,7
    26,7

b) 2,600
  - 1,234
    1,366

c) 25,00
  - 18,25
      6,75

d) 0,543
 -  0,300
    0,243



MULTIPLICAÇÃO

Multiplica-se como se fossem números inteiros.
    4,6
 x 2,8
   368
+92    
 1288

Observe que nos fatores temos duas casas decimais, representados pelos números coloridos
    4,6
 x 2,8
   368
+92    
 1288

Da direita para esquerda pulamos duas casas no resultado (produto), e colocamos a vírgula.
    4,6
 x 2,8
   368
+92    
 12,88

Outros exemplos:
a) 7,25 x 0,6
b) 0,96 x 0,5
c) 5,73 x 0,34

soluções

a)
 7,25
x 0,6 
4,350

b)
  0,96
x  0,5  
 0,480

c)
     5,73
  x 0,34  
     2292
+ 1719   
   1,9482

DIVISÃO

Iguala-se as casas decimais do dividendo e do divisor e efetua como se fossem números inteiros.

Exemplos:
a) 37,78 : 1,6
b) 48,7 : 0,8
c) 7 : 0,14

soluções
a)

b)

c)