EXERCÍCIOS- EQUAÇÕES EXPONENCIAIS

Para a resolução de equações exponenciais o aluno precisa saber as propriedades das potências, além de alguns artifícios utilizados. Nos exercícios abaixo vamos utilizar três tipos de resoluções, um para cada questão:

1) Determine o conjunto verdade das equações exponenciais:
a) 2^x = 8
b) 2^x = 64
c) 25^x = 125

d) 7^x = 343

2)Determine o conjunto verdade das seguintes equações exponenciais:
a) 3^x+1 + 3^x+2=12
b) 2^{x +1} + 2^{x + 3} =20
c) 7^x-1 +7^x+1=50
d) 5^x-1 +5^x-3=26

3)Determine o conjunto verdade das seguintes equações exponenciais:
a) 2^2x – 9.2^x + 8 =0
b) 4^x – 3.2^x + 2 =0

c)25^x – 30.5^x = -125

RESPOSTAS:

1) Questão:

1º tipo de resolução:

Para resolver esse tipo de equações exponenciais as bases devem ser iguais, para isso igualamos as bases.

a)
2^x = 8        (fatorando o 8 para igualar as bases);

2^x = 2³      (agora igualando os expoentes);

x=3

s={3}  ( solução ou  conjunto verdade)

b) 

2^x = 64     (fatorando o 64 e igualando as bases); 

2^x = 2⁶       (igualando os expoentes);

x=6

s={6}

c) 

25^x = 125      (fatorando os dois membros para igualar as bases )

(5²)^x = 5³         (igualando os expoentes)

2x = 3

d) 
7^x = 343  

7^x = 7³

x= 3  

s={3} 

e)

2^x = 2^-5

x= -5

s={-5}



2) Questão

2º tipo de resolução:

Trocamos  uma variável (letra) por outra variável, que chamamos de mudança de base.
Estudem as propriedades das potências: (a^m .aⁿ = a^m+n)

a) 
3^x+1 + 3^x+2=12               (separando cada termo com potência de mesma base);

3^x . 3¹ + 3^x . 3²=12        ( troco 3^x  por uma letra qualquer. Usando  y, ficando assim: 3^x= y);

y . 3¹  +  y . 3²=12          (substituindo na equação y por 3^x );

3y + 9y = 12

12y = 12

      
                      (substituindo y=1 para obter o valor de x)



 3^x= y
3^x = 1  

3^x = 3⁰      

 x= 0                  (igualando os expoentes)

s={ 0}

b) 

2^{x +1} + 2^{x + 3} =20       (separando cada termo com potência de mesma base);

2^x . 2¹ + 2^x .2 ³ =20   ( trocando 2^x  por  y, ficando assim: 2^x= y);

y . 2¹ +  y .2 ³ =20

2y  +  8y  =  20

10y = 20

     



2^x= y 
2^x= 2

2^x=2¹

x=1

S={1}

c) 
7^x-1 +7^x+1=50

7^x . 7^-1 +7^x. 7¹=50     ( substituindo: 7^x =y )

 y . 7^-1 +y. 7¹=50

7^x =y 

7^x=7

7^x =7¹

x=1     (igualando os expoentes)

S={1}

d) 

5^x-1 +5^x-3=26   
  

5^x . 5^-1 +5^x . 5^-3=26 

   













5^x =y

5^x = 125

5^x = 5³

x = 3

S={3}


3) questão:

3º tipo de resolução:

Além, de fazer a troca de um variável  por outra variável ( mudança de base)  resolver-se a equação do do 2º grau.

a)

2^2x – 9.2^x + 8 =0

(2^x)² – 9. 2^x + 8 = 0        ( 2^x = p )

p² – 9p + 8 = 0     resolvendo a equação do 2° garu

p' = 9+7     =  8
         2


p'' = 9 - 7   = 1
           2


2^x = p    fazendo a substituição

2^x = p'
2^x = 8

2^x = 2³

x= 3

2^x = p''
2^x = 1

2^x = 2⁰

x= 0

S={0, 3}

b)

4^x – 3.2^x + 2 =0

(2^x)² – 3. 2^x + 2 = 0        ( 2^x = p )

(p)² – 3.p + 2 = 0 

    

p'= 3 + 1  = 2

         2
p'' = 3 - 1 = 1
           2

 2^x = p

2^x=p'

2^x=2

2^x = 2¹

x=1

2^x = p

2^x=p''

2^x=1

2^x = 2¹

2^x = 2⁰

x=0

S={0, 1}

c) 

25^x – 30.5^x = -125

(5^x)² – 30. 5^x + 125 = 0        ( 5^x = p )

(p)² – 30.p + 125 = 0 

p' =  30 + 20  = 25
             2

p'' = 30 - 20  = 5
            2




 5^x = p

5^x = p'

5^x = 25

5^x = 5²

x = 2 

 5^x = p
5^x = p''

5^x = 5

5^x = 5¹

x = 1

S={1, 2} 

Agora é com vocês:

1) resolva as equações exponenciais abaixo, depois confira o resultado pra ver se acertou:

a) 4^x=16

b) 25^x = 625

c) 2^x+2 + 2^x-1 = 18

d) 4^x – 12. 2^x = - 32

Respostas:

a) S={2}

b) S={2}

c) S={4}

d) S={2,3}