PROBABILIDADES

Resumo de Probabilidade.

Probabilidade é a possibilidades de ocorre ou não de um determinado resultado feito através de experimentos aleatórios, trata-se portanto de uma medida de incerteza dos fenômenos aleatórios.

EXPERIMENTO ALEATÓRIO

Consideramos como experimentos aleatórios aqueles que, repetidas vezes em condições idênticas, produzem resultados que não podem ser previstos com exatidão.

Exemplos:
a) Lançar um dado e observar a face voltada para cima.
b) Lançar simultaneamente três moedas e observar as faces voltadas para cima.

ESPAÇO AMOSTRAL

Podemos definir o espaço amostral como sendo o conjunto universo de todas dos possíveis resultados, feitos num experimento aleatório.

Exemplos: 
a) Ao lançar um dado podemos ter qualquer uma das seis faces voltadas para cima:
U={ 1, 2, 3, 4, 5, 6 } = 6

b)  Ao lançar duas moedas para cima, o espaço amostral pode ser. Vamos representar as moedas por cara (c) e coroa (k)
U = { (c,c), (c,k), (k,k), (k,c) } = 4

EVENTO

É qualquer subconjunto do espaço amostral.

Exemplo:
* No laçamento de um dado
a) obter um número par: A={2, 4, 6 }

b) obter um número primo: B={ 2, 5}

COMO CALCULAR PROBABILIDADE

As probabilidades podem ser escritas na forma de fração, de decimais e de percentuais

Qual a probabilidade de ocorrer um evento A, contido em U
Pode ser definida por P(A) 

Exemplos:

a) Lançando-se um dado, a probabilidade de sair um número par com a face voltada para cima é:
U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
A = { 2, 4, 6 }

U = 6
A = 3

Para transformar em decimal, dividimos 1 por 2
1/2 = 0,5
0,5

Para transformar em percentual, multiplica-se por 100
0,5 x 100 = 50
50%


b) Qual a probabilidade de ocorrer um número primo no laçamento de um dado:

U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
A = { 2, 5 }

U = 6
A = 2

Observação:
Tipos de eventos:
a) Evento certo: 
Quando o evento não é um subconjunto vazio do espaço amostral. É um evento que podemos garantir que esse evento ocorrerá.

Um dado é lançado para cima, qual a probabilidade de sai um número ímpar:
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
A = { 1, 3, 5 } = 3


b) Evento impossível:
São alguns eventos que nunca ocorrerão.

Um dado é lançado para cima, qual a probabilidade de sai um número maior que 6:
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
A= { } = zero

PROBABILIDADE CONDICIONAL

Probabilidade de ocorrer o evento A, tendo ocorrido o evento B.

Multiplicação de probabilidades.

   Eventos independentes.



Agora é com vocês:

1) Na escolha de um número de 1 a 30, qual a probabilidade que seja sorteado um múltiplo de 5?

2) No lançamento de dois dados simultâneo, qual a probabilidade de obter a soma 7?

3) Em uma caixa tem 3 bolas vermelhas e 3 bolas brancas. Ao retirar uma bola dessa caixa, qual a probabilidade de:
a) tirar uma bola vermelha?
b) tirar uma bola branca?

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PROBABILIDADE

Quando se faz experiências aleatórias como: Lançar um dado e observar o número da face de cima ou lançar duas moedas e observar as sequencias de caras e coroas. Na Matemática é chamado de EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS.

ESPAÇO AMOSTRAL

Chamamos de espaço amostral, e indicamos por U, um conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.

A probabilidade de ocorrer um evento A pode ser indicada por P(A) (lê-se P de A). Isso corresponde à razão entre o número de resultados favoráveis n(A) e o número dos elementos do espaço amostral n(U).

Exemplo:
1........U={bola branca, bola vermelha}.
2........U={cara, coroa}.


Vejamos um exemplo com moedas:

Exemplo₁

_{Lançando duas moedas, qual a probabilidade de obtermos cara em ambas?}

_Solução:

_{K=cara C=coroa}

_{Espaço amostral U={(C,C), (C, K), (K,C), (K,K)} 

_{n= 4}

_{Evento A;} 

_{A={K, K)}}    

_{n(A) = 1}

Observação: A probabilidade pode ser escrita na forma de fração ou porcentagem.

Exemplo₂

_{Lançando-se um dado, a probabilidade de sair um número ímpar na face voltada para cima é de:}

_{U={1, 2, 3, 4, 5, 6}}

_{A= {1, 3, 5}}

_{TIPOS DE EVENTOS}

_{Experimento de lançamento de um dado, temos: {1, 2, 3, 4, 5, 6}}

    _{EVENTOS                           PROPRIEDADE}

A={1, 3, 5}------------------- o número de face é ímpar.

B={1, 2, 3}-------------------o número de face é menor que 4. 

a) EVENTO CERTO - probabilidade é de 1% ou 100%, já que o espaço amostral é subconjunto dele mesmo. Temos que U é também o evento. {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

b) EVENTO IMPOSSÍVEL- existem alguns eventos que nunca ocorrerão. A probabilidade de acontecer um evento impossível é sempre zero.

Um dado com suas faces numerada {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Qual é a probabilidade de ser sorteada uma face maior que 6?

A=0

c) EVENTO UNIÃO- Dado os eventos A e B, chama-se união de A e B  ao evento formado pelos resultados de A ou de B.  (A U B).

A ----------ocorrência de um número ímpar   A={1, 3, 5}

B-----------ocorrência de um número primo par   B={2}

A U B = { 1, 2, 3, 5}

d) EVENTO INTERSECÇÃO- Dado os eventos A e B, chama-se intersecção de A e B  ao evento formado pelos resultados de A ou de B.  (A N B).

A ----------ocorrência de um número par ---------------------  A={2, 4, 6}

B-----------ocorrência de um número múltiplo de  4 --------- B={4}

 (A N B) = {4}