INEQUAÇÃO

São sentenças matemáticas que contém um ou mais elementos desconhecidos e representa uma desigualdade.

Exemplos:

a) 3x > 2 1 -------------→ é uma inequação pois tem elemento desconhecido e representa uma desigualdade.

b) 1- 4x < x + 2 ----------→ é uma inequação pois tem elemento desconhecido e representa uma

                       3
desigualdade.

c) (2 + 10) : (2 + 4) < 2 + 10 : 2 + 4 ------------→é uma desigualdade, mas não é uma inequação, pois não possui elementos desconhecidos.

DESIGUALDADE: ( a<b ) ou (a>b)
Em uma sentença matematica em que se usa ≠ (diferente de) é  Se a≠b, logo a poderá ser a>b ou a<b.

Exemplos:

a) 3+ 7 ≠ 12-----------→ a soma de três e sete é diferente de doze: 3+7 < 12

b) 4² ≠3² --------------→ o quadrado de quatro é diferente do quadrado de três: 4² > 3²  

Assim como nas equações de 1º grau (igualdades), as desigualdades também têm dois membros:

Exemplos:
a)3+7 < 12    
      a        b

 b) 4² > 3²

    a        b

PROPRIEDADES DAS DESIGUALDADES

Se a>b e b>c, então a>c               Se a<b e b<c, então a<c

OBS: As propriedades reflexiva e simétrica, não serve para as desigualdades, sendo assim, são consideradas falsas as senteças do tipo:

Se a>a, então a<a
Se a>b, então b>a ou se a<b então b<a.

PRINCÍPIO ADITIVO

Ao adicionar um mesmo número aos dois membros de uma desigualdade, obter-se uma nova desigualdade:  a+b > c →  a+b+d >c+d. obter-se uma nova desigualdade de mesmo sentido que a primeira.

Exemplos:

a) 16 > 14
 16+4 > 14+4
    20    >  18

c) 5 < 8
5+(-9)<8+(-9)
      - 4 < -1

   

PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO

Ao multiplicar um mesmo número aos dois membros de uma desigualdade, pelo mesmo número, obter-se uma nova desigualdade:  a+b > c   --→  a+b+d> c+d. obter-se uma nova desigualdade de mesmo sentido que a primeira.

 Exemplos:

a)     13  >   4
     13 . 2 > 4 . 2 ------→ mesmo sentido
          26 > 8

b)  -5 > - 7
-5 . (+3) > -7 . (+3) -----→ mesmo sentido
         -15 > - 21

c)   3 < 8

3 . 5 < 4 . 5 -------→ mesmo sentido
   15 < 20

d)  – 4 < - 1

     - 4 . (+3) < - 1 . (+3) ------→mesmo sentido 
               -12 < - 3

As desigulades tem o mesmo sentindo daquelas iniciais quando multiplica-se ambos membros por um número positivo qualquer.

Veja o que acontece quando multiplicamos ambos membros da desigualdade por um número negativo qualquer.

Exemplos:

a) 12 > 10
12 . (-1) < 10 . (-1) ------→ mesmo sentido
        -12 < -10

b) -6 <- 4

-6 . (-2) > - 4 . (-2) -------→ sentido invertido
       +12 > +8

Observação:
Quando multiplica-se por um mesmo número negativo qualquer os dois membros da desigualdade, obtêm se uma nova desigualdade com sentido invertido. Veja o exemplo da letra b.

INEQUAÇÕES DO 1º GRAU COM UMA INCÓGNITA

São inequações do 1º grau quando assume uma das formas: ax > b, ax < b, ax > b, ax < b com a ≠ 0.

Exemplos:

a) 5x >1
b) 2y < -10

1.Resolver a inequação: x +15 >21
x +15 >21
x > 21 – 15
x > 6

2.Resolver a inequação: x – 18 < -23
x – 18 < -23
x  < -23 + 18
x  < - 5

3.Resolver a inequação: 17 – x < 30
17 – x < 30
– x < 30 – 17
– x <  13   (-1)
x > -13     ao multiplicar por -1 além de alterar o sinal da incógnita (x) o sinal de <, também mudar.

4.Resolver a inequação: 11 –9x > 2x

11 –9x > 2x
-9x > 2x -11
-9x-2x >  -11
-11x >  -11   (-1)
11x <  11  ao multiplicar por -1 além de alterar o sinal da incógnita (x) o sinal de >, também mudar.
x < 11
     11
x < 1

 5.Resolver a inequação: 8x + 19 < 10x + 11

8x + 19 < 10x + 11
8x - 10x <  11 – 19
- 2x < - 8    (-1)  ao multiplicar por -1 além de alterar o sinal da incógnita (x) o sinal de < , também mudar.
2x >  8
X > 8
      2     
x > 4