SISTEMA DE EQUAÇÃO DO 2° GRAU

 1) Resolver os seguintes sistemas de equações nas incógnitas x e y.

Como x já esta isolando na primeira equação: x=2y, vamos substituir na segunda equação.

x + y² = 35 

2y + y² = 35   

organizando e resolvendo a equação do 2° grau

 y² + 2y – 35= 0

a= 1      b= 2      c = – 35

Quando y é 5,  x vai ser

 x= 2y 

x= 2. 5 

x= 10

Quando y é   – 7, x vai ser,

x= 2y 

x= 2 . (– 7) 

x = –14 

S = ( 10, 5); (–14, – 7)

Isolando y na primeira equação e substituindo na segunda.
y = 9 - x

xy = 14

x(9 - x) = 14

9x – x² = 14     organizando e igualando a zero   – x² + 9x – 14 = 0     

– x² + 9x – 14 = 0   para mudar o sinal de a, multiplico por ( -1)

x² – 9x + 14 = 0 

a = 1      b= – 9        c= 14

Quando x é 7, y é;       

 y= 9 – x                          

y= 9 – 7                        

y= 2

Quando   x é  2    y  é;     

y= 9 – 2                    

y = 7                            

S = ( 7, 2); ( 2,  7)

Como x esta insolado na primeira equação: x = 5 - 2y

y² – 7 = – 3(5 - 2y)

 y² – 7 = – 15 + 6y     organizando

y² – 6y – 7 + 15 =0                   y² – 6y  + 8 =0          a= 1     b = – 6      c = 8

Quando y é 4  x vai ser, 

 x= 5 – 2y                

x= 5 – 2.4     

x = 5 – 8    

x = - 3

Quando y é 2 x vai ser;     

 x= 5 – 2y            

 x= 5 – 2.2   

 x = 1     

  S = ( 1, 2); ( -3, 4)

 Insolando y na primeira equação: y = 4 – x, e substituindo na segunda.

x² – xy = 6

x² – x(4 – x) = 6                                   x² – 4x + x² = 6       igualando a zero

2x² – 4x – 6 = 0    dividindo tudo por 2

x² – 2x – 3 = 0                                          a = 1        b =  – 2         c = – 3

Quando x é 3, y vai ser;    

y = 4 – x                

 y = 4 – 3                    

 y= 1          

Quando x é –1, y vai ser;

y = 4 – ( –1)            

 y= 5            

 S = ( 3, 1); (–1, 5)

SISTEMAS DE EQUAÇÃO DO 2º GRAU: EXERCÍCIOS

1) Resolver os sistemas abaixo:

2) A soma das áreas de dois quadrados é 52cm²  Sabendo que a diferença entre as medidas dos lados desses quadrados é 2 cm, calcule a área de cada quadrado.

3) A diferença entre as idades de Pedro e Joana é 5 anos, e o seu produto é 84. Qual a idade de cada um?

4) A soma de dois números é 28, e diferença entre o quadrado do primeiro e o quadrado do segundo, nessa ordem, é 56.

5) Determine dois números inteiros e positivos tais que o produto entre eles seja 140, e a diferença entre eles seja 4.


RESOLUÇÃO:
Vamos usar o método da substituição. Qualquer dúvida vá até a postagem SISTEMA DE EQUAÇÃO DO 2º GRAU, lá tem um resumo passo a passo de como se resolve um sistema do 2º grau.

1)


Como x é igual a 2y, é só substitui na segunda equação.

x=2y

x + y²   = 35

2y + y²   = 35   organizando temos uma equação do 2° grau

y²  + 2y – 35 = 0

 
a= 1; b= 2 ;  c= -35

Encontrando o valor de x.
x= 2y
x= 2.5
x=10

x=2y
x=2 .(-7)
x= -14
Solução: (10,5); (-14, -7)






x = 9 - y  ( substituindo x na 2ª equação)

xy = 14

(9-y).y =14

9y – y² = 14

– y² + 9 – 14 = 0    (multiplicando por -1 ).

 y² - 9 + 14 = 0 

a= 1; b= -9; c= 14

Encontrando o valor de x.

x = 9 - y
x = 9 - 7
x = 2

x = 9 - y
x = 9 - 2
x = 7

Solução: (2, 7); (7, 2)






x = 5 - 2y   ( substituindo na 2ª equação)

y²  = 7 – 3x

y²  = 7 – 3.(5 – 2y)

y²  = 7 – 15 + 6y  ( organizando)

y²  - 6y + 8 = 0 

a= 1; b = - 6; c = 8

Encontrando o valor de x.

x = 5 - 2y
x = 5 - 2.4
x= -3

x = 5 - 2y
x = 5 - 2.2
x=1

Solução: (-3, 4); ( 1, 2)







x = -17 + 2y     ( substituindo na 2ª equação)

y²  + 5x= -29

y²  + 5( - 17 + 2y) = -29

y²  - 85 + 10y = -29

y²  + 10y - 85 + 29  = 0

y²  + 10y - 56  = 0

a=1; b= 10; c= -56

x = -17 + 2y   ( encontrando o valor de x. )
x = -17 + 2.4
x = -17 + 8
x= -9

x = -17 + 2y
x = -17 + 2 . (-14)
x = -17 - 28
x= - 45

Solução: (-9, 4); ( -45, -14)


2) A soma das áreas de dois quadrados é 52cm²  Sabendo que a diferença entre as medidas dos lados desses quadrados é 2 cm, calcule a área de cada quadrado.

Dados:
Vamos chamar os quadrados de x e y.

       x . x = x ²                y . y =  y²
Para calcular a área de um quadrado multiplicamos a base vezes altura.
Montando o sistema:

isolando x na 2ª equação e substituindo na 1ª

x = 2 + y

 y²  + y²  = 52

(2+y)²  + y²  = 52

4 + 4y + y²  + y²  = 52

2 y² + 4y + 4  - 52 = 0

2 y² + 4y - 48 = 0  Simplificando por 2

 y² + 2y - 24 = 0  

a= 1; b= 4; c = -24

Encontrando o valor de x.

x = 2 + y

x = 2 + 4

x= 6

x = 2 + y

x = 2 + ( - 6)

x = 2 - 6

x = - 4

(6, 4)

Para a questão só interessa o números positivos.
O quadrado maior tem área igual a 36 cm²
O quadrado menor tem área igual a 16 cm² 


3) A diferença entre as idades de Pedro e Joana é 5 anos, e o seu produto é 84. Qual a idade de cada um?

Solução:

x a idade de Pedro
y a idade de Joana

x = 5 + y

xy = 84

(5 +y) y = 84

5y + y² = 84

 y² + 5y - 84= 0

a= 1; b=5; c= - 84

x = 5 + y    ( encontrando o valor de x)

x = 5 + 7

x = 12

Observação: Os números negativos não serve para esse tipo de pergunta.
Solução: Pedro têm 12 anos e Joana têm 7 anos



4) A soma de dois números é 28, e diferença entre o quadrado do primeiro e o quadrado do segundo, nessa ordem, é 56.

Montando o sistema:

x = 28 - y         ( isolando x)

x² – y² = 56      ( substituindo na 2ª equação)

(28 - y)² – y² = 56

784 – 56y + y² –y² = 56    ( cancelando + y² –y²)

-56y = 56 – 784

-56y = - 728

    y = -728    
          - 56

y = 13

Encontrando o valor de x.

x = 28 - y  
x = 28 - 13
x= 15

Solução: ( 15, 13)


5) Determine dois números inteiros e positivos tais que o produto entre eles seja 140, e a diferença entre eles seja 4.

Montando o sistema:


isolando x na 2ª equação e substituindo na 1ª equação
x= 4 + y

xy = 140

(4 + y).y = 140

4y + y² = 140

y² + 4y – 140 = 0 

a=1; b= 4; c= -140

x= 4 + y

x= 4 + 10

x= 14

Solução ( 14, 10)