POLINÔMIOS

Expressões algébricas ou literais são toda expressão matemática que apresenta números e letras ou somente letras.

Exemplos:

a) x – y=10
b) 3x + 2y
c) 4x-3

As letras que estão acompanhadas de números ou sozinhas são chamadas de variáveis.

Estudo dos polinômios

 

Monômio é toda expressão representada apenas por números ou apenas por uma letra (variável) ou por um produto entre constantes e variáveis.

Exemplos:

a) 5y               (5 é o coeficiente e y é a parte literal).       
b) 6xyz          ( 6 é o coeficiente e xyz é a parte literal).
c) -17            (coeficiente não tem parte literal).
d) –x             (coeficiente -1, parte literal x).
e) y               (coeficiente 1, parte literal y).
f) 0x              (coeficiente 0, parte literal x monômio nulo).

 

Monômios semelhantes

Os monômios que possuem a mesma parte literal são chamados de monômios semelhantes.

a) 8xy  e -10xy → parte literal xy.
b) -5x²y³  e  x²y³ →parte literal x²y³.

Grau de um monômio

O grau de um monômio pode ser identificado de duas maneiras.

1º pela soma dos expoentes das variáveis.

■3x²y⁴y →(2+4+1) é do 7º grau.

■2y⁶ →é do 6º grau.

■ 8 →é do zero grau.

2º o grau de um monômio pode ser dado em relação a uma de suas  variáveis.

■x²y →do 2º grau em relação a x.

■ x²y →do 1º grau em relação a y.

 

OPERAÇÕES COM MONÔMIOS

ADIÇÃO ALGÉBRICA DE MONÔMIOS

Quando as partes literais são semelhantes soma algebricamente os coeficientes, e repete-se a parte literal.

Exemplos:

a) 6xy +2xy+xy=  9xy 

                          

b) 4yz – yz = 3yz 

c) a²+6a²-2a²

 1+6-2 = 5

    5→repete-se a parta literal ficando assim.

    5a²

d)
    

MULTIPLICAÇÃO DE MONÔMIOS

Multiplicam-se os coeficientes entre si, e as partes literais entre si.

Exemplos:

b)  x⁵.x³ = x⁸

No exemplo b, aplicando  uma das propriedades de potenciação visto no 7º ano. Em diz que, bases iguais repete-se a base e somam os expoentes.

DIVISÃO DE MONÔMIOS

Divide-se os coeficientes entre si, e as partes literais entre si.

Para a parte literal veja uma das propriedades das potências, (conteúdo visto no 7º ano). Divisão de potência de mesma base, repete-se a base e subtraem os expoentes.

Exemplos:

a)y⁷ : y³ = y^{7-3      =}  y⁴

b)(-32x⁴) : (-8x)
 (-32) : (-8) x^{4-1    =} 4x³

c) 15x⁶ : 3x²  = 5x⁴

Observação:

Nem toda divisão de um monômio por outro monômio resulta em um novo monômio. Quando isso acontece e chamado de frações algébricas.

Exemplos:

OPERAÇÕES ALGÉBRICAS COM POLINÔMIOS

Quando efetuamos uma adição algébrica entre monômios, denomina-se polinômio.

Veja os polinômios abaixo:
a) 10x + 2y + 4

b) 5x + 3y
c) 7x – 2y

GRAU DE UM POLINÔMIO

O grau de um polinômio é dado pelo termo de maior grau ou pode ser em relação a uma determinada variável.

Exemplos:
a) x³y  –  3x⁴y³  +  8xy²

     ↓           ↓           ↓

4º grau   7º grau   3º grau

b) a) x²  –  3x²y²  +  4xy

     ↓             ↓             ↓

2º grau   4º grau   2º grau

ADIÇÃO ALGÉBRICA DE POLINÔMIOS

Para adicionar polinômios é adiciona-los os termos semelhantes.

Exemplos:
a)( x² -  9x + 5) + (3x² + 7x -1)

termos semelhantes:
x² + 3x²; -9x + 7x; 5 – 1

   ↓                ↓           ↓

4x²            - 2x          4

Resposta:

4x² - 2x + 4

b) (15a – 7b + 4c) + ( -8b + 3c – 9a)

     15a – 7b + 4c -8b + 3c – 9a

      15a – 9a -7b – 8b + 4c + 3c

         6a – 15b + 7c

c) (2y² – 3ay + 4a²) – ( ay – 5y² –a²)

    2y² – 3ay + 4a² –  ay + 5y² + a²

    2y² + 5y² – 3ay – ay + 4a² + a²

      7y²  – 4ay  + 5a²

MULTIPLICAÇÃO DE POLINÔMIOS

Multiplicação de um monômio por um polinômio.

Multiplica-se o o monômio por cada um dos termos do polinômio. Usa-se a distributiva, para efetuar as multiplicações veja os exemplos abaixos:
Exemplo:

a) 2x . (3x +y)

    2x . 3x + 2x . y
     6x² + 2xy

b) 2x.(5x + 4)

    2x . 5x + 2x . 4
    10x² + 8x

c) 2x . ( x + 4)

MULTIPLICAÇÃO DE UM POLINÔMIO POR OUTRO POLINÔMIO

Multiplica-se cada termo do primeiro por cada termo do segundo. Usando a distributiva.

Exemplos: 
a) (x + 7) . ( x + 5)

x . x + x . 5 + 7 . x + 7 . 5

   ↓          ↓        ↓          ↓

x²   +   5x    + 7x   +  35

b) (3x + 2y) . ( 3x – y)

DIVISÃO DE POLINÔMIO POR MONÔMIO

Divide-se cada termo do polinômio pelo monômio.

Exemplos:

a) (-28x⁴ + 8x²) : (4x²)

(-28x⁴ : 4x²) + (8x² : 4x²)

          ↓                   ↓

        -7x²         +       2

b) (30y⁶ – 48y⁵ – 18y²) : (6y²)

c) (x⁴y⁴ + x⁴y⁶ – x⁵y⁵) : (x⁴y⁴)

DIVISÃO DE POLINÔMIO POR OUTRO POLINÔMIO

Exemplos: 
a) Qual o quociente da divisão de: 12x² + 5x - 2  por 3x + 2?

 b) Qual o quociente da divisão de: 2x⁴ - 9x³ – 6x² + 16x - 3 por 2x² + x –  3?

 

 

PRODUTOS NOTÁVEIS

QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS

É igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do termo primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.
Exemplos:

a) (x + y)²

(x + y) . (x + y)

x .x + x.y + y.x + y.y

x² + xy + xy + y²

x² +2 xy + y²

b) (3x + 5)²

(3x + 5) . (3x + 5)

3x . 3x + 3x . 5 + 5 . 3x + 5 . 5

9x² + 15x + 15x + 25

9x² + 30x + 25

QUADRADO DA DEFERÊNCIA DE DOIS TERMOS

É igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

a) ( x- y)²

(x – y) . (x – y)

x.x – x.y – y.x + y.y

x² – xy – xy + y²

x² – 2xy + y²

b) ( 2x- 3)²

(2x – 3) . (2x – 3)

2x.2x – (2x.3) – 3.2x + 3.3

4x² – 6xy – 6xy + 3²

x² – 12x + 9

PRODUTO DA SOMA PELA DEFERÊNCIA DE DOIS TERMOS

É igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo.

a) (x + y) . (x – y)

x.x – x.y +y.x – y.y

x² – xy + xy – y²

x² – y²

b) (3x + 5) . (3x - 5)

3x.3x – 3x.5 + 5.3x – 5.5

9x² – 15x + 15x – 25

9x²  – 25

CUBO DA SOMA DE DOIS TERMOS

a) (a + b)³

(a + b)² . (a + b)

(a² + 2ab + b²). (a + b)

a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³

a³ + 3a²b + 3ab² + b³

b) (2x + y)³

(2x + y)² . (2x + y)

(4x² + 4xy + y²). (2x + y)

8x³ + 8x²y + 2xy² + 4x²y + 4xy² + y³

8x³ + 12x²y + 6xy² + y³

                                   

CUBO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS

a) (a - b)³

(a - b)² . (a - b)

(a² - 2ab + b²). (a - b)

a³ - 2a²b + ab² - a²b + 2ab² - b³

a³ - 3a²b  + 3ab² - b³

b) (2x - y)³

(2x - y)² . (2x - y)

(4x² - 4xy + y²). (2x - y)

8x³ - 8x²y + 2xy² - 4x²y + 4xy² - y³

8x³ - 12x²y + 6xy² - y³

FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS

COLOCANDO O FATOR COMUM EM EVIDÊNCIA

Exemplos:

a) 2x + 2y

2.( x + y) → forma fatorada do polinômio.

b) 6ax + 8ay

2a . (3x + 4y)  → forma fatorada do polinômio.

c) 4a – 3ax

a. (4 – 3x)

d) a² + 5ab

a.(a + 5b)

FATORAÇÃO POR AGRUPAMENTO

Exemplos:

a) ax + bx + ay + by

x.(a + b) + y.(a + b)

(x + y).(a + b) → forma fatorada

b) a² + ab + ax + bx

c) 15 + 5y + 2ay + 6ª

FATORANDO MAIS DE UMA VEZ

Exemplos:

a) x ³ – 4x² + 4x

x³ – 4x² + 4x =

x . ( x² – 4x + 4)=

b) 3x² – 6x + 3

  

 3x² – 6x + 3 =

 3. ( x² – 2x + 1)=

c) 5a² + 30ab + 45b²

5.(a² + 6ab + 9b²) = 5.(a +3b)²