5 - PROPRIEDADE DAS PROPORÇÕES

Quando duas razões formando uma proporção estiver elevada ao mesmo número ( grau) toda proporção está elevada ao mesmo expoente.

 

Exemplos:

a)  Se a proporção    3   =    6      elevando ambos
                                  4         8
membros a 2 mesmo assim continua sendo uma proporção.

b) Vejamos mais um exemplo; 5 está para 3, assim como 10 está para 6. Elevando ao quadrado.

4 - PROPRIEDADE DAS PROPORÇÕES

O produto dos antecedentes está para o produto dos consequentes, assim como o quadrado de qualquer antecedente está para o quadrado do seu respectivo consequente.

Exemplos:

a) Calcule dois números cujo produto é 288 e estão entre si como 2 está para 9.

Permutando y com 2.

Substituindo x . y por 288    e resolvendo 4 . 9

Substituindo 8 em x para encontrar o outro número.

x . y = 288

8y  = 288 

y =  288  

     8

y = 36 

Resposta: 8 e 36

b) Calcule dois números cujo produto é 315 e estão entre si como 7 está para 5.

Substituindo 21 em x para encontrar o outro número.

x . y = 315

21y  = 315 

y =  315  

      21

y = 15 

Resposta: 21 e 15

          

3- PROPRIEDADE DAS PROPORÇÕES

Em toda proporção, a soma ( ou a diferença) dos antecedentes está para a soma ( ou a diferença) dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente.

a)   a  =  c   ⇒   a + c   = a   e    a + c = c  
      b      d         b + d       b        b + d    d 


b)     a  =   c   ⇒   a - c   = a   e    a - c = c  
        b       d         b - d       b        b - d    d 

 Exemplos:

a) Calcular x e y na proporção  x    =  3    sabendo que x + y = 28.
                                                     y        4

a)    a  =  c   ⇒    a + c   =  a   e    a + c = c  
       b      d          b + d       b         b + d    d 

Dados da questão:
           
I)    x  =  3   ⇒    x + y   =  3 + 4   ⇒    7 
       y      4              x            3               3   

II)  x + y = 28


Igualando o I e o II
    x + y   =    7 
        x           3
         
    28   =    7 
    x           3


7x = 28 . 3

7x = 84

x =  84  
        7

x = 12


Substituindo x para encontrar o valor de y.

x + y = 28

12 + y = 28

y = 28 - 12

y = 16

Resposta:

x= 12 e y =16


b)  Calcular x e y na proporção  x    =  3    sabendo que x - y = 21.
                                                       5        2

b)     a  =   c   ⇒   a - c   = a   e    a - c = c  
        b       d         b - d       b        b - d    d 

Dados da questão:

I)      x  =   3      
         5       2

II)  x - y = 21         


   x  - y   =  21       
      x             
Igualando o I e o II

21   =   3 
 x         2


3x = 21 . 2

3x = 42

x =  42  
        3

x =  14

 Substituindo x para encontrar o valor de y

x - y = 21

14 - y = 21

y = -21 +14

y = -7

Resposta
x = 14  e y = -7

2- PROPRIEDADE DAS PROPORÇÕES

Segunda Propriedade:

Em toda proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro ou segundo termo, assim como a diferença dos dois últimos está para o terceiro ou quarto termo.

  a   =   c  
  b        d 


 a - b   =   c - d  
  a               c     

 a - b   =   c - d  
    b             d   

Exemplos:

a) Calcular dois números cuja diferença é 10 e estejam entre si na razão de 9 para 7.

Dados:

 x   e   y  ( dois números)

x - y = 10

9 para 7 ( razão)

    9   
    7 

  x   =   9  
  y        7      

Resolução:

 x - y   =   9 - 7    =    2   
   9               9            9     

 2   =   x - y        =    2   =   10  
 9          x                  9          x   


 2   =   10  
 9         x   

 2x = 9 . 10

2x = 90

x = 90   
        2

x  =  45

Substituindo x para encontrar y

  x   =   9  
  y        7

  45   =   9  
  y          7 

9y = 45 . 7

9y = 315

y =  315   
          9   

y = 35


Resposta:

45 e 35



b) Achar os valores de x e y na proporção  y  = 12  , sabendo-se que y - x = 20
                                                                      x      4

Resolução:

 y - x   =     12 - 4    =     8   
   12             12              12     

  8   =   y - x        =     8   =   20  
 12         12                12        y   


 8   =     20  
 12         y   

8y = 12 . 20

8y = 240

y = 240   
        8

y  =  30


Substituindo y para encontrar x.

 y   =     12  
 x           4   

  30   =    12   
  x            4

12x = 30 . 4

12x = 120

x =    120   
          12   

x = 10       


Resposta:
x = 10 e y = 30

    

1- PROPRIEDADE DAS PROPORÇÕES

Primeira Propriedade

A soma de dois primeiros termos está ara o primeiro ( ou  segundo ) termo, assim como a soma dos dois últimos está para o terceiro ou quarto termo.

  a    =   c 
  b         d

 a + b    =   c + d 
   a                c


a + b    =   c + d 
   b               d   

Exemplos:

a) Calcule um número cuja soma de seus dois algarismos é 9, sabendo que eles estão entre si na razão de 15 para 12.

Dados:

x + y =  9          →soma de dois algarismos:
15 para 12         →razão

  15   
  12               


Usando a primeira propriedade:

a  +  b    =   c  +  d 
     a                c   


x  +  y    =   15  +  12 
     x                15 

x  +  y    =     27   
     x              15 

   9    =     27  
   x           15

27x = 9 . 15

27x =  135

x =   135 
         27 


x = 5

x = 5 e y = 4


b) As idades de um pai e a de um filho, somam 55 anos e estão na razão de 8 para 3. Quais as idades do pai e do filho?

Dados:

x + y =  55       →pai + filho:
8 para 3           →razão

  8   
  3               


Usando a primeira propriedade:

a  +  b    =   c  +  d 
     a                c   


x  +  y    =   8  +  3 
     x                8 

x  +  y    =     11   
     x               8 

   55    =     11  
   x             8

11x = 55 . 8

11x =  440

x =   440 
         11 

x = 40

x = 40 e y = 15

O pai tem 40 anos e o filho 15 anos.